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1、第一章 完全信息非合作静态博弈例一 囚徒困境 本例子对奠定非合作博弈理论基础起着重大作用。 假定有两个嫌疑犯A和B作案后被抓住，关在不同审讯室审讯，他们部知道，如果两人都坦白各判刑8年，若两人都抵赖各判1年，若一人坦白另一人抵赖坦白者释放抵赖者判十年，下图给出本例的完整数学描述：囚徒B 坦白 抵赖8，80，1010，01，1 坦白 囚徒A 抵赖 （囚徒A ，囚徒B）基本假定： 1) 两囚徒都是理性的； 2) 两囚徒都了解对方是理性的； 3) 两囚徒都了解在各种情况下审判后果的信息； 4) 两囚徒都了解对方了解在各种情况下审判后果的信息。研究问题：预测最终结果。结论：从上表看出A与B同样是：不管
2、对方采取什么行动，坦白都是最优的，因而两囚徒若满足上述条件他们所采取的行动都是坦白。（坦白，坦白）称为本博弈的均衡解。从上述模型中看出，如果两人都选择抵赖，对两人都是最好的，但结果他们只能选择较差的结果，都坦白，不论他们事先如何订立攻守同盟都无效，原因出在上述四点假设上。囚徒困境表现为个人理性压倒集体理性。例二 智猪博弈 猪圈有两头理性的智猪，一头大猪，一头小猪。猪圈一头放着食，另一头有一按钮，供智猪食供应。按一下按钮会有10单位猪食进糟，但谁按谁就要付出2单位代价。若大猪先到、大猪吃到9单位，小猪吃到1单位，若同时到大猪吃到7单位，小猪吃到3单位，若小猪先到，大猪吃到6单位，小猪吃到4单位。
3、本问题可用下形式表示： 小猪 按 等待 5，14，49，10，0 按 大猪 等待 （大猪，小猪） 基本假设：与囚徒困境相同，即理性人假设和完全对称信息假设。问题分析：很显然小猪的最优策略是等待，大猪很清楚小猪最优策略是等待，而且必然采取等待行动，那么大猪的策略是按，于是其结果必然是大猪按小猪等待。（大猪按，小猪等待）为本博弈均衡解。智猪问题本质：在合作共事中谁享受成果多谁多出力。三、基本概念包括：参与人、行动、信息、战略、支付（效用）、结果、均衡。 其中参与人、战略、支付是描述一个博弈所需的最少要素；行动和信息是其“积木（建材）”；参与人、行动和结果称为“博弈规则”。博弈分析的目的是使用博弈规
4、则预测均衡。 1. 参与人 博弈中决策主体，他的目的是通过迭择行动（或战略）以最大化自己的支付（效用）水平。除一般意义的参与人外，博弈论把 “自然”作为虚拟参与人来处理。2.行动 参与人在博弈的某个时点的决策变量。用ai表示第i个参与人的一个行动，Ai =ai表示第i个参与人可选择的行动集合。在n人博弈中参与人的行动有序集a =（ a1，an ）称为行动组合。 与行动相关的一个重要问题是行动的顺序，行动顺序往往决定博弈的结果。实际上静态博弈与动态博弈是由行动顺序来划分的。 在博弈论中一般假定参与人的行动空间和行动顺序是析有参与人的共同知识。3.信息 参与人有关博弈的知识。（关于信息以后将更详细
5、介绍）。 “共同知识”是所有人知道，所有人知道所有知道的知识。4.战略 参与人在给定信息集下的行动规则。战略与行动不同。5.支付 特定的战略组合下参与人确定的效用水平，或期望效用水平。6.结果 博弈分析者所感兴趣的所有东西，加均衡战略组合、均衡行动组合、均衡支付组合等。7.均衡 所有参与人的最优战略组合。四、战略表达式 一个博弈可以用两种不同方式来表示，一种是战略表达式，另一种是扩展式，战略式适于分析静达博弈，扩展式适于表示动态博弈。 战略式又称标准式，在这种表述中，所有参与人同时各自选择各自的战略。 战略式更准确表述为： 1. 博弈参与人集合：i G ，= G （1，2，n）； 2.每个参与
6、人战略空间：Si； 3.每个参与人的支付函数：ui（s1，sn）。 用 G =s1，sn；u1，un 代表战略式表述博弈。当参与人为两人时则可表示为矩阵形式。五、纳什均衡纳什均衡描述性陈述定义，如果一个博弈存在一个战略组合，任何参与人要改变这一战略组合都可能导致降低自身的效用水平（或只能保持原有的效用水平），因而任何参与人都没有积极性去改变这一战略组合，这一战略组合称该博弈的纳什均衡。六、求解纳什均衡方法(一般方法)定义：有n个参与人的战略表述博弈 G =s1，sn；u1，un ，战略组合 s * =（s1*，si * ，sn * ）是一个纳什均衡，如果对于每个i， si *是给定其他参与人选
7、择 s-i * =（s1*，si-1 * ， si+1 * ，sn * ）的情况下第i个参与人的最优战略，即： Ui（ si * ， s-i * ） Ui（ si ， s-i * ） si Si， I （） 或表述为：si * =argmax ui(s1*，si-1 * ， si， si+1 * ，sn * ) （） （）式为纳什均衡求解的基本公式。 从上式得出以下方法： i （ s1，sn ） = ui(s1，sn )/ si = 0 i （ s1，sn ）称为si 对（s1，si-1 ， si+1 ，sn ）反应方程，即第i个参与人对其它参与人如果采取行动（s1，si-1 ， si+1 ，
8、sn ）的行动对策。对反应方程组 i （ s1，sn ） = 0 i =1 ， 2 ， ，n 求解，则得出纳什均衡解。七、公共用地悲剧 这是制度经济学中典型的例子，是1968年Hardin所提出的，他证明了，如果一种资源没有排他性产权，就会导致这种资源过度使用而使效益下降。现假设有三个农户n3每只羊的价格为 V100（ggg），成本为c。那么三个农户的收益分别为： 1g100（ ggg ）-4 2g2 100（ ggg ） -4 3g3 100（ ggg ） -4 由一阶导数条件分别求出反应函数为： g48（ gg ）2 g2 48 （ g g1）2 g3 48 （ gg1 ）2 求得g g2
9、 g3 24； 1 2 3576 G72 ；1728 现研究该草地为一个农民所有，由它一个人放牧的情况。这时 G（100G -4 ） 可求得G 48， 2304 显然，草地为一个人所有由一个人使用，养羊少收益大，这就是共公用地悲剧。八、混合战略纳什均衡例一 社会福利博弈 有些博弈并不存在纳什均衡，例如社会福利博弈问题： 流浪汉 找工作 游荡3，21，31，10，0 救济政府 不救济 很显然上述博弈不存在纳什均衡。给定政府政策是救济流浪汉最优策略是游荡；给是流浪汉对策是游荡政府最优政策是不救济；给定政府政策是不救济浪浪汉的最优策略是找工作；而给定流浪汉对策是找工作政府最优策略是救济，因而不存在纳
10、什均衡解。但可以把均衡的概念放宽定义下面混合战略纳什均衡的概念。混合战略纳什均衡是参与人以一定的概率选择某种战略。如在本例中政府以概率选择救济，以（1-）选择不救济；流浪汉以概率选择找工作，以（1-），选择流荡。在以上假设下政府的期望效用函数为：vG（ ， ）= （3 +（-1）（1-）+ （1-）（- +0 （1-）= （5 - 1）- 流浪汉的期望效用函数为：vl（ ， ）= （2 + 1（1- ）+ （1- ）（3 +0 （1- ） = - （ 2 - 1）+3 从中vG， vl求出使vG， vl最优的 ，则 ，为混合战略纳什均衡。为此，按最优一阶条件： vG（ ， ）/ = （5 -
11、1）=0 vl（ ， ）/ = -（2 - 1）=0得出：* = 0.5 ; *= 0.2为混合战略纳什均衡。上述混合战略纳什均衡可以解释为：如果政府预测流浪汉选择寻找工作的概率严格小于0.2则政府的唯一最优选择的战略是不救济，如果政府预测流浪汉选择寻找工作的概率严格大于0.2则政府的唯一最优选择的战略是救济；如果流浪汉预测政府选择救济的概率严格小于0.5则流浪汉的唯一最优选择的战略是寻找工作，如果流浪汉预测政府选择救济的概率严格大于0.5则流浪汉的唯一最优选择的战略是游荡。 上述例子很显然看出，参与人选择纯战略的概率分布不是由自已的支付决定的，而是由对手的支付决定的。例二 监督博弈 监督博弈
12、包括：税收检查、质量检查、对雇员监督、惩治犯罪等一系列十分有现实意义的博弈问题。下面例子是税收检查： 纳税人 逃税 不逃税 a-C+F,-a-Fa-C,-a0,0a,-a 检查 税收机关 不检查 C表示检查成本，F表示罚款，a表示应交税款，并假设 Ca+F 。表示税收机关检查概率，表示纳税人逃税概率。从上述博弈问题得出税收机关和纳税人的期望效用函数分别为： vG(, )= (a-C+F)+(1- )(a-C)+(1- )( 0+(1- ) a) vM(, )= (-a-F)+(1- )(0)+(1- )(-a)+(1- )(-a)由一阶导数条件求最优, ： vG(, )/ =0 vm(, )/ =0得出： * = a/(a+F) ;
