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1、模糊数学方法及其应用 （第三版）谢季坚，刘承平。华中科技大学出版社 第四章 模糊决策习题解答 1.排序排序 某单位按下列条件（现实表现、管理水平、教学水平、教学奖、荣誉证、科研水平、科研奖、 论文数）对六位同志晋升高一级职称的条件进行评价。由于各人情况不同，名额又有限，拟 请专家 8 人对 6 位同志进行排序，所得结果如表所示。试用模糊意见集中决 策，确定 6 位同志的先后排序。 , , , , ,a b c d e f 名次 意见 1(10 分) 2(8 分) 3(6 分) 4(4 分) 5(2 分) 6(1 分) 1 b a d c f e 2 b e f a d c 3 e d f c
2、a b 4 e d c f b a 5 d e c f b a 6 c d f a b e 7 f d a c b e 8 d c f a e b 解：利用波达数的计算方法可知： a的波达数为 42 1 0023214+ + + += b的波达数为55 0 1 1 1 1 014+ + + + + + += c的波达数为 20233 52417+ + + + += d的波达数为 3 1 44544530+ + += e的波达数为1 4 55400 120+ + + + + = f的波达数为1 3 32235322+ + + + += 排序为（并列） , , ,d f e c, a b 考虑了名
3、次的权重 名次 1(10 分) 2(8 分) 3(6 分) 4(4 分) 5(2 分) 6(1 分) 5 4 3 2 1 0 权重 10/31 8/31 6/31 4/31 2/31 1/31 加权后的结果为 a的加权波达数为4 8/31 2 3 4/31 1 2/31 0 2 1/31 3 6/3176/31+ + + + = b的波达数为5 2 10/31 1 4 2/31 0 1/31 108/31 + + = c的波达数为 2 3 4/31 0 1/31 3 2 6/31 5 10/31 4 8/31 142/31 + + + + = d的波达数为 3 6/31 1 2/31 4 4
4、8/31 5 2 10/31244/31+ + + = e的波达数为1 2 2/31 4 2 8/31 5 2 10/31 0 2 1/31 168/31 + + + = f的波达数为1 2/31 3 4 6/31 2 2 4/31 5 10/31 140/31+ + + = 加权后的排序为 , , , ,d e c f b a 2.排序排序 手写英文字母的模糊识别。设论域, ,a b c , , Xa b c=及待识别图像（）如图所示，为了 方便，设依次为 z , ,a b c 123 ,x xx。考察他们与待识别图像（）是否相似。若a与b比较， 与（）的相似程度为 0.32，则b与（）相似
5、程度为 0.46；b与比较，与（）的 相似程度为 0.4，则与（）相似程度为 0.64；c与比较，c与（）的相似程度为 0.46， 则与（）相似程度为 0.54；试用模糊优先关系定序法按与图像（）最相似特性确定 z azzcbz czaz azz 123 ,x xx的次序，从而识别（）是哪个字母 z 解：用模糊优先关系排序决策来进行排序，首先要建立模糊优先关系矩阵R。在计算时 要求。而根据题目，a与b比较时，与（）的相似程度为 0.32，则与（） 相似程度为 0.46，选择对的优先选择比为 ij r 1 ijji rr+=azbz ab 0.32 0.320.46+ ，对的优先选择比为ba 0
6、.46 0.320.46+ ，同理，得到其他两两对比的优先选择比。 模糊优先关系矩阵 10.410.54 0.5910.38 0.460.621 R = 找出每行最小值0，其中最大值0.46位于第三行，因此为第一优越对象。 将第三行和第三列划去得到与b的模糊优先关系矩阵： .41,0.38,0.46c a (1) 10.41 0.591 R = 行最小值中的最大值0.59位于第二行，因此b为第二优越对象。则最后一个为第三优越 对象。 a 则与图像（）最相似的对象按优越程度从大到小顺序为，b，。因此识别（）是。 zcazc 3. 设 123 ,Xx x x=， 1234 ,Yy yyy= 101
7、0 0100 0011 R = 13 ,Ax x= 12 0.70.2 B xx =+ % ，试求， ( ) R TA % ( ) R TB % 解：解法 1，利用第四章模糊线性变换的内容知： 1010 ( )(1,0,1)0100(1,0,1,1) 0011 R TAA R = oo % 1010 ( )(0.7,0.2,0)0100(0.7,0.2,0.7,0) 0011 R TBB R = oo % 解法 2，由模糊关系矩阵知存在模糊映射 1010 0100 0011 R = ( )f x，使得 1 ()(1,0,1,0)f x=， 2 ()(0,1,0,0)f x= 3 ()(0,0,
8、1,1)f x= 也即 11 22 31 43 , , ( ) , , y xx yxx f x y xx x yxx = = = = = 3 % % 则根据第一章的扩张原理知 27 P 11 22 313 43 ( )()( )1 ( )()()0 ( )()( ( ), ()1 ( )()()1 f A yA x f A yA x f A yA xA x f A yA x = = = = = 即 ( )(1,0,1,1) R TA = 11 22 313 43 ( )()()0.7 ( )()()0.2 ( )()( ( ), ()0.7 ( )()()0 f ByB x f ByB x
9、f ByB xB x f ByB x = = = = = % % % % 即 ( )(0.7,0.2,0.7,0) R TB = 4.设 12 ,Xx x=，Ax 123 ,Yy yy= 0.10.20.7 0.310.1 R = 12 ,x=， 12 0.10.6 B xx =+ % ， 试求， ( ) R TA % ( ) R TB 解：利用模糊线性变换的内容知： 12 0.10.20.7 0.310.7 ( )(1,1)(0.3,1,0.7) 0.310.1 R TAA R 3 yyy =+ oo % 12 0.10.20.7 0.30.60.1 ( )(0.1,0.6)(0.3,0.6
10、,0.1) 0.310.1 R TBB R 3 yyy =+ oo % 5. 设 123456 ,Xx x x x x x=， , , , Ya b c d=而 123 45 6 , , ( ), , a xx x x f xb xx x c xx = = 12356 10.50.80.40.7 A xxxxx =+ % ，试求( )Bf A= % 及 1( ) fB % 。 解：解法 1.根据第一章的扩张原理知 123 45 6 ( )( )( ( ), (), ()1 ( )( )( (), ()0.4 ( )( )()0.7 ( )( )0 f A aA xA xA x f A bA x
11、A x f A cA x f A d = = = = = = = % % % % 即 10.40.70 (1,0.4,0.7,0)B abcd =+ % + = 111 123 11 45 1 6 ( )()( )()( )()( )1 ( )()( )()( )0.4 ( )()( )0.7 fB xfB xfB xB a fB xfB xB b fB xB c = = = % % % 即 1 123456 1110.40.40.7 ( )(1,1,1,0.4,0.4,0.7)fB xxxxxx =+ % 解法 2，根据模糊映射( )f x，可以得到模糊关系矩阵 1000 1000 1000
12、 0100 0100 0010 R = 则 1000 1000 1000 ( )( )(1,0.5,0.8,0,0.4,0.7)(1,0.4,0.7,0) 0100 0100 0010 R Bf ATAA R = oo % 1 111000 000110 ( )( )(1,0.4,0.7,0)(1,1,1,0.4,0.4,0.7) 000001 000000 R fBTBB R = oo % 其中 R是Y到X的模糊关系矩阵，是X到Y的模糊关系矩阵R的转置。 6.设XR= 2 : |( )1 (1) fRR xf xx = + 而A % 是X的子集 1/3, 3 ( )1,01 0, xx A
13、xxx others + 的用来代替 ij r0 0.40.50.70 0.4000 0.4000 0.40.500.5 R = 因为每一列都有非零的元素，所以原模糊关系方程有解 第三步求极小解 在 R中每列选取一个非零元素，总共有4 2 1 18 =种取法 选取第一列的第一个元素， 第二列的第一个元素， 第三列的第一个元素和第四列的第四个元 素得(，因此选中了第一行的和第四行的0.5元素，在行中选中的元素 中选取最大值，第二行和第三行中没有选取元素，得到一个解 1,1,1,4)0.4,0.5,0.7 (0.7,0,0,0.5) 同理，选取时，得到解( (2,1,1,4)0.7,0.4,0,0
14、.5) 选取(时，得到解 3,1,1,4)(0.7,0,0.4,0.5) 选取(时，得到解 4,1,1,4)(0.7,0,0,0.5) 选取时，得到解 (1,4,1,4)(0.7,0,0,0.5) 选取时，得到解 (2,4,1,4)(0.7,0.4,0,0.5) 选取(时，得到解( 3,4,1,4)0.7,0,0.4,0.5) 选取时，得到解 (4,4,1,4)(0.7,0,0,0.5) 拟极小解为 (0.7,0,0,0.5)x = 第四步构造解集 方程的解集为 |X xXx=(0.7,1,0,0.4,0,0.4,0.5)= （4） 1 2 0.20.50.5 0.40.40.4 0.80.70.6 0.10.20.2 x x = o ) 解：将该模糊关系矩阵方程进行转置，解法与上题一样，或者不进行转置，而将上题解法中 的行换成列，列换成行即可。下面介绍先进行转置再求解的解法。 原方程转置后得到 ()( 12 0.2 0.4 0.8 0.1 0.5 0.4 0.6 0.2 0.5 0.4 0.7 0.2 xx = o 第一步求解最大解，得到x(0.6,0.6)= 第二步判断解的存在性，得到 00.40.600.6 0.50.40.60.20.6 R = 00.40.
