现代控制理论基础 第3版 教学课件 ppt 作者 王孝武 第5章

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1、第5章 线性定常系统的综合,1. 引言,2. 状态反馈和输出反馈,3. 状态反馈系统的能控性和能观测性,4. 状态反馈极点配置,6. 镇定问题,7. 状态重构和状态观测器,8. 降阶观测器,9. 带状态观测器的状态反馈系统,10. 渐近跟踪和干扰抑制问题,11. 解耦问题,12. MATLAB的应用,本章内容为:,5. 输出反馈极点配置,5.1 引言,线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。,5.2 状态反馈和输出反馈,5.2.1 状态反馈,其中，K 为 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。,则有,（3）,5.2.2 输出反馈,H 为 常数矩阵,（5

2、）,两者比较：状态反馈效果较好； 输出反馈实现较方便。,5.3 状态反馈系统的极点配置,5.3.1 状态反馈系统的能控性和能观性,定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不改变系统的能控性。,（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。,5.3.2 极点配置,定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。,因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配置系统的极点。,经过线性变换 ，可以使系统具有能控标准形。,（13）,方法一：,（15）,引入状态反馈,令,（16）,其中 为待定常数,状态反

3、馈系统特征多项式为,（17）,设状态反馈系统希望的极点为,而状态反馈矩阵,由各幂次系数分别对应相等，并且解n元一次方程组，即可确定状态反馈矩阵。,设状态反馈系统希望的极点为,其中， 为K的各分量元素的线性组合。,注：在求解上面的过程中，如果出现 等的乘积项，只要系统为能控的，则在计算过程中一定能够消去。 如果不能消去的话，只有2种可能：1）系统不能控；2）计算过程中有错误。,因为：1.系统变换成能控标准型后配置极点，没有 等的乘积项； 2.能控系统的方程一定能够转换成能控标准型； 3.非标准型能控系统方程，与它的能控标准型方程是等价的。两者之间只是进行了非奇异线性变换，不影响其基本属性。 所以

4、：在非标准型方程配置极点的过程中产生的 乘积项必将在计算过程中消去。,例5-3 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下,为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG， 通过霍尔电流传感器测得电枢电流 ，即 。已知折算到电动机轴上的粘性摩擦系数 、转动惯量 ；电动机电枢回路电阻 ；电枢回路电感 ；电动势系数为 、电动机转矩系数为 。选择 、 、 作为状态变量。将系统极点配置到 和 ，求K 阵。,解 1. 建立系统状态空间模型,为恒定的负载转矩,将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为,2. 计算状态反馈矩阵,所以系统能控,计算出状态反馈矩阵,状态反馈系统的状态图如图（c）所示（

5、没有画出 ）。,经过结构变换成（d）图所示的状态图,验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极点位置。,5.4 输出反馈系统的极点配置,5.4.1 输出反馈系统的能观测性和能控性,定理5-2 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能观测性。,控制,输出反馈系统方程为,对于任意常值反馈矩阵H，均有,可见，输出反馈不改变系统的能观性。,定理5-3 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能控性。,控制,输出反馈系统方程为,对于任意常值矩阵H，均有,可见，输出反馈不改变系统的能控性。,5.4.2 输出反馈系统极点配置的局限性,引入输出反馈：,得到：,设A的特征多项式为：,若系

6、统能控，则进行线性变换， 成能控标准形：,（21）,令（20）式和（21）式的s同次幂系数相等，得到,n个方程的联立方程组，m个未知量，当mn时，方程组无解。,（22）,对于给定的 ，（22）式有解的条件是：它们相容。,即：当 的秩为m时，m个方程的唯一解应能够满足剩下的（n-m）个方程，则（22）式有解，输出反馈控制可以配置极点。,解：由方程组（22）计算,如果希望极点为-1、-1、-2，则特征多项式为 ，不满足（23）式。即不能用常值输出反馈任意配置极点。,如果特征多项式为 ，则满足（23）式。,5.4.3 输出反馈系统极点配置的基本结论,例如：系统方程为,定理5-4 系统（1）能控、能观

7、测，rank B=r， rank C=m。存在一个常值输出反馈矩阵H，使闭环系统有 个极点可配置任意接近 个任意指定的极点（复数共轭成对）的位置。在 的情况下，几乎所有的系统都可以通过输出反馈使之稳定。,由于r=1，m=1，n=2，因此 ，即引入 后，可以任意接近地配置的极点数是1。该闭环系统的特征方程为 。如果希望闭环极点为 ，则选择h=1，可以将一个极点配置在与希望极点最近的位置上，但是不能配置在希望极点上。,5.4.4 动态输出反馈系统的极点配置,系统方程为,(24),其中，x 为n 维，u 为r 维，y 为m 维向量。,采用输出反馈，同时引入补偿器,其中，z 为l 维，w 为r 维向量

8、。,控制信号,（25）,（26）,将（26）式代入（24）式，得,动态输出反馈系统的系统方程为,（27）,为了能用类似常值输出反馈系统的极点配置方法，将补偿器的参数转化为等效的静态输出反馈矩阵来设计。,令：,式中 为n+l维向量， 为r+l维向量， 为m+l维向量。,设等效静态输出反馈矩阵为 ，且,控制,则有,（29）,（30）,定理5-5 动态输出反馈系统（30）要进行极点配置，必须是能控且能观测的。而它能控且能观测的充分必要条件是系统（24）为能控且能观测的。,定理5-6 动态输出反馈系统为能控且能观测，并且 ， ， 则存在等效静态输出反馈矩阵 ， 使得等效的静态输出反馈系统有 个极点可以

9、配置在任意接近希望极点的位置（复数共轭成对）。在 的条件下，几乎所有的等效静态输出反馈系统均可以用等效静态输出反馈来稳定。,定理5-7 如果系统（24）为能控且能观测，则存在补偿器，使动态输出反馈系统的全部极点均可以近似配置到任意的希望位置（复数共轭成对）。,例5-6 系统方程为,要求采用补偿器，使动态输出反馈系统的极点为-2、-3、-4.,解：经检验，系统能控且能观测。但 ，故不能用静态输出反馈来配置系统的极点。可以用动态输出反馈实现极点的配置。补偿器维数可以算出： ，l=1，补偿器方程为,等效系统方程为,控制,动态输出反馈系统的系数矩阵为,特征多项式为,希望极点的特征多项式,对应幂次系数相

10、等，得,补偿器方程为,补偿器的传递函数为,可见，补偿器本身是稳定的。,5.5 镇定问题,镇定问题 非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定,显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。,那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理5-2。,当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为,1） 将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵,2）确定 ，化 为约当形式,3） 利用状态反馈配置 的特征值，计算,4） 所求镇定系统的反馈阵,解 矩阵A 为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为 -5，因此，系统可以镇定。,能控子系统方程为,引入状态反馈,其中,为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点

11、为,同次幂系数相等，得,5.6 状态重构和状态观测器,问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。如何解决这个问题？ 答案是：重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。,当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则 。但是实际系统总会有一些差别，因此实际上 。,由（35）式可知，如果适当选择G 矩阵，使(A-GC) 的所有特征值具有负实部，则 式（34）系统就是式（31）系统的状态观测器， 就是重构的状态。,定理5-9 系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测。,（证明请参见教材167页）,(补充：系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部，也存在状

12、态观测器。),例5-8 系统方程为,要求设计系统的状态观测器，其特征值为3、4、5。,设：,其中 ， 待定,希望特征值对应的特征多项式,而状态观测器的特征多项式,同次幂系数分别相等，可以得出,几点说明：,1） 希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。,2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否则，抗干扰能力降低。,3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有较大的变化，从而可能使系统不稳定。,5.7 降阶观测器,1. 降阶观测器的维数,定理 5-11 若系统能观测，且rankC = m，则系统的状态观测器的

13、最小维数是(n-m)。,（证明略）,因为有m 维可以通过观测 y 得到，因此有(n-m)维需要观测。,进行线性变换，,（38）,得到如下形式的系统方程,2. 降阶观测器存在的条件及其构成,（40）,于是有(n-m) 阶的子系统：,（42）,以下构造这个子系统的状态观测器,（43）,因为子系统能观测，所以，通过选择 的参数，可以配置 的特征值。,为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，,（44）,即,（44）式代入（43），得,因此， 是 的估计。,（46）,状态图中,5.8 带有状态观测器的状态反馈系统,SISO线性定常系统,（47）,还有,写成矩阵形式,（50）,对（43）式进行线性变换，

14、得到如下方程,（52）,（53）,由上式可见， 的特征值与 的特征值可以分别配置，互不影响。 这种 的特征值和 特征值可以分别配置，互不影响的方法，称为分离定理。需要注意： 的特征值应该比 的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证 尽快跟上 ，正常地实现状态反馈。,这时传递函数为,5.9 渐近跟踪与干扰抑制问题,5.9.1 渐近跟踪问题,右图所示反馈控制系统,一般很难做到在所有时间上都有 ， 但 ， 就有可能做到，即：,稳态时，实现了 跟踪 ，称为渐近跟踪。,在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。,但是，对于 不是典型输入信号，则 跟踪 的条件是什么？,输入和误差信号的拉氏变换式分别为,显然，输入信号的分母 中那些实部为负的根，当 时对稳态误差无影响；只有那些位于 右半闭平面（包括虚轴的右半平面）的根，对稳态误差有影响。,当 的全部极点位于 左半开平面时，要使,必须有,1） 的所有根实部均为负。,2） 在 右半闭平面的零点也是 的零点。,上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即 有 。其中，第2个条件就是著名的内模原理。,5.9.2 内模原理,假定 的某些根具有零实部或正实部，令 是 中不稳定的极点构成的多项式。 和