《理论力学 教学课件 ppt 作者 肖明葵 第18章 单自由度系统的振动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学 教学课件 ppt 作者 肖明葵 第18章 单自由度系统的振动（126页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、普通高等教育规划教材,编 著 肖明葵 程光均 张祥东 吴云芳 邹昭文 课件制作 王建宁,理 论 力 学,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动 18.2 单自由度系统的衰减振动 18.3 单自由度系统的的强迫振动 18.4 隔振理论简介,第18章 单自由度系统的振动,振动现象是自然界、工程和日常生活中非常普遍的现象，有机械振动、电磁振荡、光的波动等不同形式。本章只研究机械振动，即物体在其平衡位置附近所作的往复运动称为机械振动。例如，桥梁和建筑物在阵风或地震激励下的振动；飞机、船舶和车辆在行驶中的振动；机床和刀具在加工工件时的振动；各种动力机械的振动；控制系统中的自激振动等等。这些振动统称为机械
2、振动。,第18章 单自由度系统的振动,振动有其利弊。在很多方面，振动会造成危害。例如，振动会影响精密仪器设备的功能，降低加工精度和光洁度，加剧物件的疲劳和损伤，从而缩短机器和结构物的使用寿命。振动还可能引起结构的大变形破坏，使得建筑物和桥梁等因振动而坍塌；飞机机翼的颤振、机轮的抖振往往造成事故；车船和机舱的振动会劣化乘载条件；强烈的振动噪声会形成严重环境污染。,第18章 单自由度系统的振动,然而，振动也有它有利的一面。例如：振动沉桩、振动传输、振动夯实、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动消除内应力等等。因此，认识和掌握了振动的规律之后，可以设法减轻或避免振动所造成的危害，并可变不利因素为有利因
3、素，利用振动原理及其特征为人类服务。,第18章 单自由度系统的振动,1. 无阻尼单自由度系统振动模型,单自由度振动系统是指在振动的任一瞬时，其 运动形态可以借助于一个广义坐标来确定的系统。 是实际工程振动问题简化而得的一种最简单的振动 模型。,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,例如，在梁上放一台电动机(图18.1a)，当电动机沿着铅垂 方向振动时，视梁和电动机为一振动系统，若不计梁的质量， 则它的弹性对电动机振动的作用就相当于一根不计质量的弹簧。 该系统可以简化为一个质点与一根弹簧组成的模型(图18.1b)， 该模型为质量弹簧系统模型。质点的位置可以用一个独立坐 标x完全决定，因此，这是
4、一个单自由度系统。,图 18.1,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,又如图18.2所示刚架，若假定柱子的质量比横梁的质量小得多，可以略去，并设横梁为刚体，当只考虑横梁的水平振动时，则也属于单自由度系统的振动。,图 18.2,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,再如，单摆(图18.3a)，复摆(图18.3b)及在固定圆弧轨道上作纯滚动的均质圆轮(图18.3c)，它们的位置都可以用一个独立坐标来确定，因此它们都是单自由度系统。,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,图 18.3,无阻尼自由振动是指系统在初始干扰(初位移或初速度)下只受恢复力的作用而在其稳定平衡位置附近所作的微幅振动。
5、在无阻尼自由振动系统中，由于略去了外界的干扰力和阻尼力，因此，系统仅由惯性元件和弹性元件组成，系统在振动过程中仅受到使物体回到平衡位置的力(或力矩)（称为弹性恢复力(或恢复力矩)）作用。,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,2. 无阻尼单自由度系统自由振动微分方程,研究振动问题，首先是如何建立系统的运动微分方程。单自由度系统自由振动运动微分方程可以采用牛顿第二定律、动量矩定理、动能定理、动静法等多种不同的方法建立，视所讨论的问题不同而选择不同的方法。 如在图18.1、18.2、18.3各例中，如以稳定平衡位置为各广义坐标原点，则各系统微幅振动时的运动微分方程为：,18.1 单自由度系统的无
6、阻尼自由振动,质量弹簧系统,单摆(数学摆),复摆(物理摆),固定圆弧轨道上只滚不滑的均质轮,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,从以上各例可以看出，对于任何一个无阻尼单自由度系统，以q为广义坐标(从稳定平衡位置开始量取)，则无阻尼自由振动的运动微分方程可写为,(18.1),其中,分别表示将系统等效为质量,和,弹簧系统对应的等效质量和等效刚度。令,(18.2),18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,则式(18.1)改写为：,(18.3),上式称为无阻尼单自由度系动自由振动微分方程 的标准形式。其通解为,(18.4),其中A和,是两个积分常数，由运动初始条件确定。,式(18.4)称为无阻尼单
7、自由度系统的自由振动方程，它 表明，无阻尼自由振动是简谐振动，简称谐振动,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,3. 自由振动的特性,(1) 振幅和位相,式(18.4)中A称为自由振动的振幅，它表示振动质点,偏离稳定平衡位置(振动中心)的最大位移。,称为相角或,位相或相位，其中,称为初位相，即振动开始时(t=0)的,位相。A和,这两个积分常数由运动的初始条件决定。,给定初始条件t=0时，,，则有：,(18.5),18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,(2) 周期、频率和圆频率,系统振动一次所需的时间称为周期，以T表示。在简谐振动情况下，每经过一个周期，位相就增加 ， 即：,单位为rad/s
8、(弧度/秒),18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,系统自由振动的周期、频率和圆频率只决定于系统的基本物理参数，即系统的等效质量 ，等效刚度 ，而与运动初始条件无关。它们是系统的固有特性。所以自由振动的频率 ，圆频率 称为系统的固有频率(或自然频率)，固有圆频率。固有圆频率是振动理论中的一个重要概念，它反映了振动系统的动力特性。,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,例18.1 一质量 为的物体从高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI，跨度为 的简支梁在跨中点相碰后一起运动，如图18.4a所示，不计梁的质量，且梁始终在线弹性范围内工作。求梁作自由振动的圆频率和最大挠度。,图 18.4,18.
9、1 单自由度系统的无阻尼自由振动,解 若物体静止放于梁跨中，则由材料力学的知识可求得简支梁在跨中荷载mg作用下的静挠度为：,物体自h 高度处自由落下与梁接触后，梁与重物 将一起运动，接着发生自由振动。将系统等效为质 量弹簧系统，如图18.4b所示。系统的等效质量为,等效刚度为,，所求自由振动,的圆频率为,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,若以梁的静平衡位置为坐标原点建立坐标系，以撞击时刻为零时刻，则当t=0时，有,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,梁的最大挠度应为挠度与振幅之和，即：,这与材料力学自由落体冲击所得结果一致。,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,例18.2 图18
10、.5a中质量为m的物块由两刚度系数分别为 和 的弹簧串联悬挂于A点；图18.6a中，同一物块由同样两根弹簧并联悬挂，试分别求这两种情况下系统的固有圆频率。,图 18.5,图 18.6,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,解 (1)串联弹簧的情况： 这种情况下，每一根弹簧所受的拉力大小相同，都等于 ，因此，每根弹簧的静伸长为：,物块,的总静力位移等于两串联弹簧的总静伸长,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,式中： 称为两串联弹簧的等效刚度，即以一根弹簧(图18.5b)等效代替原来的两根串联弹簧所应有的刚度。可见，当两根弹簧串联时，其等效刚度的倒数等于这两根弹簧刚度的倒数之和。此结论可以推
11、广到多根弹簧串联的情形。,系统的固有圆频率为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,(2) 并联弹簧的情况 两弹簧并联起来悬挂同一物体，则两弹簧具有相同的静伸长 ，在平衡时有 因此有： 称为两并联弹簧的等效刚度（图18.5b）。可见，弹簧并联时，其等效刚度等于各根弹簧刚度之和。：,系统的固有圆频率为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,例18.3 一振动仪简图如图18.7a所示。已知振子M质量为 ，曲杠杆质量为 ( 的作用点非常接近AO的中心线)，对O轴的转动惯量为 ，弹簧1和弹簧2的刚度系数分别为 及 。系统平衡时，OA水平，弹簧质量不计，试求系统的固有圆频率。,图 18.7,18
12、.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,解 : 本题采用动量矩定理，建立系统的运动微分方程。 以整体系统作为研究对象进行受力分析，其受力图如图18.7b所示。系统平衡时，OA水平，在任一瞬时，OA与水平线夹角为，该系统为单自由度系统。取为广义坐标，微振动情况下，略去角引起的各力作用线到O点距离的改变这一高阶微量。弹簧因变形而产生的恢复力为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,和 均为两弹簧的静压缩。 系统对O轴的动量矩为： 系统所受各外力对O轴之矩的代数和为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,系统在静平衡位置时有,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,可见，系统的等效质量和等效刚度
13、分别为：,故系统的固有圆频率为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,4. 计算固有圆频率的能量法,对于保守系统，如果只限于确定系统的固有圆频率，利用能量法则比较方便。不考虑阻尼的情况下，系统的机械能守恒，即系统在任何位置时，所具有的动能T 和势能V 的总和不变，即：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,而系统的势能V 则包括两部分：物体的重力势能Vg和弹簧的弹性势能VE。零势点取在系统的稳定平衡位置，则：,因此，系统的势能为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,在振动过程中， ，当系统达到静平衡位置时，系统的势能为零，但此时系统的速度最大，其动能也最大，此时系统的全部机械能就等
14、于最大动能，即：,(18.9),18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,当系统偏离平衡位置最大处A时，速度为零，其动能也为零，此时系统的势能达到最大值且等于全部机械能，即：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,从而得固有圆频率为,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,例18.4 摆杆振动系统如图18.8所示。已知摆杆OA对O轴的转动惯量为J0，刚度系数为k1和k2的弹簧分别连于杆的A和B处，摆杆在初始干扰后作自由振动，其水平位置为系统的平衡位置，试求系统微振动时的固有圆频率和周期。,图 18.8,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,解 这是一个单自由度保守系统，摆杆作自由振动的运动方
15、程可以写为标准形式为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,式中，A为振幅，而,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,根据系统机械能守恒得：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,振动周期为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,例18.5 一质量为m，半径为r 的均质圆柱体，在中心为O，半径为R的固定圆柱面内作纯滚动(如图18.9所示) 。试求它在稳定平衡位置附近作微小摆动的固有圆频率。,图 18.9,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,解 本题采用能量法求解。因此，首先需求得圆柱体作平面运动时的动能和势能。 当圆柱体位于圆柱面上任一位置时，以两柱体中心连线OO1与沿直线间的微小偏角为广义坐标，设此时，圆柱体中心O1的速度为 ，角速度为。由运动学的知识知：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,其自由振动的运动方程可以写为标准形式：,因此有,系统的最大动能为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,以稳定平衡位置为势能零点，则系统的最大势能为：,18.1 单自由度系统的无阻尼自由振动,18.2 单自由度系统的衰减振动,单自由度系统的无阻尼自由振动是简谐运动，其振幅
