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1、1,第十四章：拉格朗日方程,14.1、达朗伯-拉格朗日方程,先把动力学问题转化为静力学问题(达朗伯原理),再借助于动力学来处理这个“静力学问题”(虚位移原理):虽然增加了惯性力,但过滤掉了系统中所有的理想约束力;按这种思路所列的动力学方程称为第一类拉格朗日方程,也叫动力学普遍方程;,2,例14.1-1 质量为m2的三棱柱ABC放在光滑水平面上;匀质圆轮1质量为m1,沿斜面向下作纯滚动,求三棱柱的线加速度和圆柱体的角加速度( 已知);,2) 加速度分析; 动点:圆轮轮心O点,动系:三棱柱;,3) 受力分析(含惯性力,但除掉理想约束力),图b;,4) 逐一单独解除每个自由度;并令各自由度上的 虚功
2、都等于零;,解 1) 确定系统参数:三角块位移/圆轮转角;,3,4.1) 单独解除圆轮1的滚动自由度:,4.2) 单独解除三棱柱的平移自由度:,5) 联立求解,4,对B质点系应用虚位移原理：,该式称达朗伯格朗日方程,也叫动力学普遍方程;即:在理想约束条件下,质点系在任一瞬时所受主动力系和虚加的惯性力系在任一虚位移上所作虚功的和都等于零;,5,例14.1-2 构件1/2/3质量分别为m1/m2/m3匀质圆轮2/3半径分别为r2/r3; 水平面光滑,细线与轮2/3之间都不打滑;求轮2/3各自的角加速度;,2) 加速度分析;,3) 受力分析(含惯性力,但除掉理想约束力),图b;,4) 逐一单独解除每
3、个自由度;并令各自由度上的 虚功都等于零;,解 1) 确定系统参数:轮2/3转角;,6,4.1) 单独解除轮3转动自由度:,4.2) 单独解除轮2转动自由度:,5) 联立求解,7,；,例14.1-3 重物1/2/3质量依次为m1/m2/m3;轮4/5质量都不计(半径分别为r4/r5);系统由静止开始运动,欲使重物1下降,试确定m1/m2/m3之间的关系;,8,4) 逐一单独解除每个自由度;并令各自由度上的 虚功都等于零;,2) 加速度分析;,解 1) 确定系统参数:轮4/5转角;,3) 受力分析(含惯性力,但除掉理想约束力),图b;,4.1) 单独解除轮4自由度:,9,4.2) 单独解除轮5自由度:,5) 联立求解,10,动力学普遍方程不仅适用于两自由度动力学系统,对n自由度(n1)的动力学系统都成立;这种方法求解动力学问题时作题格式/步骤等都相同:首先确定系统参数,并分析各构件的加速度,再由加速度分布图导出惯性力分布图(并补画主动力),再应用虚功原理列方程;如果系统有K个自由度,而每个自由度单独解除后对应虚功都等于零,因此可列出K个虚功等于零独立方程,联立可求解K个未知量;,11,习题1 用拉格朗日方程法求解图示单自由度系统中细杆AB的线加速度;已知条件:轮1/轮2都作纯滚动,质量都为m,半径都为r,对各自质心轴的转动惯量分别为 ,细杆AB的质量为0.5m;,12,13,
