克莱姆法则的证明及应用

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1、 克莱姆法则及其应用克莱姆法则及其应用 前前 言言 克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士 数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友， ， 曾任教学和哲学教授， 克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。 克莱姆法则是高等 代数的重点内容之一， 以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。 例如计算行列式， 在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。 1.1. 预备知识预备知识 若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。现在就给介绍一下系数行列式。 设含有 n 个未

2、知量 n 个方程的 11 112211 22122222 12 n n nnnnn a xa xab a xa xab aaab += += += （1-1） 其系数构成的行列式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa = 称为方程组（1-1）的系数行列式。 1.1. 克莱姆法则的克莱姆法则的定义定义 克莱姆法则（Cramer Rule） ：一个含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式 0D 时，有且仅有一个解： 12 12 ,. n n D DD xxx DDD = （1-2） 期中 J D 是将D的第 j 列换成常数项 2 1

3、, , n b bb 而其余列不变的行列式。即 111,111,11 212,122,12 1,1,1 jjn jjn j nn jnn jnn aabaa aabaa D aabaa + + + = 1122 ,(1,2,). jjnnj b Ab Ab Ajn=+= 2.2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则的证明方法 克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是 2.12.1 克莱姆法则的一般证明方法克莱姆法则的一般证明方法 2.1.1 2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法克莱姆法则的一般证明方法 在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。现在就有一般方法来

4、证明 克莱姆法则。 证 首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把 ,(1,2, ) j j D xjn D = 代入（1-1）中第 一个方程，得 12 111211111221 1 () n nnn DDD aaaa Da Da D DDDD +=+ ()()() 11111221112112222211122 11111121211211111212111111121211 121 1 ()()() 1 1 00 nnnnnnnnnn nnnnnnn n ab Ab Ab Aab Ab Ab Aab Ab Ab A D b a Aa Aa Aba Aa Aa Aba Aa Aa

5、A D b Dbbb D =+ =+ =+ += () () () 111112211 121122222 11122 11111121211 21111121211 1111121211 121 () 1 () () 1 1 00 nn nn nnnnnn nn nn nnn n ab Ab Ab A ab Ab Ab A D ab Ab Ab A b a Aa Aa A ba Aa Aa A D ba Aa Aa A b Dbbb D + =+ + + =+ + =+ += 这就是说， （1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余 n-

6、1 个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。 其次，设 11,22, , nn xk xkxk= 是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）得n个恒等式，再 用D的第 j 列元素 12 , jjnj aaa 的代数余子式 12 , JJnj AAA 依次乘所得的n个恒等式的两端再相加，得 111 1122111 221 1222222 1 122 12 :, : :, 00, jjjnn jjjnn njnnnjjnnnn jnnnj Aa ka ka ka kb Aa ka ka ka kb Aa ka ka ka kb kkDka kD += += += += 即 ,

7、1,2, . jj DkDjn= 由 0,D 知 ,1,2, . j j D kjn D = 这就是说，如果( ) 12 , n k kk 是方程组（1-1）的一个解，则 (),1,2,. j j D kjn D = 即方程组只有一个解。 2.1.2 2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用克莱姆法则的一般证明方法的应用 例 1 解线性方程组 1234 1234 1234 134 33, 4, 227, 26. xxxx xxxx xxxx xxx += += += += += 解 由于方程组的系数行列式 3111 1112 130, 2121 1021 D = 故由 Cramer 法则知此

8、方程有唯一解，又因为 1 3111 4112 130, 7121 6021 D = 2 3311 1412 26, 2721 1621 D = 3 3131 1142 39, 2171 1061 D = 4 3113 1114 13, 2127 1026 D = 所以方程的唯一解是： 3124 1234 1,2,13,1. DDDD xxxx DDDD = = 在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组： 11 11221 21 12222 1 122 0, 0, 0. nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x += += += 称

9、此为其次线性方程组。这种方程组显然有解： 12 0,0,0, n xxx= 称其为零解。其次线性方程组若有其他 的解，即 i x 不全为零的解，成为非零解。 对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用Cramer 法则，有 定理 若其次线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 0, 0, 0. nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x += += += （1-3） 的系数行列式 0, ij Da= 则方程组（1-3）有唯一零解。 证 因为 0,D = 故由Cramer 法则知，方程组（1-3）有唯一解。但零显然是其解，从而方

10、程组 （1-3）只有零解。 例 2 如果n阶行列式 0,D = ，而D中元素 ij a 的代数余子式 0 ij A ，则其次线性方程组（1-3）必有 非零解。 证 因为 0,D = ， 故D的每一行元素的代数余子式都是方程组（1-3） 的解。 又 0 ij A ， 故方程组 （1-3） 必有非零解。 参考文献： 高等代数上东大学出版社 2.2 克莱姆法则的一个简易证明克莱姆法则的一个简易证明 在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式; 又为了完整和扣题, 是 通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法 则. 由于此时, 我们还没

11、有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性 两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑. 特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数 相同的)齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立. 在 本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理. 用此引理, 我们又可以 轻松地证明克莱姆法则克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要条件. 虽然我们多加了一个引理, 但此引理 突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的. 引理引理 线性方程组线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 (a) nn

12、nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb += += += 可以通过消元变换可以通过消元变换( (将一方程的将一方程的k倍加到另一个上倍加到另一个上) )变为同解方程组变为同解方程组 11 112211 22222 (b) nn nn nnnn b xb xb xc b xb xc b xc += += = . 证明证明 首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组 11 112211 22222 22 (c) nn nn nnnnn b xb xb xc b xb xc b xb xc += += += . (1) 若 11 0

13、a, 用 1 11 i a a 乘第 1 个方程加到第i方程上, 方程组(a)就可以化为方程组(c)的形式; (2) 若 11 0a=, 但某个 1 0 (1) i ai, 则先将第i个方程加到第 1 个方程上, 再进行按上面的方法进行; (3) 若 111 0 n aa=, 结论成立. 对于方程组(c)的后1n 个方程再进行同样的处理即知本引理成立. 克莱姆法则克莱姆法则 若线性方程组若线性方程组(a)的系数的系数行列式行列式|0 ij n Da=, 则此方程组有唯一的一组解则此方程组有唯一的一组解 12 12 , , , n n DDD xxx DDD =, 这里这里 i D是将是将D中的

14、第中的第i列列1, , ini aa 换成换成 1, , n bb得到的行列式得到的行列式. 证明证明 由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即 11 0 nn bbD=. 再对方程组(b) 从下向上逐步消元知, 方程组(a)与 1 11 222 (c) nnn a xd a xd a xd = = = 同解, 且 1 0. n Daa= 再由行列式的性质, 我们还有 1 22 112 n nn d da Dd aa da = , 11 2 212 n nn ad d Da da da = , , 11 11 11 nnn nn n ad Daad ad d = . 于是 122 1 12 12 , , , nn n n xxx ddDdDD aaa DDD =. 定理定理 齐次线性方程组齐次线性方程组 11 11221