《数字电路逻辑设计 教学课件 ppt 作者 张健 主编 吴凡 李小立 副主编 第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字电路逻辑设计 教学课件 ppt 作者 张健 主编 吴凡 李小立 副主编 第二章（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 逻辑函数及其化简,2.1 逻辑代数的基本概念 2.1.1 基本逻辑关系 当且仅当各输入逻辑变量都为“真”时，输出逻辑变量就为“真”；否则为“假”。这种逻辑关系称为逻辑“与”。 当各输入逻辑变量至少有一个为“真”时，输出逻辑变量就为“真”；各输入逻辑变量都为“假”时，输出逻辑变量才为“假”。这种逻辑关系称为逻辑“或”。 当输入逻辑变量为“真”时，输出逻辑变量就为“假”；而当输入逻辑变量为“假”时，输出逻辑变量就为“真”。这种逻辑关系称为逻辑“非”。 在数字逻辑电路中，这三种逻辑关系是通过相应的逻辑运算来表达的。,2.1.2 基本逻辑运算,与逻辑举例： 设1表示开关闭合或灯亮； 0表示开关
2、不 闭合或灯不亮， 则得真值表。,若用逻辑表达式 来描述，则可写为,与运算只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。,1与运算,2或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以 上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。,或逻辑举例：,若用逻辑表达式 来描述，则可写为： LA+B,3非运算某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。,非逻辑举例：,若用逻辑表达式来描述， 则可写为：,2或非 由或运算和非运算组合而成。,1与非 由与运算和非运算组合而成。,常用逻辑运算,
3、3异或,异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。 异或的逻辑表达式为：,1,1,0,0,(b),B,A,0,A B,1,0,1,0,1,(a),0,1,L=A,=1,+,A,B,+,B,4.同或,同或是异或的非运算，即当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。,同或的逻辑表达式为：,2.1.3 真值表与逻辑函数,解：第一步：确定输入逻辑变量和输出逻辑函数。 第二步：状态赋值。 对于输入逻辑变量A、B、C设： 同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。 对于输出逻辑函数L设： 事情通过为逻辑“1”， 没
4、通过为逻辑“0”。,一、逻辑函数的建立,例1 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。,第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。,一般地说，若输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量L的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作： L=f（A，B，C）,逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。,二、逻辑函数的表示方法,例2 列出下列函数的真值表：,1真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在
5、一起而组成的表格。,2函数表达式由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。,由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：,反之，由函数表达式也可以转换成真值表。,解：该函数有两个变量，有4种取值的 可能组合，将他们按顺序排列起来即 得真值表。,3逻辑图逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。,由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：,由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图：,解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。,2.1
6、.4 逻辑函数相等的概念,对于逻辑函数,和,如果变量,的任意一组状态组合，其函数值都相等，则称函数F和G相等。,其意义在于可以通过真值表验证函数是否相等。,2.2 逻辑代数的基本公式和常用公式,一、逻辑代数的基本公式,公式的证明方法：,（2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例2 用真值表证明反演律,（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。,例1 证明吸收律,证：,2.3 逻辑代数的基本定理,对偶定理的内容是：如果两个逻辑式相等，则其对偶式也相等，反之亦然。,2.3.1 代入定理 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑式同时取代等式两端同一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如
7、，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：,2.3.2 对偶定理 将一个逻辑函数L进行下列变换： ， 0 1，1 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式，用L*表示。,2.3.3 反演定理 将一个逻辑函数L进行下列变换： ， ； 0 1，1 0 ； 原变量 反变量， 反变量 原变量。 所得新函数表达式叫做L的反函数，用 表示。,在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例4。,利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 例3 求以下函数的反函数：,解：,例4 求以下函
8、数的反函数：,解：,2.4 逻辑函数的标准形式 2.4.1 最小项和最大项,最小项 n个变量共有2 n 个最小项。 为了方便，对全部最小项进行编号，其编号用m i表示，i和变量的取值组合对应。输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值为1，其余都为0。,最小项的性质 (1) 任何变量个数的最小项，全体最小项的“或”为1，即 (2.5) (2) 任意两个不同最小项的“与”为0，即 mi m j = 0 (i j) (2.6) （3）n个变量共有2 n个最小项，且对每一最小项都有n个最小项和它逻辑相邻（即两者仅有一个因子同）。具有相邻性的两个最小项之“或”可以合并成一项并消去一对不同的因子。例如
9、， 和ABC两个最小项只有第一个因子不同，所以它们具有相邻性。这两个最小项相“或”时能合并成一项并将一对不同的因子消去 （4）在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。,2. 最大项,在n个变量的逻辑函数中，每个变量都以原变量或者反变量的形式在逻辑“或”项中出现一次且只出现一次，这样一些逻辑“或”项称为最大项。 例如三变量A、B、C的最大项有（A+B+C）、（ ）、 （ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）共8个（即2 3个）最大项。 最大项用M i 表示，编号 i 对应于使该最大项取0时输入变量的取值。,最大项的性质,（1）在输入变量的任何取值下必有一个最大项，
10、而且只有一个最大项的值为0。 （2）全体最大项的逻辑“与”为0。 （3）任意两个最大项的逻辑“或”为1。 （4）只有一个变量不同的两个最大项的逻辑“与”等于各相同变量的“或”。 若将相同编号的最小项和最大项比较可见，最大项和最小项之间有如下关系 M i = (2.7) 例如，m 6 = , = = M 6,2.4.2 最小项之和形式,1代数法。 由逻辑函数的基本公式、常用公式，采取添项的方法得到。例如 Y = 由上式可见，第二项缺少因子B，第三项缺少因子C，故可以分别用(B+ )和(C+ )逻辑乘第二项和第三项，其逻辑功能不变。 Y = + ( B+ ) + (C+ ) = 2. 真值表法。
11、将逻辑函数填入真值表中，由逻辑函数为1的那些输入变量构成的各最小项之“或”就是最小项标准式。如表2.13所示。 表 2.13 逻辑函数的真值表 A B C Y 从真值表可直接得到 0 0 0 0 Y = 与代数法得到的结果一样。 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0,2.4.3 最大项之积形式,已经证明任何一个逻辑函数都可表达为最小项之和的形式，即Y = 。同时，从最小项的性质可知全部最小项的和为1。故 以外的那些最小项之和必为 ，即 （2.8） 对上式两端同时取反，并由反演定理可得 (2.9) 即已知逻辑函数Y = 时，Y的最大项之积
12、形式是编号为i以外的那些最大项的乘积。,例2.9 试将逻辑函数 Y = 化为最大项之积的标准形式。 解：Y = = = (i = 3，6，7) 根据式（2.9）可得 Y = = M 0 .M 1.M 2M 4M 5 =,2.5 逻辑函数的化简,2.5.1 逻辑函数化简的原则及最简形式,1逻辑函数化简的原则 逻辑函数的化简，并没有一个严格的原则，可以遵循以下几个方面来考虑： （1）所用逻辑门电路的数量最少； （2）各个逻辑门电路所用的输入端数最少； （3）所用的门电路的级数最少； （4）逻辑电路要能可靠地工作。,2逻辑函数的最简形式 在进行逻辑分析和设计时可以看到，同样的一个逻辑关系可以写出不同
13、的逻辑函数式，对应地就有不同的逻辑图，而这些逻辑图的繁简程度往往相差甚远，依照这些逻辑图设计出的硬件电路所需元、器件数量和连线自然大不相同。而实现同一个逻辑关系从经济性和可靠性等方面看，所需元、器件数量越少、器件间连线越少就是高质量的设计。所以逻辑函数的化简是逻辑设计过程中的重要环节。 例如:逻辑函数 是由几个逻辑“与”项相“或”组成的，这种形式的逻辑式称为与或逻辑式，也叫做逻辑函数式的“积之和”形式。 在与或逻辑函数式中，若其中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项中的因子也不能再减少时，则称此逻辑函数式为最简与或逻辑式，简称最简与或式。 相应地有最简与非与非式，最简或非式，最简与或非式等,例
14、2.10 将逻辑函数 Y = 化为与非与非形式。 解：首先用逻辑函数的基本公式把Y 化为与或式 Y = 再由 = Y，并利用反演定理即得 Y = = 例2.11 将与或函数式Y = 化为与或非形式。 解：首先把Y化为最小项之和的形式 Y = = = ( i = 1，2，3，4，5，6) 又由式(2.9)知 Y = = = 此即所求函数的与或非形式。,2.5.2 逻辑函数的公式化简法,（4）添项法。,（1）并项法。,（2）吸收法。,（3）消去法。,运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如,运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。如,在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。 再举几个例子：,解：,例 化简逻辑函数：,（利用 ）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,解：,例7 化简逻辑函数,（利用反演律 ）,（利用 ）,（
