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1、1 复变函数与积分变换 第一章 复数与复变函数 1. 任何一个复数z0 有无穷多个辐角，如1是辐角，则有 Argz=1+2k (k=0,1,2,) 表示z的全部辐角，其中满足-0的辐角0称为辐角 Argz 的主值， 记为0=argz. 2. 棣莫弗公式： （cos + sin)=cosn + sin 第二章 解析函数 1. 柯西黎曼方程： = ， = 2. 如果二元实函数(,)在区域 D 内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方 程： 2 2 + 2 2 = 0 则称(,)为区域 D 内的调和函数。 3. 共轭调和函数公式： (,) = (,) (0,0) d + d + C 其中(0,0)为
2、D 内一个定点，(,)为 D 内任一点，C 为任意常数。该积分 与路径无关。 4. 指数函数的定义 = += (cos + sin) 5. 指数函数的性质 2= 1 6. ln,称为 Lnz的主值，于是有 ln = ln| + arg 而其他各支可由下式表达： Ln = ln + 2 ( = 1,2,) 7. 余弦函数与正弦函数： cos = + 2 sin = 2 8. 双曲正弦函数和双曲余弦函数： sh = 2 chz = + 2 2 第三章 复变函数的积分 1. 复积分的计算 ()d = ()()d C 2. 计算：C 为单位圆周| = 1的上半部分从1= 1到2= 1的弧。C 的参数方
3、 程为 = (0 )，d = d. 3. 柯西积分公式： (0) = 1 2 () 0 d C () 0 d C = 2 (0 ) 4. 高阶导数公式: () ( 0) = ! 2 () ( 0)+1 d ( = 1,2,). C () ( 0)+1 d = 2 ! () ( 0) ( = 1,2,). C 第四章 级数 1. 幂级数 =0 收敛半径公式为 R = lim | +1|. 2. 幂级数基本展开公式： 1 1 = 1 + + 2+ + + ，| 1； 1 1 + = (1)，| 1； =0 = ! ，| +； =0 sin = (1) 2+1 (2 + 1)! ，| +； =0 3
4、 cos = (1)2 (2)! ，| +； =0 3. 函数展开结果中可能不含z的负幂项，原因在于()在 C 内是解析的。 第五章 留数 1. 【定理】设0为函数()的孤立奇点 (1)若lim 0 () = （有限值） ，则0为()的可去奇点； (2)若 lim 0 () = ，则z0为()的极点，进一步，若 lim 0( 0) () = (有限值且不为 0)，则0为()的阶奇点； (3)若 lim zz0 ()不存在且不为 0，则0为()的本性奇点. 2. 留数的计算方法： (1)当z0为f(z)的可去奇点时， Res(),0 = 0. (2)当0为()的一阶极点时， Res(),0 =
5、lim 0( 0)(). (3)若0为() = () ()的一阶奇点，且 (0) 0，则 Res(),0 = (0) (0). (4)若0为()的阶极点，则 Res(),0 = 1 ( 1)! lim 0 d1 d1 ( 0)(). 3. 留数定理 ()d = 2 Res(), =1 C . 第七章 傅里叶变换(Fourier) 1. 傅氏变换： () = ()d + 傅氏逆变换： () = 1 2 ()d + 4 第八章 拉普拉斯变换(Laplace) 1. 拉普拉斯变换式： () = () + 0 d F(s)=L f(t)，即 L () = () + 0 d 2. 拉氏变换表 () () 1，() 1 1 1 ( + )2 sin 2+ 2 cos 2+ 2 ! +1 3. 拉普拉斯变换的微分性质： L() = () (0) L() = 2() (0) (0) L() = 3() 2(0) (0) (0) L()() = () 1(0) 2(0) (1)(0)
