《应用微积分(上册) 教学课件 ppt 作者 刘春凤《应用微积分》第6章 6.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用微积分(上册) 教学课件 ppt 作者 刘春凤《应用微积分》第6章 6.2（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第 6 章 定积分及其应用,定积分的概念与性质,定积分的计算,定积分的应用,定积分的分部积分法,6.1定积分的概念与性质,变限函数及其导数,1,微积分基本公式,2,定积分的换元积分法,3,4,定积分常用结论汇总,5,是 的一个函数，称为积分上限函数或变上限积分，,在闭区间,上连续，,则,在部分区间,上的定积分,设函数,记作,即,函数的表示方法拓广了，可用变上限积分表达函数。,【注】,已知,，求,解,若函数,在区间,上连续，,则变上限积分,在区间,且它的导数等于被积函数,在上限处的函数值,即,上可导 ,并,给自变量x以增量 ，,按导数定义，只须证,由 的定,义得对应的函数,的增量,即,根据积分
2、中值定理知道在 与,x,之间至少存在,，使,成立。,即可。,证,一点,又因为,在区间,上连续，所以，当,时, 有,，从而有,故,该公式有时也被称为微积分第一基本公式。,（原函数存在定理）如果函数,在区间,上连续，,，则函数,就是,在区间,上的一个原函数。,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理的重要意义：,已知,，求,根据定理可得,如果函数,在闭区间,上连续，,，则,在部分区间,上的定积分,分下限函数或变下限积分，且,称为积,解,若,连续，,公式可以推广为,（2）,（3）,可导，变限函数的求导,（1）,求导得,故,所给方程两边对,已知
3、,，求,根据式(3)可得,解,解,极限是,求极限,分析：注意到,时，,所以这个,型不定式，含有,变限函数的,型不定式通常使用罗必达法则求极限。,解,设,，求,。,=,=,=,求函数,的极值。,，令,解得,因为,所以函数在,极小值，,为,处取得,解,解,的函数,都是,与,习题答案：,如果函数,在区间,上连续，,是,在区间,上任一原函数，那么,由定理6.2知道，,是,在,上的一个原函数，又由题设知，,也是,在区间,上的一个原函数，,由原函数的性,质知同一函数的两个不同原函数相差一个常数,证,把,代入上式中，,因为,定出常数,，于是得,令,代入上式中，移项，得,再把积分变量 t 换成 x，得,微积分
4、基本公式牛顿莱布尼茨公式,即,（6.2）,（6.1）,这样(6.1)式就可写成如下形式：,1）为了书写方便，,可记作,或,2）该公式充分表达了定积分与原函数之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。,计算,被积函数,在,上连续，,是,由牛顿莱布尼兹公式，得,的一个原函数，,解,计算,被积函数,在,上连续，,是,由牛顿莱布尼兹公式，得,的一个原函数，,解,计算,把定积分利用性质6.1分成三项之和，然后 每一项用牛顿莱布尼兹公式进行计算.,解,计算,分析 化简被积函数,被积函数中出现了,，由于,在两区间,和,上符号不同，必须分区间利用可加
5、性来计算。,解,设函数,，计算,利用定积分对区间的可加性，得,解,导数,上单值且有连续,上变化，且,若函数,在区间,上连续,函数,在区间,当t在,（或,）上变化时，,的值,，则,(6.3),定积分的换元公式,在,因为,在区间,上连续,所以它可积。设,是,的一个原函数，则由牛顿莱布尼兹,公式，得,又由不定积分换元法知,于是,证,计算,用定积分换元法，令,，则,于是,解,计算,令,，则,换限：,于是,解,1) 换元必须同时换限，而且新的积分变量的上下积分限要与原积分变量的上下限相对应；,2） 用换元法计算定积分时，求出其原函数后直接代 入新的积分限即可，不需要还原。,计算,利用定积分换元法求定积分
6、时，如果不换元则不换限， 直接求出原函数算上下限的函数值做差。,解,观察,【注】,计算,如图，令,，,则有原式,I 即为圆,所围成的面积的,应的几何意义,不难看出，,解,所对,设函数,在对称区间,上连续，求证：,根据定积分性质,对于积分,，作变换,，则有,把式代入式中，得,证,当,是偶函数，即,时，得,当,是奇函数，即,时，得,此结论常用。,计算,因为,为,上的奇函数，,所以,计算,把原式一分为二得：,解,解,因为其中第二部分的被积函数为奇函数，其值为 零，所以只要计算第一部分积分即可，注意到第一 部分被积函数为偶函数，故有,计算下列积分,(2),(1),证明,比较积分等式两端的被积函数,与,
7、可作如下的变量代换：,令,则,于是,证,设函数,在区间,上具有连续导数，则,(6.4),由不定积分的分部积分公式,得,证,简记作,或,（6.4）式称为定积分的分部积分公式。,求定积分 .,计算,根据定积分的分部积分公式得,解,解,证明（1）,（2）,（ n为正整数 ）,（1）根据三角函数关系：,，令,，则,于是,证,特别地，当,时，n正整数，有,（2） 用定积分的分部积分法,把上式看作以,为未知量的方程，解之,得,称它为递推公式。连续使用上述递推公式，,可导出如下结果：,当n为偶数时，有,其中,，代入上式中，得,当n为奇数时，有,本例结果可直接引用，例如,请读者证明并使用下列结论：,在定积分这一章，推导和联想到了一系列特殊的 定积分的结论，汇总于此，应熟练运用这些结论。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。,解,令,计算中第二步是错误的.,正确解法是,习 题 6.2-2,习 题 6.2-2,习 题 6.2-2,习题答案：,习 题 6.2-2,习题答案：,习 题 6.2-2,
