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1、教学目的： 1.讲解二维离散随机变量的概率分布 （联合、边缘）； 2. 讲解二维随机变量的分布函数 (联合、边缘；离散连续） ; 3. 讲解随机变量的独立性.,教学内容： 2.9 2.11(与书上不同),第八讲 二维离散随机变量的概率 分布,在实际问题中, 试验结果有时需要同,时用两个或两个以上的 r.v.来描述.,例如 用温度和风力来描述天气情况.,通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究,需考虑多维 r.v.及其取值规律多维分布.,钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就,二维随机变量及其分布,定义 设为随机试验的样本空间，,则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量,3.1,
2、定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.,要描述二维离散型 r.v.的概率特性及 其与每个 r.v.之间的关系常用其联合 概率分布和边缘概率分布,离散,解析表示法,设( X ,Y )的所有可能的取值为,则称,为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布 也简称 概率分布 或 分布律,性质:,联合分布律,x1 xi,( X ,Y ) 的联合分布律表,二维离散 r.v.的边缘分布律,由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.,1,x1 xi,联合分布律,及边缘分布律,的求法, 利用古典概型直接求；, 利用乘法公式,例
3、1 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数.,解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2.,求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律.,例3,由乘法公式,或由古典概型,相仿有,故联合分布律与边缘分布律为,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi,p j,1/3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,例2 二元两点分布,p j,pi,1 0,1 0,p q,p q,1,p + q = 1 ，0 p 1,例
4、4,(X, Y) 的联合分布律及边缘分布为,0 1,-1 1 0,0 0,0,p j,pi,二维随机变量的联合分布函数,定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对,定义了一个二元,实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即,(记为 ),的概率,实数( x , y ), 事件,分布函数的几何意义,如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v.,(X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.,(x, y),联合分布函数的性质,(x, y),F性质,固定 x , 对任意的 y1
5、y2 ,固定 y , 对任意的 x1 x2 ,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) F (x, y2),F (x1,y) F (x2, y),F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0,事实上, F (b,c), F (a,d),+ F (a,c),F (b,d),注意 对于二维 r.v.,(a,c),(a,+),(+,+),(+,c),二维离散 r.v.的联合分布函数,已知联合分布律可以求出其联合分布函数,反之, 由分布函数也可求出其联合分布律,例4,设,讨论F
6、 (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？,解,x+ y = 1,故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.,例1,二维随机变量的边缘分布函数,例5 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,其中A , B , C 为常数.,确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X 2),例2,解 (1),(2),(3),可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的 概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函 数与边缘分布函数,随机变量的独立性 将事件独立性推广到 r.v.,设(X,Y )为二维 r.v. 若对任何,则称 r.v. X 和Y 相互独立,实数 x, y 都有,
7、3.3,定义,由定义知,二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立,X与Y 独立,即,对一切 i , j 有,离散型,例6 例3中求(X, Y) 的联合分布律及 边缘分布为,0 1,-1 1 0,0 0,0,p j,pi,不独立,X, Y是否独立?,若 X ,Y 为相互独立的 r.v.,则aX + b, cY + d 也相互独立；,X 2, Y 2 也相互独立；,随机变量相互独立的概念 可以推广到 n 维随机变量,若,则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立,由命题知,若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 如,X ,Y 相互独立，则,故不能说 X = Y .,注意,由左表易得 ：,例7 袋中5球,2白3黑,先后任取一 球,取到的白球个数分别为X、Y, 如果（1）无放回,(2）有放回。,（1）无放回,解,(X，Y) 分布,(2）有放回,无放回时分布函数,无放回时边缘分布函数,不独立,作业 P.85习题二,36 37 38,习题,实际问题中,独立性一般根据 经验的直观想法进行 判断.,注意,
