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1、热点专题突破系列(六) 概率与统计的综合问题,考点一 统计与统计案例 【考情分析】以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力.,【典例1】(2015太原模拟)近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表: (1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?,(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量K2的观测值
2、k,并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为三高疾病与性别有关.,下面的临界值表供参考: (参考公式K2= 其中n=a+b+c+d),【解题提示】(1)由问卷调查的情况,可补充完表格. (2)可利用随机变量K2确定,因此首先计算K2的观测值k.,【规范解答】(1) 在患三高疾病人群中抽9人,则抽取比例为 所以女性应该抽取12 =3(人).,(2)因为K2的观测值k= =107.879,所以可以在犯 错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患三高疾病与性别有关.,【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤 (1)依题意写出列联表. (2)依据列联表用公式计算K2的观测值k的值
3、. (3)依据k的值以及临界值表确定问题的结果.,【变式训练】(2015济宁模拟)某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件.根据所给数据: (1)写出22列联表. (2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品是否合格与设备改造有关.,【解析】(1)由已知数据得列联表如下:,(2)根据列联表中数据，K2的观测值为 k 12.38， 由于12.3810.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下可认为产品是否合格与设备改造有关,【加固
4、训练】(2015潍坊模拟)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了三年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如表所示:,试根据上述数据计算K2的观测值k= ,比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. . 【解析】根据列联表中的数据可以求得 所以不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论. 答案:1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论,考点二 统计与概率综合 【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.,【典例2】
5、(2015泰州模拟)某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如表所示:,(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率. (2)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数. (3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考 试的数学平均分.(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表),【解题提示】(1)利用分层抽样的定义及各层抽样比相等即可解决问题.(2)可由样本值来估计达到优秀线的人数.(3)各层的均值与其
6、频率乘积的和就是本次考试的数学平均分.,【规范解答】(1)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为 故甲同学被抽到的概率P= (2)由题意得x=1000-(60+90+300+160)=390. 故估计该中学达到优秀线的人数m=160+390 =290.,(3)频率分布直方图如图所示. 该学校本次考试的数学平均分 估计该学校本次考试的数学平均分为90分.,【规律方法】解决统计与概率问题的几点注意 (1)注意用样本频率可以估计整体的概率. (2)注意用样本频率分布直方图的面积来估计频率. (3)注意可用样本频率分布直方图来估计整体的平均值. 提醒:同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.,【变式训练
7、】(2015深圳模拟)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布表,经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率:(结果保留到小数点后三位) (1)90,100.(2)60,69.(3)60,100.,【解析】根据表格可计算出李老师的高等数学课的学生考试成绩在各 个分数段上的频率依次为(总人数为43+182+260+90+62+8=645):,用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下: (1)得“90,100”记为事件A,则P(A)=0.067. (2)得“60,69”记为事件B
8、,则P(B)=0.140. (3)得“60,100”记为事件C,则P(C)=0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.,【加固训练】从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:,(1)根据频数分布表计算苹果的质量在90,95)的频率. (2)用分层抽样的方法从质量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取4个,其中质量在80,85)的有几个? (3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求质量在80,85)和95,100)中各有1个的概率.,【解析】(1)由题意知苹果的样本总数n=50,在90,95)的频数是20, 所以苹果的质量在90,95)的频率是
9、 =0.4. (2)设从质量在80,85)的苹果中抽取x个,则从质量在95,100)的苹 果中抽取(4-x)个. 因为表格中80,85),95,100)的频数分别是5,15, 所以515=x(4-x),解得x=1. 即质量在80,85)的有1个.,(3)在(2)中抽出的4个苹果中,质量在80,85)中有1个,记为a,质量在95,100)中有3个,记为b1,b2,b3,任取2个,有ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3共6种不同方法.基本事件总数为6,其中质量在80,85)和95,100)中各有1个的事件记为A,事件A包含的基本事件为ab1,ab2,ab3,共3个, 由古典概型的概
10、率计算公式得P(A)=,考点三 古典概型的综合应用 【考情分析】以现实生活为背景,求某些事件发生的概率,常与抽样方法、茎叶图等统计知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.,【典例3】(2015琼海模拟)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率. (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 【解题提示】(1)依题意,本题符合古典概型的条件,可利用古典概型公式解决.(2)可依据两者的概率是否相等来判断游戏是
11、否公平.,【规范解答】(1)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的 基本事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个. 又甲、乙二人取出的数字共有55=25(个)等可能的结果,所以 P(A)=,(2)这种游戏规则不公平. 设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数有13个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5), 所以甲胜的概率P(B)= 从而乙胜的概率P(C)= 由于P(B)P(C),所以这种游戏规
12、则不公平.,【规律方法】古典概型综合问题的解题思路 古典概型常与统计相结合,是高考考查概率的一个重要题型,概率与统计相结合问题,主要是从中提炼出需要的信息,然后解决即可.,【变式训练】(2015揭阳模拟)为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如表所示:,(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数. (2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.,【解析】(1)由题表可知:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8, 所以,这60名乘客中候车时间少于10分
13、钟的人数大约为60 =32人. (2)设第三组的乘客为a,b,c,d,第四组的乘客为1,2. “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A, 所得基本事件共有15种,即: ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12. 其中事件A包含基本事件a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,共8种. 由古典概型可得P(A)= .,【加固训练】1.(2015银川模拟)把一颗骰子投掷2次,观察出现的 点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,已知方程组 解答下列各题. (1)求方程组没有解的概率. (2)求方程组只有正数解的概率.,【解析】(1)方
14、程组没有解,则得b=2a,基本事件只有3个,故没有解的 概率为 (2)方程组只有正数解.需2a-b0 其中包含的事件有13个(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2), (1,4),(1,5),(1,6),所以所求概率为,2.有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:,(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表.,(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.,【解析】(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如表:,(2)记从A组抽到的3个评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从B组 抽到的6个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从a1,a2,a3 和b1,b2,b3,b4,b5,b6中各抽取1人的所有结果为: 由以上树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4种,故所求概率,
