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1、第17章 虚位移原理,本章讨论分析力学基本概念及解决质点系平衡问题的静力学普遍方程虚位移原理。 与矢量静力学相同，分析静力学也研究物体在力系作用下的平衡规律，但分析静力学的主要研究对象为受约束的质点、质点系或刚体、刚体系。首先回顾在运动学中已经建立起来的约束概念和表达方法，然后叙述作为分析力学基本原理之一的虚位移原理，建立分析力学方法的基本概念。,利用分析力学的另一个基本原理即达朗贝尔原理，静力学的结论很容易扩展到动力学领域。分析动力学研究非自由质系运动的一般规律。达朗贝尔拉格朗日原理又名动力学普遍方程，在分析动力学中是推导各种动力学方程的基础。,17.1虚位移 17.1.1 约束,我们来研究
2、质点系,相对于固定笛卡尔坐标系的,和速度,确定。系统运动,和速度,的限制不因受力而改变，称为约束。如果系统不受约束，则系统 称为自由的。当存在一个或多个约束时系统称为非自由的。,运动，系统的状态由系统内点的矢径,时其各点的位置和速度经常不能是任意的，对矢径,例1 质点可以沿着过坐标原点给定的平面运动。 如果笛卡尔坐标系统的,轴垂直于该平面，则,是约束方程。,例2 质点沿着以原点为中心半径为,的球面运动。如果,是运动点的坐标，则,。,约束方程为,例3 2个质点,和,用长为,的不可伸长的绳相连，约束用关系式,给出,例4 质点在空间中运动并保持在第一象限内或边界上， 约束用不等式,，,，,给出。,例
3、5（冰刀的运动）设冰刀沿着水平冰面运动。冰刀以细杆 为模型，在运动过程中杆上一个点,（见图17-1）的速度,轴竖直向上，,是,的坐标，而,是杆与,轴的夹角，则约束由2个方程,，,给出。,始终沿着杆。如果,图17-1冰刀的运动 图17-2纯滚动的圆柱,例6（纯滚动的圆柱）半径为,的圆柱作纯滚动，如图17-2所示。,，,，其中,为圆柱的转角。,圆柱有约束,.双向约束与单向约束,一般情况下约束用关系式,(a),给出。等式约束方程对应的约束称为双向约束，或双面约束（图17-3a）。在上面的例1、例2、例5和例6中，约束是双向的。这里,表示双向约束数。,如果约束关系出现不等号形式时，,(b),不等式约束
4、方程对应的约束称为单向约束，或单侧约束（图17-3b）。在上面的例3、例4中，约束是单向的。这里,表示总约束数。下面我们不再研究有单向约束的系统。,(a)双向约束 (b) 单向约束 图17-3单摆,.位形空间和位置约束,(c),此约束方程对应于位形空间中的超曲面，称为约束曲面。上面的例1、例2是位置约束。,单个质点是,的特殊质点系，所对应的位形空间就是实际三维空间，约束曲面是三维空间中的实际曲面，约束的作用是迫使实际质点沿实际的约束曲面运动。对于,的一般质点系，上述位形空间和约束曲面都是抽象概念。必须注意，位形空间中的抽象与三维空间中的实际质点，是截然不同的两种概念。,的特殊质点系，所对应的位
5、形空间,3.状态空间和运动约束,运动中的质点在任一瞬时所占据的位置及所具有的速度合起来称为质点在该瞬时的运动状态。,采用直角坐标系时，质点的运动状态由六个标量,、,完全确定，称为状态变量。,、,、,、,、,建立抽象的六维正交欧氏空间,状态空间，或相空间，则质点在每个瞬时的运动状态与状态空 间中的点一一对应，后者称为相点。,，称为质点的,随着时间的推移，相点在相空间中位置亦随之改变，所描绘出的超曲线称为质点运动的相轨迹。应注意状态空间与实际空间、相点与实际质点、相轨迹与实际运动轨迹是根本不同的两种概念。实际空间中的运动轨迹只能表示质点空间位置的变化，而状态空间中的相轨迹则能给出质点的空间位置和速
6、度变化过程的全貌。,对于由,个质点,组成的质点系，系统内各质点,维空间,状态空间。,的坐标和速度共,，称为质点系的,仅对速度所加的限制称为速度约束。不仅对位置而且对速度 所加的限制称为运动约束，对应的约束方程为,(d),上面的例5和例6是运动约束。,4.几何约束、微分约束,约束方程中只含力学系统中质点坐标和时间的约束称为几何约束，对应的约束方程为,(17-1),几何约束包括位置约束和可用几何约束形式表示的运动约束,约束方程中不仅包含质点坐标、时间而且包含速度的约束称为微分约束。微分约束包括可积微分约束和不可积微分约束。可积微分约束可以转变为几何约束。,位置约束是力学概念，几何约束是数学概念。位
7、置约束属于几何约束，如例；但反过来不成立，几何约束不一定是位置约束，还包括可积分的运动约束，如例中约束可写成,。,运动约束是力学概念，微分约束是数学概念。运动约束不一定是微分约束，运动约束也可以采用几何约束形式表示，如例6；反过来微分约束也不一定是运动约束，用几何约束表示的位置约束求导后可以变成微分约束。,假设相应的不可积微分约束对于速度分量,是线性的，,(17-2),其中系数,，,均为,和,的函数。特殊情况下,和,可以等于零。若,则称为关于速度,是齐次的约束；,是非齐次的约束。,反之关于速度,几何约束和不可积一阶线性微分形式的双向约束称为普发夫(Pfaff)约束。我们把不可积的一阶线性微分约
8、束数用,表示。我们只讨论普发夫(Pfaff)约束系统。,5.定常系统和非定常系统,若约束方程中不显时间，则它称为定常约束；反之称为非定常约束。如果系统是自由的或者只有定常约束，则称为定常系统。如果系统的约束中至少有一个非定常的，则称为非定常系统。 例1、例、例、例和例是定常系统；例是非定常系统。,6.完整系统和非完整系统,如果质点系的所有约束可以用几何约束形式表示的系统，则称为完整系统。如果质点系的约束中含有不可积的微分约束，则称为是非完整系统。 双向位置约束数用,表示，可积的微分约束数用,表示，双向完整系统约束数用,表示，,双向非完整系统约束数用,表示。,；,例1和例2是几何约束所以是完整系
9、统。例6是微分约束,可积的微分约束，属于非完整系统。,可以积分成为,，因此是完整系统。例5是不,注释1 例5中的微分约束,是不可积的，下面给出证明。,满足关系式,，设,相对于冰刀的真实运动，求,对时间的全导数,假设不然，即,利用约束方程，,可以写成,，,。,由于,是独立的，故,，,，,再根据角度,的任意性，函数,对其所有变量的偏导数都等于零，,不依赖于,，因此，假设约束,可积是不正确的。,即,注释2例1和例6中的系统是完整定常的；例2中的系统是完 整非定常的；例5中的系统是非完整定常的。,17.1.2可能位置、可能速度、可能加速度和可能位移,一般来讲，满足约束条件的位置、速度、加速度和位移分别
10、称为可能位置、可能速度、可能加速度和可能位移。今后我们将研究自由质点系或者有(17-1)和(17-2)形式的非自由质点系。,1.可能位置,非自由系统的质点不能在空间中任意运动，约束容许的坐标、速度和加速度应该满足由约束方程(17-1)和(17-2)导出的某些关系式。,设给定某个时刻,，如果构成系统的各点的矢径,满足几何约束(17-1)，则称在该给定时刻系统处于可能位置。,2.可能速度,假设函数,，,和,的相应导数存在且连续,约束也限制系统中的速度。为了得到这些限制的解析形式， 将(17-1)的两边对时间求导，求导时,是时间的函数，于是得到由几何约束(17-1)导出的如下微分约束：,是时间的函数
11、，,(17-3),当系统在给定时刻处于可能位置，满足线性方程(17-2)和(17-3)的矢量,集合称为该时刻的可能速度。,。,在给定时刻存在无穷多个可能速度,3.可能加速度,(17-4),(17-5),当系统在给定时刻处于可能位置、具有可能速度时，满足线性 方程(17-4)和 (17-5)的矢量,集合称为该时刻的可能加速度。 在给定时刻存在无穷多个可能加速度,。,4.可能位移,设,具有三阶以上连续导数，在给定时刻,系统处于矢径,确定的某个位置，并具有可能速度,和可能加速度,，在,时刻系统相应的可能位置为,，则,称为系统从时刻,的给定位置,在,时间内的有限可能位移。,对于充分小的时间,，,时，对
12、应充分小的位移,称为系统在时刻,给定位置,的可能位移。对于充分小的,系统可能位移可以写成：,(17-6),忽略 (17-6)中高于,的项，有,如果将可能速度满足的(17-2) 和(17-3)乘以,则得到可能位移满足的相对,的线性的方程组：,。,，,(17-7),(17-8),在(17-8)中的函数,，,以及在(17-7)中的偏导数都是在,，,计算的。当系统在给定时刻处于可能位置时，,集合称为该时刻的可能位移。在给定时刻存在无穷多个可能位移,。,满足线性方程(17-7)和 (17-8)的位移,17.1.3真实位移与虚位移 1.真实位移,一般来说，真实位移是实际发生的无穷小位移，质点系满足动力学基
13、本定律，初始条件和约束条件的无穷小位移，称为真实位移。我们把质点系满足运动微分方程，初始条件,，,和约束条件(17-7)和(17-8) 与,呈线性关系的无穷小位移，称为真实位移。真实位移是可能 位移的一个。,2.虚位移,一般来说，质点系在约束允许的条件下，与时间的变化,无关的微小位移称为虚位移。设在时刻,处于矢径,确定的某个位置，我们把虚位移定义为满足,集合：,下面线性齐次方程组的,(17-9),(17-10),这里,，,是在,，,计算的，均为,和,的函数。,设,的分量为,，因为,，即未知数,的数目大于它们必须满足的方程组(17-9)，,。,(17-10)的个数，所以存在无穷多个虚位移,.真实
14、位移、可能位移和虚位移的关系,对于具有双面、定常约束的完整系统，可能位移满足的方程 (17-7)变成,(17-11),这里,为,的函数。比较式(17-9)和(17-11)，,可能位移的集合与虚位移集合完全相同。由此可知：对于具 有双面、定常约束的完整系统真实位移是虚位移之一。,例7对于斜面固定和作平行移动两种情形，分析沿斜面运动质点的可能位移和虚位移。 解：斜面固定时，质点的可能位移和虚位移相同（图a）。斜面作已知规律的平行移动时，质点的可能位移应考虑牵连运动的影响，而质点的虚位移等于约束凝固时的可能位移，与斜面固定时的可能位移相同（图b）。,(a) 斜面固定 (b) 斜面平行移动 图17-4
15、可能位移和虚位移,对于具有双面、速度齐次约束的非完整系统，可能位移满足 的方程(17-8)变成,(17-12),为,和,的函数。比较式(17-10)和(17-12)，,可能位移的集合与虚位移集合完全相同。由此可知：对于具有双面、速度齐次约束的非完整系统真实位移是虚位移之一。,例8有质量的质点在有势力,作用下，在平面,上运动，所受约束可用方程,表示。,实位移,满足,(e),虚位移 满足 (f) 比较式(e)与(f) 知，在这个非完整系统中：约束是非定常的，但是齐次的，显然实位移是虚位移中的一个。,例9一质点在平面 上运动，所受约束为 在这个非完整系统中：约束是定常的，但是非齐次的，显然实位移不是
16、虚位移中的一个。,(h),(g),因为实位移,虚位移 满足,满足,4.等时变分 无穷小增量 称为 的变分。在 固定时，从矢径 确定的位置，变化到无限接近的由矢径 确定的位置，称为等时变分。在等时变分中我们不考查系统的运动过程，而是比较系统在给定时刻约束允许的无限接近的位置（构形）。 虚位移定义为质点系在同一时刻、同一位置两组可能位移之差，即 或 。,现在我们研究2个在相同时间 内的可能位移。根据(17-6),(i),(j),可能速度 和可能加速度 满足(17-2) (17-5)。将两组可能位移相减得,(17-13),(i)若丹变分,将 ， ， 代入方程(17-3) 并在两边同时乘以 ，然后将 ， ， 代入方程(17-3) 并在两边同时乘以 ，
