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1、最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告 学院：数学与信息科学学院 班级：12级信计一班 姓名：李明 学号：1201214049第四章 共轭梯度法1、 上机问题与求解过程1、用算法求解取初始点和初始矩阵为 。解： 仿照书上编写程序，将程序矩阵变为具体如下：functionx,val,k=dfp(fun,gfun,x0)%功能：用DFP算法求解吴宇舒问题：min f(x)%输入：x0是初始点，fun,gfun分别是目标函数及其梯度%输出：x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数maxk=1e5;%给出最大迭代次数rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;
2、k=0; n=length(x0);Hk=2 1;1 1;while(kmaxk) gk=feval(gfun,x0);%计算梯度 if(norm(gk)epsilon),break;end dk=-Hk*gk;%计算搜索方向 m=0;mk=0; while(m20)%用Armijo搜索求步长 if(feval(fun,x0+rhom*dk)0) Hk=Hk-(Hk*yk*yk*Hk)/(yk*Hk*yk)+(sk*sk)/(sk*yk); end k=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0); 然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M文件：function f=fun(x)f
3、=x(1)2+3*x(2)2;function g=gfun(x)g=2*x(1) 6*x(2); 选取初始点为，调用函数程序，得出最小极值点为，极小值为，在界面框中输入的程序如下：x0=1 -1;x,val,k=dfp(fun,gfun,x0)x = 1.0e-06 * -0.2203 -0.1599val = 1.2527e-13k =4 从结果可以看出迭代次数为次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。2、 用算法求的极小点，选取初始点为解： 仿照书上编写程序具体如下：functionx,val,k=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%功能：用BFGS算
4、法求解无约束问题：min f(x)；%输入：x0是初始点，fun,gfun分别是目标函数及梯度；%varargin是输入的可变参数变量，简单调用bfgs时可以忽略它；%但若其他程序循环调用该程序时将会发生重要的作用%输出：x,val分别为近似最优点和最优值，k是迭代次数maxk=500;rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;k=0; n=length(x0);Bk=eye(n);while(kmaxk) gk=feval(gfun,x0,varargin:); if(norm(gk)epsilon),break;end dk=-Bkgk;%解方程组，计算搜索方向 m=
5、0;mk=0; while(m20)%用Armijo搜索求步长 newf=feval(fun,x0+rhom*dk,varargin:); oldf=feval(fun,x0,varargin:); if(newf0) Bk=Bk-(Bk*sk*sk*Bk)/(sk*Bk*sk)+(yk*yk)/(yk*sk); end k=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0,varargin:);%在一开始的时候输入格式有错误为：x,val,k=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%后来改为x,val,k=bfgs(fun,gfun,x0)得出正确答案 建立两个目标函数
6、和梯度的M文件：function f=fun(x)f=x(1)2+x(2)2+x(1)*x(2);function g=gfun(x)g=2*x(1)+x(2) 2*x(2)+x(1); 选取初始点为，调用函数程序，得出最小极值点为，极小值为，在界面框中输入的命令如下：x0=3 2;x,val,k=bfgs(fun,gfun,x0)x = 1.0e-05 * 0.0513 -0.1555val = 1.8846e-12k = 3从结果可以看出迭代次数为次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。3、 分别利用算法和算法的程序求解下列优化问题取取解：（1） 算法解题与前面程序相同，
7、编写不同的函数文件，如下：function f=fun(x)f=x(1)2+x(2)2-3*x(1)-x(1)*x(2)+3;function g=gfun(x)g=2*x(1)-x(2)-3 2*x(2)-x(1);在窗口中输入命令并得出结果： x0=0 0;x,val,k=bfgs(fun,gfun,x0)x = 2.0000 1.0000val = 3.4737e-12k =4由输入的命令与现实的结果可以知道，极小值点为，迭代的次数为4次。算法解题：在上面计算的基础之上，添加函数文件，调用第一题程序：function He=Hess(x)He=2 ,-1; -1, 2;在窗口中输入命令并
8、得出结果： x0=0 0; x,val,k=dfp(fun,gfun,x0)x = 2 1val = 0k = 1 由输入的命令与现实的结果可以知道，极小值点为，迭代的次数为1次。（2） 算法解题与前面程序相同，编写不同的函数文件，如下：function f=fun(x)f=4*(1-x(1)2+5*(x(2)-x(1)2);function g=gfun(x)g=-8*(1-x(1)-10*x(1)*(x(2)-x(1)2) 10*(x(2)-x(1)2);在窗口中输入命令并得出结果： x0=2 0;x,val,k=bfgs(fun,gfun,x0)x = 1.0000 1.0000val
9、= -1.6236e-06k = 31由输入的命令与现实的结果可以知道，极小值点为，迭代的次数为31次。算法解题：在上面计算的基础之上，添加函数文件，调用第一题程序：function He=Hess(x)He=8-10*(x(2)-x(1)2)+20*x(1) ,-10*x(1); -10*x(1), 10;在窗口中输入命令并得出结果：x0=2 0;x,val,k=dfp(fun,gfun,x0)x = 1.0000 1.0000val = 1.7009e-07k = 18 由输入的命令与现实的结果可以知道，极小值点为，迭代的次数为18次。4、 分别利用算法和算法的程序求奇异函数的极小值： 初
10、始点取为。解：算法解题与前面程序相同，编写不同的函数文件，如下： function f=fun(x)f=(x(1)+10*x(2)2+5*(x(3)-10*x(4)2+(x(2)-2*x(3)2+10*(x(1)-x(4)2;function g=gfun(x)g=20*(x(1)+10*x(2)+20*(x(1)-x(4) 20*(x(1)+10*x(2)+2*(x(2)-2*x(3) 10*(x(3)-10*x(4)-4*(x(2)-2*x(3) -100*(x(3)-10*x(4)-20*(x(1)-x(4);在窗口中输入命令并得出结果：x0=3,-1,0,1;x,val,k=bfgs(
11、fun,gfun,x0)x = 1.0e-08 * -0.0062 0.0131 0.4465 0.0432val = 8.1534e-17k = 13由输入的命令与现实的结果可以知道，极小值点为，迭代的次数为13次。算法解题：在上面计算的基础之上，添加矩阵文件，function He=Hess(x)n=length(x);He=zeros(n,n);He=40,20,0,-20; 20,202,-4,0; 0,-4,18,-100; -20,0,-100,1020; 调用第一题程序。由输入的命令与现实的结果可以知道，极小值点为。二、实验结果与心得 通过上机作四道题可以发现使用拟牛顿法求解问题，DFP方法需要Hess矩阵比较麻烦，但是计算结果精确程度较高，收敛速度快。迭代次数少。而BFGS方法不需要Hess矩阵，初始矩阵为单位矩阵，但是迭代速度慢。在做第四题的时候用DFP方法计算速度较快，但结果明显不精确到真实值。
