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1、,材 料 力 学 简 明 教 程,制作与设计： 高晓芳、张慧英、叶琳、宋晓梅、 邱龙辉、程建文、李旭,第五章 弯曲内力,主要内容：,弯曲和平面弯曲的概念与实例,梁的计算简图及分类,梁的内力剪力和弯矩,剪力图和弯矩图,载荷集度、剪力和弯矩的微分关系,剪力图的叠加法,平面刚架与曲杆的内力,51 弯曲和平面弯曲的概念与实例,横向力：作用于杆件上且都垂直于杆的轴线的外力。,弯曲：在横向力作用下，杆的轴线将弯曲成一条曲线的变形形式。,梁：凡是以弯曲变形为主的杆件。,工程力学中的梁，包括结构物中的各种梁，也包括机械中的转轴和轮齿轴等。,基本概念,轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 有对称平面的梁
2、称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。,平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。,非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。,52 梁的计算简图及分类,梁的载荷,集中力（或集中载荷） 当外力在梁上的分布范围远远小于梁的长度时，便可简化为作用于一点的集中力。,分布载荷 沿梁全长或部分长度连续分布的横向力。通常以沿梁轴每单位长度上所受的力，即载荷密度 q 来表示,集中力偶 作用在微小梁段的外力偶称为集中力偶。,梁的支座,固定铰支座 这种支座可阻止梁在支承处沿水平和垂直方向的移动，但不能阻止
3、梁绕铰链中心的转动。,可动铰支座 这种支座能阻止梁沿垂直于支承面方向的移动，但不能阻止梁沿着支承面的移动，也不能阻止梁绕铰链中心的转动。,固定端 这种支座使梁的端截面即不能沿水平方向和垂直方向移动，也不能绕某一点转动。,静定梁的基本形式,简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座。,外伸梁 梁有一个固定铰支座和一个活动铰支座，而梁的一端或两端伸出支座之外。,悬臂梁 梁的一端固定，另一端自由。,简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度,悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离,53 梁的内力剪力和弯矩,截面法过程：切取、替代、平衡,剪力,弯矩,剪力Q的符号：若被保留的梁段的截面上的剪力Q对该
4、 截面作“顺时针转”的Q为正，反之为负。,弯矩M的符号规定：在图示的变形情况下，即在横截面 m-m处弯曲变形凸向下时，这一横截面上 的弯矩规定为正，反之为负。,剪力符号规定,弯矩符号规定,例 求图示简支梁截面1-1及2-2剪力和弯矩。,解 (1)计算梁的支座约束力,(2) 求截面1一1的剪力及弯矩,(3) 求截面2一2的剪力及弯矩,FQ2得负值，说明与图示假设力向相反，即为负剪力。,规律： 1)某一截面的剪力等于此截面一侧(左侧或右侧)所有外力(包括载 荷和约束力)沿着杆轴垂直方向投影的代数和。 2)某一截面的弯矩等于此截面一侧(左侧或右侧)所有外力(包括载 荷和约束力)对此截面形心的力矩的代
5、数和。,注意： 1)按此规律列剪力计算式时，“凡截面左侧梁上所有向上的外力， 或截面右侧梁上所有向下的外力，都将产生正的剪力，故均取 正号;反之为负” 2)在列弯矩计算式时，“凡截面左侧梁上外力列截面形心之矩为顺 时针转向，或截面右侧外力对截面形心之矩为逆时针转向，都 将产生正的弯矩，故均取正号;反之为负”,直接由外力求剪力和弯矩的方法,左上右下，剪力为正: 左顺右逆，弯矩为正,例 如图所示的简支梁，已知所受载荷为F，左、右端的支座约束力分别为3 F/4和F/4，求中间截面的剪力和弯矩。,解 取左段梁为研究对象,取右段梁为研究对象,54 剪力图和弯矩图,剪力图和弯矩图绘制的基本方法,梁的剪力和
6、弯矩方程,x表示横截面在梁轴线上的位置,剪力和弯矩图：根据剪力方程和弯矩方程用图线把剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况表示出来的图线。 作图时，要选择一个适当的比例尺，以横截面位置 x 为横坐标，剪力和弯矩 M 值为纵坐标，并将正剪力和正弯矩画在x轴的上边，负的画在下面。,P,Q,例 一悬臂梁AB，在自由端受集中力P 作用，如图所示。试作此梁的剪力图和弯矩图。,解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，将梁左端A点取作坐标原点。,剪力方程和弯矩方程,(2) 画剪力图和弯矩图,O,剪力图是水平线,弯矩图是一条倾斜直线,x,例 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。试作此梁的弯矩图。,解 (1)求
7、支座反力,(2) 列弯矩方程,距A端为x1和x2两截面处截开,AC 段,CB 段,FA,FB,x1,x2,(3) 画弯矩图,Pab/l,弯矩图的特点,梁上没有均布载荷作用的部分,弯矩图为倾斜直线。而且若均布载荷q向下时, 弯矩图自左而右向下斜；反之, 自左而右向上斜 。,梁上有均布载荷作用的一段，弯矩图为抛物线，而且若均布载荷q向下时，抛物线开口向下。反之,抛物线开口向上。,在集中力作用处，弯矩图上在此出现折角(即两侧斜率不同)。,梁上集中力偶作用处,弯矩图有突变，突变的值即为该处集中力偶的力偶矩。 若力偶为顺时针转向,弯矩图向上突变,反之弯矩图向下突变(自左至右)。,绝对值最大的弯矩总是出现
8、在下述截面上；集中力作用处；集中力偶作用处和剪力等于零的截面上。,55 载荷集度、剪力和弯矩的微分关系,梁上任意截面上的弯矩、剪力和作用于该截面处的载荷集度之间存 在着一定的微分关系,所取微段的平衡方程,化简可得,微分关系式表明: 剪力图上某点处的斜率等于所对应横截面处的载荷集度; 弯矩图上某点处的斜率等于所对应横截面处的剪力; 弯矩图上某点处的二阶导数等于所对应横截面处的载荷集度,例 作图示外伸梁的剪力图和弯矩图，并求|FQ|和|M| ，设Me= ql2。,解 求支座约束力,根据梁所受的外力，将该梁分为四 段，即CA , AD , DB和BE。,根据课本表5-1，作出全梁的剪力图和弯矩图,5
9、6 剪力图的叠加法,梁上同时有几个载荷作用时，可以分别求出各个载荷单独作用 下的弯矩图，然后进行代数相加，从而得到各载荷同时作用下 的弯矩图。这样一种方法称为绘制弯矩图的叠加法。,例 试用叠加法作图示悬臂梁的弯矩图，设F=3ql/8。,解 分别作出梁只有集中载荷和只有分布载荷作用下的弯矩图。为了便于叠加，在叠加时把它们画在x轴的同一侧,最大弯矩值发生在根部截 面上 。,57 平面刚架与曲杆的内力,所谓刚架，就是由一些杆件作刚性连接所组成的结构，在连接处不能 有任何的相对移动和转动。刚架的横截面上的内力一般有：轴力、剪 力和弯矩。,例 图示刚架AB C，设在AC段承受均布载荷q作用，试分析刚架的内力，画出弯矩图。,解 (1)利用平衡力程求出支座约束力,约束力力向如图所示,(2)计算各杆的弯矩 计算竖杆AC中坐标为x1任意横截面的弯矩,计算横杆CB中坐标为x2任意横截面的弯矩,(3)绘制刚架的弯矩图,平面曲杆的内力,例 图示是轴线为四分之一圆周的曲杆。试作曲杆的弯矩图。,解 曲杆在m-m截面以右的部分,画弯矩图,
