《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第六部分 第24章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第六部分 第24章（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十四章 人造地球卫星,Maple理论力学,24.1开普勒行星运动定律,开普勒行星运动定律,第一定律：行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的 一个焦点。 第二定律：行星的矢径在相等的时间内扫过相等 的面积。 第三定律：行星的公转周期的平方正比于轨道半 长轴的立方。,Maple理论力学,24.2牛顿万有引力定律,1、开普勒行星运动定律第二定律指出行星绕太阳的面积速度为常数。这就是说,面积速度为常数也就意味着行星运转时对于太阳的动量矩守恒，从而推知，行星所受的力对于太阳的力矩始终为零。第二定律表明行星所受的力是有心力，太阳为力心。,Maple理论力学,2、开普勒行星运动定律第一定律表明行星所受到的有心
2、力是平方反比吸引力。,这样，第一、第二两定律指出，每一个行星受到的力是指向太阳的吸引力，吸引力的大小反比于该行星在运行中与太阳距离的平方。,3、开普勒行星运动定律第三定律说明，各个行星所受的吸引力反比于各该行星距太阳距离的平方，正比于各该行星的质量。,Maple理论力学,4、牛顿万有引力定律,牛顿研究了月球绕地球的运动，发现地球对月球的引力也就是地球吸引地面上物体的力，只是按距离平方反比而减弱了的。 因此，这种平方反比引力并不只是天体之间特有的，而是存在于任意物体之间，这就是万有引力。,Maple理论力学,24.3 例题编程,例 24-1 （二力的平衡） 求位于两个质量分别为 和 的质点间的平
3、衡点，两点的距离为 ，见图（a）。,Maple理论力学,解：建模 根据Newton万有引力建立平衡方程。 求解 ； 图（b）表明平衡点的坐标为 的函数，取 。,b）,Maple理论力学, Maple程序 restart; #清零。 eq1:=G*m1*mx/rx2=G*mx*m2/(r-rx)2:#平衡方程。 Sr:=solve(eq1,rx); #解方程。, rx:=factor(Sr2): #因式分解。 rnx:=simplify(subs(r=1,m2=N2*m1,rx),symbolic): #化简。 rnx:=subs(N=sqrt(n),rnx); #代换。, plot(rnx,n
4、=010,labels=n,rx); #绘图。,Maple理论力学,例 24-2（三力的平衡）现在我们可以解三个质量分别为 、 和 的质点的类似问题。它们的坐标标示在图24-2(a)中。设一个质点 在 处。将由 产生的引力 表示成力 与 的和，如图24-2(a)所示。,Maple理论力学,解法一：建模（平衡方程法） 根据Newton万有引力建立平衡方程，得到一个关于 和 的非线性方程组，通常它没有解析解；,对给定的值 ， ， ， ， 和 ， 可用图像法求近似解。描出 和 的图形, 可以确定解的存在区间；,在存在区间内数值求解两个平衡点。 用回代的方式验证解。,Maple理论力学,图24-2 b
5、）,Maple理论力学, Maple程序 restart; #清零。 r1:=sqrt(x1-x)2+y2): #质点 到 的距离。, r2:=sqrt(x2-x)2+y2): #质点 到 的距离。, r3:=sqrt(x2+(y3-y)2): #质点 到 的距离。, F1:=G*m1*m/r12: #质点 与 的引力。, F2:=G*m2*m/r22: #质点 与 的引力。, F3:=G*m3*m/r32: #质点 与 的引力。,Maple理论力学, F1x:=F1*(x1-x)/r1: F1y:=-F1*y/r1: #质点 与 的引力的投影。, F2x:=F2*(x2-x)/r2: F2y
6、:=-F2*y/r2: #质点 与 的引力的投影。, F3x:=-F3*x/r3: F3y:=F3*(y3-y)/r3: #质点 与 的引力的投影。, Rx:=F1x+F2x+F3x=0: Ry:=F1y+F2y+F3y=0: #如果作用在这一点的合力为零，质量 就集中在这个平衡点。, System:=subs(G=1,m=1,m1=12,m2=9,m3=6,x1=-5, x2=3,y3=8,Rx,Ry): #代入具体数值。 with(plots): #加载绘图库。 implicitplot(System,x=-42,y=06,numpoints=800,labels=x,y, color=b
7、lack); #隐函数绘图。,Maple理论力学, Digits:=20: #计算精度。 NS1:=fsolve(System,x,y,x=-10,y=01); #计算第一个平衡点。, NS2:=fsolve(System,x,y,x=-10,y=45); #计算第二个平衡点。, Evalf(subs(NS1,System);evalf(subs(NS2,System); #用回代的方式验证解。,Maple理论力学,解法二建模（由势能公式计算） 求引力势能,通过找势能的临界点求解，要求满足 的坐标 ，所得到的方程即平衡方程；,在存在区间内数值求解两个平衡点。 用Hessian确定所找到的临界点
8、的类型。,Maple理论力学, Maple程序 restart; #清零。 r1:=sqrt(x1-x)2+y2): #质点 到 的距离。, r2:=sqrt(x2-x)2+y2): #质点 到 的距离。, r3:=sqrt(x2+(y3-y)2): #质点 到 的距离。, Digits:=10: #计算精度。 U:=-G*m1/r1-G*m2/r2-G*m3/r3: #计算引力势能。 with(linalg): #加载矩阵函数库。 with(plots): #加载绘图库。,Maple理论力学, g:=grad(U,x,y): #求梯度。 Un:=subs(G=1,m=1,m1=12,x1=-
9、5,m2=9,x2=3,m3=6,y3=8,U): #代入具体数值。 gn:=grad(Un,x,y): #求梯度。 implicitplot(seq(Un=-i/6,i=2450),x=-75,y=-29, scaling=constrained,labels=x,y,color=black, numpoints=800); #绘等势能曲线。 plot3d(Un,x=-63,y=-19,view=-12-2,orientation=-100,75, style=hidden,color=black,numpoints=402,axes=boxed, labels=x,y,U); #绘3维的势
10、能图。,Maple理论力学, NS1:=fsolve(gn1,gn2,x,y,x=-10,y=01); #计算第一个平衡点。, NS2:=fsolve(gn1,gn2,x,y,x=-10,y=45); #计算第二个平衡点。, subs(NS1,hessian(Un,x,y); #计算第一个平衡点的Hessian矩阵。, subs(NS2,hessian(Un,x,y); #计算第二个平衡点的Hessian矩阵。,Maple理论力学,(a)等势能曲线 (b)3维的势能图 图24-3,Maple理论力学,例 24-3(粗线段的引力强度问题)我们考虑求一条质量为 ，长度为 的线段的引力场的引力势能和
11、强度的问题。,Maple理论力学,解：建模 求引力势能,在与 平面平行的平面 上绘出势能；,等势曲线及强度向量场。 通过计算 和 ，来验证结论的正确性。对长距离， ，线段看起来像一个点，引力场近似球对称。对 ， 和g的极限计算归结为关于一个点的经典Newton定律。,Maple理论力学, Maple程序 restart; #清零。 with(linalg): #加载矩阵函数库。 with(plots): #加载绘图库。 r:=sqrt(xi-x)2+y2+z2): #空间任一点到线段上微元的距离。 sigma:=m/L: #线质量密度。 U:=Int(G*sigma/r,xi=-L/2L/2)
12、: #引力势能。 U:=normal(value(U)： #有理式的标准化。,Maple理论力学, Us:=subs(G=1,m=1,L=1,z=1/5,U): #代入具体数值。 plot3d(Us,x=-22,y=-22,axes=boxed,style=hidden,color=black, orientation=-80,-130,numpoints=352,labels=x,y,U); # 时，绘势能曲面。, p1:=implicitplot(seq(Us=i/10,i=530),x=-11, y=-11, color=black,scaling=constrained): # 时，绘
13、等势曲线。, p2:=gradplot(Us,x=-11,y=-11,color=black,scaling=constrained, arrows=SLIM,numpoints=402): # 时，强度向量场。,Maple理论力学, display(p1,p2,labels=x,y); #合并图形。 Uinf:=Limit(U,L=0): # 。, Uinf:=value(Uinf); #求值。, ginf:=grad(Uinf,x,y,z): #求梯度 。, abs(ginf)=simplify(norm(ginf,2),symbolic); #化简。,Maple理论力学,a) 势能的计算 b) 势能，,c )等势曲线和向量场,图24-4,Maple理论力学,例 24-4(粗线段的引力轨迹问题) 考虑求一条质量为 ，长度为 的线段的引力场移动的质点的轨迹。,Maple理论力学,解：建模 求引力势能,用Newton运动方程求数值解； 对40时间单位和时间步长=1/25时间单位，绘出不同初始条件的轨迹，轨迹不再是封闭的； Kepl
