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1、普通高等教育规划教材,编 著 肖明葵 程光均 张祥东 吴云芳 邹昭文 课件制作 王建宁,理 论 力 学,第4章 一般力系的简化,4.1 空间一般力系的简化 4.2 平面一般力系的简化 4.3 物体的重心,一般力系可分为空间一般力系和平面一般力系。 空间一般力系是各力作用线分布在空间的任意力系。显然这是力系中最普遍的情形，其他各种力系都是它的特例。研究空间一般力系，一方面可以使得我们对力系的简化和平衡理论有一个全面完整的认识，另一方面可应用空间一般力系的合成和平衡理论对工程中空间结构和机构进行静力分析。,第4章 一般力系的简化,平面一般力系是各力作用线分布在同一平面内的任意力系，它是空间一般力系
2、的重要特例。平面一般力系在工程中极为常见，如图2.1b所示屋架，如果考虑屋架整体，其受力则为平面一般力系。不仅当作用在平面结构或机构上的力系分布在同一平面时可视为平面一般力系，而且当空间结构或机构具有对称面且作用在其上的力系关于对称面对称时，也可简化为作用在对称面内的平面一般力系来研究。所以研究平面一般力系具有重要的实际意义。 本章讨论一般力系的简化规律及其应用。,第4章 一般力系的简化,4.1 空间一般力系的简化,1. 空间一般力系向一点简化 设一空间一般力系作用在刚体上，如图4.1a所示，在空间任选一点O 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力平移至O 点，并附加一个相应的力偶。这样可得到
3、一个汇交于O 点的空间汇交力系 ，以及力偶矩矢分别为 的空间力偶系，如图4.1b所示。其中,汇交于O点的空间汇交力系可合成为作用线通过O点的 一个力FR， 其力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力 系的主矢量，即,（4.1）,空间力偶系可合成为一力偶，其力偶矩矢MO等于各附加 力偶矩矢的矢量和，称为原力系对简化中心O的主矩，即,(4.2),4.1 空间一般力系的简化,由此可得结论：空间一般力系向任一点O简化，一般可得一个力和一个力偶，它们对刚体的作用效果与原力系等效；此力作用线通过简化中心，其大小和方向决定于力系的主矢量，此力偶的力偶矩矢量决定于力系对简化中心的主矩(图4.1c)。不难看出，力
4、系的主矢量与简化中心位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关，故应注以下标来表明简化中心的位置。 如果过简化中心作直角坐标系Oxyz(图4.1)，则力系的主矢量和主矩可用解析法计算。,4.1 空间一般力系的简化,(1) 主矢量F R的计算 设 和 分别表示主矢量F R和力系中第i个力Fi在坐标轴上的投影，则：,(4.3),4.1 空间一般力系的简化,由此可得主矢量的大小和方向余弦为：,(4.4),4.1 空间一般力系的简化,(2)主矩MO的计算,设MOx，MOy，MOz分别表示主矩MO在坐标轴上的投 影，根据力对点之矩与力对轴之矩的关系，将式(4.2)两端分 别在坐标轴上投影得：,(4.5),4
5、.1 空间一般力系的简化,由此可得到力系对O点的主矩的大小和方向余弦为,(4.6),4.1 空间一般力系的简化,2. 简化结果分析 空间一般力系简化为一个作用线通过简化中心O的主矢量F R及一个对于简化中心O的主矩MO，分析该力系简化的最后结果。 (1) 若 ，表明原力系和一个力偶等效，即力系可简化为一合力偶，其力偶矩矢就等于原力系对简化中心的主矩MO。由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心位置无关。 (2) 若 ，表明原力系和一个力等效，即力系可简化为一作用线通过简化中心的合力，其大小和方向等于原力系的主矢量。,4.1 空间一般力系的简化,(3) 若 ，且 (图4.2
6、a)。此时，力FR和力偶矩矢为MO 的力偶( )在同一平面内(图4.2b)，若取FR= ，则可将FR与力偶( )进一步简化为一作用线通过O点的一个合力FR（图4.2c）。合力的力矢等于原力系的主矢量，其作用线到简化中心O 的距离为,（4.7）,4.1 空间一般力系的简化,由图4.2(b)可知，力偶(,)的矩MO等于合力FR对O,点的矩，即,又根据式(4.2)，有,因此有,(4.8),图 4.2,4.1 空间一般力系的简化,即空间一般力系的合力对任一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。这就是空间一般力系的合力矩定理。 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系，把上式投影到过O点的任一轴z上，可得,(4
7、.9),即空间一般力系的合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。,4.1 空间一般力系的简化,(4) 若 ，且 ，这时力系不能再进一步简化(图4.3)。这种由一个力和一个在力垂直平面内的力偶组成的力系，称为力螺旋。如果力螺旋中的力矢FR 与力偶矩矢MO 的指向相同(图4.3a)，称为右手螺旋；若FR 与MO 的指向相反(图4.3b)，则称为左手螺旋。力螺旋中力FR 的作用线称为该力系的中心轴。在上述情况下，中心轴通过简化中心。,4.1 空间一般力系的简化,(5) 若 ，且FR 与MO 既不垂直，又不平行(图4.4a)。那么可将MO 分解为与FR平行及垂直的两个分矢量MO和MO(图4.4
8、b)，显然FR 与MO 可合成为一作用线通过O 点的一个力FR 。由于力偶矩矢量是自由矢量，故可将MO平行移至O点，使之与FR 共线。这样得到一个力螺旋，其中心轴不再通过简化中心O，而是通过另一点O (图4.4c)，且O、O两点之间的距离为 这就是空间一般力系简化的最一般情况。,4.1 空间一般力系的简化,当空间一般力系向任一点简化时，若主矢量F R=0，主矩MO=0，则力系平衡，这种情况将在第5章中讨论。,4.1 空间一般力系的简化,图 4.4,例4.1 作用于边长为a的正立方体的顶点，大小均为F的八个力Fi（i1，2，n）组成一力系,如图4.5所示，试求该力系的简化结果。,4.1 空间一般
9、力系的简化,图 4.5,解：（1） F5和F6 、F7和F8构成两对平衡力系，将其去除，不影响原力系对正方体刚体的作用效应。 （2）选择适当的简化中心，并建立直角坐标系。考虑 到 构成一力偶，F1 和F3 汇交于A点，故选择A 点作为简化中心，建立直角坐标系Axyz，如图4.5所示。 （3）求主矢量 ，由图4.5知， ，即位于yAz平面，并与y轴正向成450夹角。,4.1 空间一般力系的简化,（4）求主矩 ，由图4.5知， ，即 沿z轴正向。 （5）由于 和 均不为零，且互成450夹角，故可进一步简化为一力螺旋。将 沿与 平行和垂直的方向分解为两个分矢量有,4.1 空间一般力系的简化,且 和
10、可进一步合成一个力 ，且 ，其作用线通过O点， ，即位于AB边的中点上。因此，力系简化为中心轴过O点的右手力螺旋，力螺旋中的力 ，力偶矩矢量 。力系的中心轴沿AB边的中点O与CD边的中点E连线，如图4.5所示。,4.1 空间一般力系的简化,3. 固定支座与刚结点 约束与被约束物体彼此固结为一整体的约束，称为固定端支座，简称固定支座。例如图4.6a所示现浇钢筋混凝土柱及其基础，彼此固结为一体。当土质很硬，地基变形很小时，柱子可视为完全固定于基础顶面，基础是柱子的固定支座。墙体对雨蓬、刀架对车刀也构成 固定支座(图4.6b、c)。固定支座的简图如图4.6d所示，被固定支座约束的物体不能作任何的移动
11、和转动。,4.1 空间一般力系的简化,4.1 空间一般力系的简化,图 4.6,当被约束物体受到空间主动力系作用时，固定支座对被约束物体的约束反力系也构成一空间力系，将此约束反力系向A点简化得一主矢量为FRA的反力和一力偶矩矢为MA的反力偶，通常用它们沿坐标轴的6个分量表示(图4.6e)。当被固定支座约束的物体所受的主动力系是位于同一平面(如Axy平面)的平面力系时，同样约束反力系也是一位于该平面内的平面力系，向A点简化时，通常用三个分量FAx、FAy、MA来表示(图4.6f)。 当两物体刚性连接形成一整体，在联接点处彼此不能有任何的相对移动和转动时，这样的连接点称为刚结点。,4.1 空间一般力
12、系的简化,例如，钢筋混凝土框架和钢框架结构中的梁与柱的连接点处，上柱、下柱与梁被整体浇注成一整体（如图4.7a所示为一钢筋混凝土框架的边柱与梁的连接点），即可视为刚结点。刚结点的约束性质和约束反力的构成情况与固定支座完全一致。其计算简图如图4.7b所示，在刚结点A处，上下柱端和梁端都不能作相对移动和相对转动。,4.1 空间一般力系的简化,图 4.7,4.2 平面一般力系的简化,1. 主矢量和主矩 平面一般力系是空间一般力系的重要特例。如取Oxy平面为该力系所在的平面，则力系中各力在z轴上的投影以及对x轴、y轴之矩恒等于零。此时力系向O点简化的结果为位于Oxy平面内的一个力和一个力偶，如图4.8
13、a所示，它们分别被称为平面一般力系向简化中心O简化所得的的主矢量FR和主矩MO，如图4.8b所示。 由于各附加力偶都位于Oxy平面内，组成一平面力偶系，因此，其合力偶矩，即力系对O点的主矩可视为代数量MO，由此可得主矢量的大小和方向余弦为：,(4.10),图 4.8,4.2 平面一般力系的简化,主矩的大小为 综上所述，可得如下结论：平面一般力系向作用平面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶。该力的作用线通过简化中心，其大小和方向决定于力系的主矢量，主矢量等于力系中各力的矢量和；力偶的作用面即力系所在平面，其力偶矩决定于力系对简化中心的主矩，主矩等于力系中各力对简化中心力矩的代数和。力系的主
14、矢量与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心位置有关。,(4.11),4.2 平面一般力系的简化,4.2 平面一般力系的简化,(1) 若 ，则力系可简化为一作用在力系平面内的合力偶，其力偶矩 ，此时M 与简化中心位置无关。 (2) 若 ，则力系可简化为一作用线通过简化中心的合力FR，且FR=FR= 。 (3) 若 ，这属于空间一般力系中主矢量FR 与主矩 MO 相互垂直的情况，则力系可进一步简化为一合力FR ，且FR=FR= ，合力FR 的作用线位置可由简化中心O 到合力作用线的垂直距离d 表示，亦可由合力作用线与x 轴的交点坐标x表示，如图4.8b、c所示。其中图(b)中的d 由下式计算,2
15、. 简化结果分析,4.2 平面一般力系的简化,d=|M0|/FR,图 4.8,4.2 平面一般力系的简化,此种情况下，合力FR 在主矢量FR 的哪一侧，可由合力FR 对O 点之矩的转向应与主矩M0 的转向一致来确定。图4.8(c)中的x由下式计算,此时，合力FR 的作用线位置可直接由坐标x来确定。 (4) 若 ，则力系平衡。这种情况将在第5章中讨论。 综上所述，平面一般力系的最后简化结果为下列3种情况之一：(1) 若FR=0，M00，则简化为一合力偶；(2) 若FR0，则可简化为一合力；(3) 若FR=0，M0=0，则力系平衡。,例4.2 如图4.9所示为平面一般力系各力作用线位置，且F1=130N，F2=100 N，F3=50N，M=500Nm。图中尺寸单位为m，试求该力系合成的结果。,图 4
