《理论力学 教学课件 ppt 作者 肖明葵 第5章 一般力系的平衡》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学 教学课件 ppt 作者 肖明葵 第5章 一般力系的平衡（132页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 一般力系的平衡,5.1 空间一般力系的平衡 5.2 平面一般力系的平衡 5.3 一般力系平衡方程应用举例,上一章研究了一般力系的简化理论及其应用。本章根据力系简化的结果，首先推导出空间一般力系的平衡条件和平衡方程，然后作为它的特例，重点讨论平面一般力系的平衡方程及其在工程实际中的应用。,第5章 一般力系的平衡,5.1 空间一般力系的平衡,空间一般力系向一点简化后，一般得到一个力和一个力偶，而一个力又不能和一个力偶相互平衡，故空间一般力系平衡的必要条件是力系的主矢量 和主矩 必须分别等于零；反之，如果 ， ，则力系向简化中心O点简化所得的空间汇交力系和空间力偶系分别各自平衡，故原力系一定
2、是平衡力系。 即 ， 又是空间一般力系平衡的充分条件。,因此，空间一般力系平衡的必要充分条件是：力系的主矢量和对于任一点的主矩都等于零，即,(5.1),5.1 空间一般力系的平衡,利用主矢量和主矩的计算式(4.3)和(4.5)，可将上述平衡条件用解析式表示为,（5.2）,5.1 空间一般力系的平衡,即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一轴力矩的代数和也为零。式(5.2)称为空间一般力系的平衡方程。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知，在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交，且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可用力
3、矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是6个。,5.1 空间一般力系的平衡,设物体受到一空间平行力系作用，如图5.1所示，令z轴与这些力平行，则各力对于z轴的矩及各力在x轴和y轴上的投影都等于零。因而在平衡方程(5.2)中，第一、第二和第六个方程为恒等式。因此，空间平行力系只有三个独立平衡方程。即：,5.1 空间一般力系的平衡,图 5.1,5.2 平面一般力系的平衡,同样，平面一般力系平衡的必要充分条件是：力系的主矢量和力系对任一点的主矩都等于零，即,(5.4),由式(4.10)和式(4.11)，可将上述平衡条件用解析式表达为：,（5.5）,这就是平面一般力系平衡方程的基本形式。它表明，平
4、面一般力系平衡的解析条件为：力系中各力在力系平面内任一轴上投影的代数和为零，同时各力对力系平面内任一点力矩的代数和也为零。 2. 平面一般力系平衡方程的其他形式,(1) 二矩式平衡方程,（5.6）,其中A、B两矩心连线不能垂直于所选投影轴（x轴）。,5.2 平面一般力系的平衡,在式(5.6)中，若后两式成立，则力系或简化为一作用线通过 A、B 两点的合力，或平衡。又若第一式也成立，则表明力系即使能简化为一合力，此力的作用线只能与x轴垂直，但式(5.6)的附加条件(A、B两矩心连线不能与x轴垂直)完全排除了力系简化为一个合力的可能性，故该力系必为平衡力系。反之，如力系平衡，则其主矢量和对任一点的
5、主矩均为零，故式(5.6)亦必然成立。,5.2 平面一般力系的平衡,(2) 三矩式平衡方程,5.2 平面一般力系的平衡,应当指出，平面一般力系的平衡方程虽有上述3种不同的形式，但在一个这种力系作用下处于平衡的物体却只能有3个独立的平衡方程式，任何第四个平衡方程式都是力系平衡的必然结果，为前3个方程式的线性组合，因而不是独立方程。在实际应用中，应根据具体情况灵活选用一种形式的平衡方程，力求达到一个方程式中只含一个未知量，以使计算简便。 同样，平面一般力系是平面力系中最一般的情况，平面力系中其他特殊力系的平衡方程都可以由平面一般力系的平衡方程直接推导出来。,5.2 平面一般力系的平衡,平面平行力系
6、，若取x轴与各力作用线垂直，则有：,(1) 平衡方程基本形式,(5.8),(2) 二矩式平衡方程,(5.9),其中A、B连线不能与各力平行。,这种平衡方程的正确性及其他的特殊平面力系的平衡方 程，可由读者自行推导及证明。,5.2 平面一般力系的平衡,5.3 一般力系平衡方程应用举例,静定与超静定问题的概念 一般力系的平衡问题，特别是平面一般力系的平衡问题，在工程实际和后续课程中极为常用。一般力系的平衡问题是整个静力学的重点，它包括单个物体的平衡和由若干个物体组成的物体系统的平衡。本节将对单个物体的平衡问题，物体系统的平衡问题及静定与超静定问题的概念分别加以介绍和讨论。,5.3 一般力系平衡方程
7、应用举例,1. 平面一般力系的平衡问题 例5.1 梁AC 用三根连杆支承在水平位置，受荷载如图5.2所示。已知F1=20kN，F2=40kN，试求A、B、C 处的约束力。,图 5.2,解：取AC梁为研究对象，画出AC梁的受力图如图5.2所示。已知主动力 和 ，未知的约束力 构成一平面一般力系。本题可以采用平面一般力系三种形式的平衡方程求解，如果采用基本形式的平衡方程求解，则在两个投影方程中都包含有两个未知力，需要求解联立方程。如果采用二力矩式平衡方程，首先选择未知力 和的交点O作为矩心，建立力矩方程，则可以求出未知力 再对A点或者B点建立力矩方程，则可以求出其余的未知力，所以本题考虑采用二力矩
8、式或三力矩式平衡方程求解较好。并且，在建立力矩平衡方程时，要善于将一个力分解成为两个相互正交的分力，再利用合力之矩定理求该力对所选矩心之矩。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,采用二力矩式平衡方程求解，先对O点建立力矩平衡方程,再取未知力,的作用点B点为矩心，建立力矩平衡方程,5.3 一般力系平衡方程应用举例,最后由投影方程,采用三力矩式平衡方程求解时，保留前两个力矩方程，舍 去第三个投影方程，再对未知力,平衡方程,的作用点A点建立力矩,5.3 一般力系平衡方程应用举例,例5.2 试求图5.3所示悬臂梁固定支座A的约束力。梁上受集中力F和线荷载作用，线荷载最大集度为qA，梁长度为l。,5.3
9、一般力系平衡方程应用举例,解：取AB梁为研究对象，画出AB梁的受力图如图5.3所示。已知的主动力：集中力F、线性分布荷载；未知的三个约束力 ，组成一平面一般力系。由于未知反力 相互正交且交于A点，而约束力偶在任一轴上投影均为零且对其作用平面内任一点之矩恒等于力偶矩MA，而与矩心位置无关，故选择平衡议程的基本形式。建立图示Oxy坐标系，列平衡方程,5.3 一般力系平衡方程应用举例,5.3 一般力系平衡方程应用举例,选A为矩心建立力矩方程,例5.3 图5.4所示为一管道支架，其上搁有管道，设每一支架所承受的管重 =12kN， =7kN，且架重不计。求支座A和C处的约束力，尺寸如图所示。 解 以支架
10、连同管道一起作为研究对象，其受力图如图5.4所示。已知的主动力G1、G2和3个未知的约束力 组成一平面一般力系。故用平面一般力系的平衡方程求解。本题中的三个未知的约束力FAX、FAY、FC 分别两两相交于A 、C、D 点，故本题采用三力矩式平衡方程求解更为简便。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,5.3 一般力系平衡方程应用举例,因为A点是两未知力FAX、FAY 的交点，故先选A点为矩心，建立力矩方程,又因为FAX 与FC 两未知力在C 点相交，可选C 点为矩心，,建立力矩方程,5.3 一般力系平衡方程应用举例,同样可得到FAX与FC 两未知力在D点相交，可再选D点为矩心，建立力矩方程，此时G
11、2 对D 点的矩亦为零，即,5.3 一般力系平衡方程应用举例,例5.4 在水平单伸梁作用有集中力偶和梯形线荷载，如图5.5所示。已知 ， ， ，l=2m，试求B、C支座反力。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,解 研究AC梁，画出其受力图如图5.5所示。 在列平衡方程时，梯形线荷载可视为荷载集度为 的均布荷载，再叠加一个最大集度为 的三角形荷载组成，也可以将梯形线荷载视为由荷载集度分别为 和 的两个三角形荷载组成，本题采用将梯形线荷载视为两个三角形线荷载组成，求解更为简单。先计算两个线荷载的合力大小和作用线位置后，再计算它们在所选投影轴上的投影以及对所选矩心之矩。,5.3 一般力系平衡方程应用
12、举例,建立平衡方程,再由投影方程,5.3 一般力系平衡方程应用举例,例5.6 塔式起重机如图5.7所示。设机身所受重力为G1，且作用线距右轨B为e，载重的重力G2距右轨的最大距离为l，轨距AB=b，又平衡重的重力 G3 距左轨 A 为a 。求起重机满载和空载时均不致翻倒，平衡重的重量G3 所应满足的条件。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,图 5.7,解：以起重机整体为研究对象。重机不致翻倒时，其所受的主动力G1、G2、G3和约束力FA、FB组成一平衡的平面平行力系，受力图如图5.7所示。满载且载重G2距右轨最远时，起重机有绕B点往右翻倒的趋势，列平衡方程,5.3 一般力系平衡方程应用举例,5
13、.3 一般力系平衡方程应用举例,起重机若不绕B点往右翻倒，须使FA满足条件(即不翻倒条件),FA0,其中等号对应起重机处于翻倒与不翻倒的临界状态。由以上两式可得到满载且平衡时G3所应满足的条件为,空载(G2=0)时，起重机有绕A点向左翻倒的趋势，列平衡方程,这种情况下，起重机不绕A点向左翻倒的条件是,于是空载且平衡时G3所应满足的条件为,由此可见，起重机满载和空载均不致翻倒时，平衡重重量 G3所应满足的条件为,FB0,5.3 一般力系平衡方程应用举例,例5.7 均质楼梯AB长为l，重为G1，A端靠在铅垂墙面上，B端搁在水平地面上，一人重为G2，爬至楼梯的D处，AD=a。若墙、地光滑，为防止楼梯
14、下滑，在楼梯E点与墙角O处用一绳相连接，梯与水平面间的夹角为，绳与水平面间的夹角为，如图5.8。求此时绳子的拉力。,图 5.8,5.3 一般力系平衡方程应用举例,解：以楼梯为研究对象，其受力图如图5.8。已知主动力G1、G2和未知约束力FA、FB、FT 构成一平面一般力系。故用平面一般力系的平衡方程求解。,因为本题中只须求解绳子的拉力FT，可不求FA和FB， 故选FA的作用线与FB的作用线的交点O为矩心建立力矩 方程,5.3 一般力系平衡方程应用举例,2. 空间一般力系的平衡问题 例5.8 如图5.9所示悬臂刚架ABC，A端固定在基础上，在刚架的B点和C点分别作用有沿y轴和x轴的水平力F1和F
15、2，在BC段作用有集度为q的铅垂均布荷载。已知：F1=20kN，F2=30kN，q=10kN/m，h=3m，l=4m，忽略刚架的重量，试求固定端A的约束力。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,图 5.9,解 选取刚架ABC为研究对象，由于A是固定端，且作用在刚架上的主动力为空间力系，故A端的约束力可用三个相互垂直的分力FAx、FAy，FAz和力偶矩矢分别为MAx、MAy、MAz的三个分力偶表示。,刚架受力图如5.9所示。因此这是一个空间一般力系 的平衡问题，故用空间一般力系的平衡方程求解。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,建立图示Axyz坐标系，列平衡方程并求解,因假设未知约束力沿坐标轴正向，所以解出的负值表示该 约束力或约束力偶矢的实际方向与假设的方向相反。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,例5.9 均质长方形板ABCD重量为G，用球形铰链A和蝶形铰支座B约束于墙上，并用绳EC连接使其保持在水平位置如图5.10所示，求支座A、B和反力及绳的拉力。,5.3 一般力系平衡方程应用举例,图 5.10,解：以板ABCD为研究对象，其受力图如图5.10所示。板所受的力有：重力G，球形铰支座的反力FAx、FAy
