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1、1,第三节 刚体绕定轴转动微分方程,一、刚体绕定轴转动微分方程,其中，Jz 为刚体对z 轴的转动惯量,（2）仅对转轴成立,（1）适用于绕定轴转动刚体；,说明：,2,说明,二、转动惯量,1. 转动惯量的定义,或者,（1）对刚体绕 z 轴转动惯性的度量；,（2）与质量大小、质量分布、转轴位置有关；,（3）单位为 kg m2,3,二、转动惯量,2. 简单匀质物体的转动惯量,匀质直杆对质心轴：,匀质圆盘对垂直于盘面的质心轴：,4,二、转动惯量,3. 回转半径（惯性半径）,定义,为刚体对 z 轴的回转半径（惯性半径），,4. 转动惯量的平行移轴公式,其中，z 为与质心轴 zC 平行的任一轴；d 为两轴间
2、距,即有,5,例1 如图，复摆由匀质细杆和匀质圆盘固连而成。已知杆的质量为m1，长为 l，圆盘质量为 m2，直径为 d 。在图示位置，摆的角速度为 ，试求复摆对轴 O 的动量矩。,解：,复摆对轴 O 的转动惯量,故得复摆对轴 O 的动量矩,6,例2 如图，匀质杆 AO 长为l ，质量为 m ，其 O 端用铰链支承，A 端用细绳悬挂。试求细绳突然断裂瞬时，铰链 O 的约束力。,解：取杆 AO 为研究对象,1. 受力分析,2. 运动分析,细绳断裂后，杆 AO 绕定轴 O 转 动。在断裂瞬时，其角速度 = 0,设此时杆 AO 的角加速度为 ，,其质心 C 的加速度,则,7,3. 列动力学方程,根据刚
3、体绕定轴转动微分方程，,得细绳断裂瞬时杆 AO 的角加速度,故此时杆 AO 质心 C 的加速度,8,根据质心运动定理，,得细绳突然断裂瞬时铰链 O 的约束力,9,例3 带轮传动装置如图，主动轮 O1 与从动轮 O2 对各自转轴的转动惯量分别为 J1 和 J2，重量分别为 P1 和 P2 ，半径分别为 r1 和 r2 ；主动轮 O1 上作用一力偶矩 M 。若不计带的质量和轴承摩擦，试求主动轮与从动轮的角加速度。,解：分别选取主动轮、从 动轮为研究对象,受力分析和运动分析如图,由刚体绕定轴转动微分方 程，分别有,10,其中，,代入上述方程，解得主动轮与从动轮的角加速度分别为,11,例4 如图，已知物块 A 质量为 m1，物块 B 质量为 m2，滑轮为质量为 m 、半径为 r 的匀质圆盘。若 m1 m2，试求滑轮的角加速度、绳中张力以及轴承 O 的约束力。,解：,受力分析,运动分析,1. 首选取整个系统为研究对象,整个系统对定轴 O 的动量矩为,12,根据质点系的动量矩定理，,得滑轮的角加速度,13,物块加速度为,根据质心运动定理，,解得轴承 O 的约束力,14,2. 再分别选取物块 A、物块 B 为研究对象,受力分析和运动分析,根据质点动力学基本方程，分别有,得两边绳中张力分别为,15,即若不计定滑轮质量， 则定滑轮两边绳中张力 相等,当 m = 0 时，FT1 = FT2,
