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1、深圳大学数学与计算科学学院,数学欣赏,Mathematics Appreciation,http:/ ,思考几个问题,数学是什么？ 为何学数学？ 数学有用吗？ 数学容易吗？ 数学有趣吗？ 数学美丽吗？,一个人不识字甚至不会说话可以生活，但是若不识数，就很难生活。 一个国家的科学进步，可以用它消耗的数学来度量。,数学有多重要？,语言，交流的工具；数学，思维的体操！,课程目的 为你打开一扇窗户，开启你认识世界的通道，欣赏数学的美丽与神奇； 帮你擦亮一双眼睛，丰富你观察世界的方式，认识数学的本质与价值； 给你武装一副头脑，提升你改造世界的能力，掌握数学的思想与方法。,主要 内容,数学之魂,数学之美,
2、数学之趣,数学之妙,数学之奇,数学之问,数学之功,数学之旅,数学欣赏A,数学之魂 主讲：张文俊,深圳大学数学学院 2011年2月,The Soul of Mathematics,数学之魂，追根求源 研究对象数与形，为万物共有，是万物之本； 研究内容数形变化关系与规律，反映的是物质世界的运动规律与相互关系，是万物之理； 建立基础公理系统，其结论直白，道理自明； 建立方法演绎推理（三段论），其形式简洁，层次清晰，结构严谨，推论无疑. 数学关注万物共性与本质，揭示万象之理与奥秘，其基础简明稳固，方法科学普适，结论精准可靠，这是数学的灵魂，是数学价值和美、理、奇、妙、趣的根源.,本章内容,数学的对象与
3、内容,,数 学 做 什 么,对象：万物之本数与形； 内容：万象之谜，万事之理；,数学的对象,1,数与形万物之根,恩格斯说,数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称数与形）的科学。,万物共有数与形,世间万事万物，不论是有生命的，还是没有生命的；不论是动物，还是植物；不论是自然形成的，还是人工创造的；不论是气态、液态，还是固态；不论是在宏观世界，还是在微观世界,它们均以一定的形态存在于空间之中，并受诸如长度、面积、体积、质量、浓度、温度、色度等各种量的制约。 这种万事万物所共有的内在特质“数(量)”与“形（态）” ，乃是数学科学的两大柱石。,形,数,数 1,2,3,世间万事万物不是静态不变的，
4、而是不断在运动和变化着。,运动和变化体现在事物的内在特质上，就是“形”的变换和“量”的增减。,形的变换有各种各样，有描述位移的平移、旋转等刚体变换,也有描述缩放、透视的相似、仿射、直射等射影变换,还有描述物体拉伸、扭转的拓扑变换。,这就形成了各种各样的几何学。,量的增加，衍生出一种基本运算加法。 在量的变化中，先增加，再增加，与先增加，再增加，其结果无异，这就衍生出加法运算的交换律,数字或者更一般的抽象元素等被赋予运算，具有一定规则和规律，就构成了代数学。,作为万事万物 所共有的内在特质“数”与“形”， 附以反映万事万物变化规律 的运算、变换及其规则， 就是数学。 古典数学如此， 现代数学的本
5、质也是如此。,23,数学的内容,2,共性、本质、规律万物之理,概念 （事物分类）,数学的内容,结论 （定理 公式 法则）,一种对象的内在性质 不同对象的联系 多种对象的共性,发现本质 探索奥秘 揭示规律 建立联系 寻求共性,数学的内容,永恒,27,(1)数学的研究内容结构与模式 数学是研究结构与模式的科学 基本对象: 集合 + 结构。,28,数学中基本的集合包括： 各种数的集合； 各类图形； 各类函数； 各种空间； 一般的抽象集合等 ,29,数学中的基本结构有三种： 代数结构（反映“合作”关系的各种运算及其算律）; 顺序结构（反映对比关系的大小、先后，反映隶属关系的蕴涵）; 拓扑结构（反映亲疏
6、程度与规模大小的距离）。,30,,31,,32,,比如：,33,（2）数学的目标 发现各种事物的本质； 建立不同事物的联系； 寻找不同事物的共性。 探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘，用以描述与理解自然和社会现象，以便对发展方向进行判断、控制、改良和预测。,魔术大师刘谦使用 但却不明白的问题：,刘谦预测：64,选定数字和18+13+26+7=64,刘谦的依据： 四角数字和4+7+25+28 = 64,我的答案：4n + 48,一个例子,其它规律： （1）设n为右上角数字，则和 S = 4n + 36； （2）设n为第二行首位数字，则和S = 4n + 20； （3）设n为第二行末位数字，则
7、和S = 4n + 8；,更多方案：,对角线（主或副）数字之和；,中间四个数字之和；,三角形四数字之和；,斜矩形四角数字之和 ,规 律,多种方案：,4n+48；,对角线（主或副）数字之和；,中间四个数字之和；,三角形四数字之和；,斜矩形四角数字之和 ,38,（3）数学结论的形式 确立对象，形成概念； 探索性质、关系等本质规律。 数学理论的建立与表达依靠数学思维。数学思维包括多个方面，归纳、模拟、演绎、计算等，但概括地讲，包含三大方面：“构造”、“计算”与“证明”。,39,（3）数学结论的形式 对象存在性 对象结构 对象性质 不变性与不变量 建立模型与设计算法等。,,数学的方法,数 学 如 何
8、做,建立的程序：由自明事实出发，合情推理（归纳、类比）找方向，演绎推理定结论。 建立的方法：分类、化归、归纳、类比、抽象化、符号化、模型化、公理化、最优化。,数学建立的程序,1,始于公理，成于推理，表为定理,数学理论建立的方式 从少许自明的结论（公理）出发 用逻辑演绎（三段论）的方法 推出新的结论（定理、公式）,44,定义,公理、公设,命题,定义,命题,定义,命题,命题,命题,公理、公设,1.一组自明公理是数学论证的出发点 不能自相矛盾（相容性） 不要相互包含（独立性） 能够导出有关数、形及其关系的所有规律及性质（完全性） 自明？相当主观，也相当深刻 数学结论可靠性的前提。,1.一组自明公理是
9、数学论证的出发点,相容性保证了系统内部的无矛盾性； 独立性保证了公理体系的简洁性； 完备性？不存在！（哥德尔不完备性定理） 多种公理系统。不同的公理系统导出不同的数学，但是它们的内部都是健康的。,2.合情推理（归纳、类比）找方向， 演绎推理定结论 合情推理：发散性 归纳、类比、迁移、想象 演绎推理（三段论）：收敛性,数学论证只承认演绎推理（三段论） 大前提 （一个一般性的普遍规律） 小前提 （一个特殊对象的判断） 结 论 （这个特殊对象的结论）,数学论证只承认演绎推理（三段论） 大前提 （人是要死的） 小前提 （张三是人） 结 论 （张三是要死的）,举例、实验、思辨、猜测等得到的结论均不被承认
10、。 数学结论可靠性的保证。,可 靠,人类的发明创造 开始于感性的发散性思维 终止于理性的收敛性思维 数学思维是人类发明创造的源泉和动力,3.演绎推理所得到的结论必须是新的 数学的首创是在全人类首创 新定理指在人类历史中新发现、新建立 数学与工程的评价标准大不相同 数学填补的都是人类空白,实验结论不可靠物理教授的经验方程 物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎与实验数据吻合，他请数学教授看一看这个方程。一周后数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的方程预言出进一步的实验结果，而且效果颇佳，所以他请数学教授再审查一下这个方程。再一周后，他们再次碰头。数学教授告诉物理教授说这个
11、方程的确成立， “但仅仅对于正实数的简单情形成立。“,精 确,观察结论不可信苏格兰高原上的羊 天文学家：“原来苏格兰的羊是黑色的.“ 物理学家：“得了吧, 仅凭一次观察你可不能这么说，你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.“ 数学家：也不对，由这次观察你只能说: 在这一时刻, 这只羊, 从我们观察的角度看过去, 有一侧表面上是黑色的.“,准 确,数学的思考方式,2,数学研究万事万物的数与形有其特有的思想、原则和方法，这体现为数学的独特思考方式。这些方式包括：,模型化,最优化,公理化,抽象化,符号化,类 比,化 归,分 类,归 纳,分类研究是按照研究对象的属性不同进行科学分类、逐一研究的重要思想
12、，其分类的具体原则与方法以及分类理念都为人类解决复杂问题提供了宝贵的思想方法。其价值在于化难为易、化繁为简、化整为零、积零为整。,化归思想：是指把数学问题通过观察、分析、联想、类比等思维过程，进行变换与转化，归结到某个已经解决或比较容易解决的问题去研究，以最终解决原问题的思想。化归就是转化与归结，它包含了运动与变化、联系与转换的观点，可以化生为熟、化新为旧、化繁为简、化难为易、化异为同、化抽象为直观。,化归的表现 一方面表现在处理数学问题的过程中，可以将复杂对象或陌生对象化归为简单对象或熟悉对象； 另一方面也表现在数学结论表述中，数学中许多结论都表现为对一种数学对象的多个等价刻画，数学中的“充
13、分必要条件”是描述这一现象的典型语句，它本质上也是对数学对象性质的化归。,类比方法是指由两个对象内在性质在某些方面的相似性推出他们在其它方面也可能相似的一种思维方法。它是数学研究中最基本的创新思维形式，在数学中扮演着极为重要的角色，许多陌生对象的性质和研究方法都来自于数学家的类比思想。类比方法具有启发思路、提供线索、触类旁通的作用。,归纳方法是从若干个别前提得出一般结论的推理方法，是通过个性发现共性，通过特性寻找规律，通过现象认识本质，是一种重要的创新思维形式。人们可以通过归纳去清理事实、概括经验、处理资料，从而形成概念、提出规律。,抽象化与符号化是数学独特的思维特征和表达方式，它使得数学概念
14、脱离了事物的物质属性，形式简洁、内涵丰富、应用广泛。,公理化方法首先找出最基本的概念、命题作为逻辑出发点，然后运用演绎推理建立各种进一步的命题，从而形成一套系统、严谨理论体系的思维方法。这是人类认识论的一大创举，是数学可靠性的基础，她使数学丰富的理论建立在最简单明了、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是非。,最优化是数学追求的目标之一； 模型化是人类将实际问题转化为数学问题、具体问题转化为抽象问题的重要手段。 二者都为人类圆满解决实际问题发挥了重要作用。,这些既是数学体系的特征，也是数学能力的体现。它们保证了 数学体系的简洁性与严谨性 数学结论的可靠性与普适性 数学方法的有效性与便利性 数学思想
15、的科学性与深刻性,一种民间游戏“取石子” 道具：地面上摆着若干堆石子，每堆的石子数目任意. 规则：甲乙轮流从中拿取石子，每人每次只能在其中一堆中拿取石子， 数量不限. 以最后把石 子取完者为胜. 问题：有没有必胜的诀窍？,一个例子,极端原理（特殊化，分类）： （1）只有一堆石子， 结论显然，你只要把它们一次取完即胜.,（2）两堆石子 （2-1）两堆石子数相同. 此时，对方取走几子，你就从另一堆中取走同样多子，最后一颗石子必然属于你. 因此，留给对方“两堆石子数相同”就是赢局.,（2）两堆石子 （2-2）两堆石子数不同，你只要从较多石子的一堆中取走若干颗，使剩下的两堆石子数相同即可.,（3）三堆石子 （3-1）三堆石子中至少两堆石子数相同. 化归：此时，把那堆可能不同的一次取走，转化为 留给对方“两堆石子数相同”，赢局.,（3-2）三堆石子数各不不同 假设3堆石子数分别为mnk， 记为（m，n，k）,关注m （极端原理） （3-2-1）m=1， （1，n，k）. 起始情况（1，2，3）,起始情况（1，2，3） 穷举：对方取子后只有6种情况： （0，2，3），（1，0，3），（1，2，0） （1，1，3），（1，2，2），（1，2，1） 化归：前3种情况转化为两堆； 后3种情况转化为有两堆石子数相同。 都是赢局.,后续情况1. （1，2，k），k 3，先抓者胜
