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1、ThemeGallery PowerTemplate,3-6 离散时间系统,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,离散系统的性质,离散系统的计算,内容安排,3-6-2 离散系统的性质,3-6-1 离散时间系统的运算,离散时间系统是一种数学映射或算子，它通过一组约定的法则或者运算 将一个（组）序列(输入激励)变换为另一个（组）序列(输出响应)。为方 便起见，可以用算子 表示一个离散时间系统，如图3-6-1所示，图中 输入信号序列x(n)通过算子T被变换为输出信号序列y(n) 。,3-6 离散时间系统,图3-6-1 输入序列通过离散时间系统( )映射成输出序列,应用中有两种基本的系统模型描
2、述形式：,3-6 离散时间系统,输入/输出模型：描述系统输入序列和输出序列之间的关系；,状态（或内部）变量模型：描述系统输入序列、内部状态和输出 序列之间的关系。,本书主要研究输入-输出模型描述。具体讲将重点研究4种输入/输出描述形式：,1、卷积模型,2、差分方程（关于输入/输出）模型,3、离散傅立叶变换模型,4、传输函数模型,其中前两种方法给出的是系统的离散时间函数，故称之为时域模型；而 后两种方法是以频率为变量，故称之为频域模型。但离散傅立叶变换模 型一般又可认为是传输函数表示法的一种特例，因此实际上只需要研究 3种基本的输入-输出描述形式。 在工程应用中，系统的输入-输出特性是关于系统行
3、为属性的非常重要的 参数，可以用多种方法获得。 例如，输入输出之间的关系可以如上所述用数学表达式或函数关系进 行描述；也可以用某种算法来估计；甚至在某些情况下，还可以用表格 （表查询）来确定一个系统，这个表格可能定义了相关的输入-输出序列 对的某种集合。,3-6 离散时间系统,前已述及，离散时间系统的描述模型之一是差分方程。差分方程中 包含序列及其移位序列，移位序列一般可用运算符号方便地加以描述。 通常，单位延迟或后向（右）移位运算可以用运算符号 表示，它将 变换为 ，因此可用算子 表示。,3-6-1 离散时间系统的运算,至于延迟或右移k个单位，则一般表示为 。前向（或左）移位 算子则用z的正
4、幂表示，也就是说 表示超前或左移k个单位，即将 变换为 ，用运算符号表示则为 。可以看出，借 助于算子可以将一种函数变换为另外一种函数。如前所述，如果我们用算 子T表示一种运算或变换，那么用T将系统输入、输出关系表示为,（3-6-1）,读做 是T对 的响应，其中包括相应的系统初始条件（如果存在）。,式中算子T起着标识系统及说明由输入序列 产生输出序列 的作 用。对于多输入、多输出系统， 和 为矢量。,3-6-1 离散时间系统的运算,式（3-6-1）实际上表示的是函数 在算子T的操作（或运算）下，得到 一个新的函数 的过程。 例如，下列算子运算：,表示 是通过将 左移3个单位，再乘4加6得到，即
5、：,在讨论离散时间系统的性质之前，首先需要引入线性运算和叠加性的概念。我们称一个系统是可加的，是指对于任意序列 和 ，有,称一个系统是齐次（均匀）的，是指对于任意复常数c和任意输入序列 ，如果有,3-6-1 离散时间系统的运算,（对可加运算） （3-6-2）,（对齐次运算） （3-6-3）,讨论题3-6-1 由 定义的运算是可加的吗？,不相同。但该系统却是齐次的，因为对于运算，有,3-6-1 离散时间系统的运算,讨论： 的运算不是可加的，因为,与,讨论题3-6-2 讨论由 定义的系统是否具有可加性和齐次性。,3-6-1 离散时间系统的运算,讨论：由 定义的系统是可加但非齐次的，因为,但显然,内
6、容安排,3-6-2 离散系统的性质,3-6-1 离散时间系统的运算,线性系统,3-6-2 离散系统的性质,满足叠加性的系统定义为线性系统。叠加性是指系统即满足齐次性又满足可加性，同时还隐含系统是松弛的（具有零初始条件），而且系统差分方程中只包含线性运算。换句话说，线性性质需要满足三个要素，即齐次性、可加性和叠加性。,于是，一个系统若为线性，则对任意两个输入和 ，以及任意实或者复 常数c1和c2，有,（3-6-4）,图3-6-2给出了线性性质三要素（齐次性、可加性和叠加性）的图解形式。,图3-6-2 线性性质,3-6-2 离散系统的性质,例3-6-3 一离散时间系统由其输入、输出方程 描述， 其
7、中K和A均为实常数。试验证该系统的线性性。,3-6-2 离散系统的性质,解：对于输入 ，系统输出为 ；对于输入 ，系统输出为 。现设系统输入：,则系统输出：,但是,显然， ，因此系统是非线性的。,注意，若 ，则系统是线性的。读者可依例证明之。,设 为一个系统对任意输入 的响应。时不变意指，如果对于任意 延迟k，系统对x(n-k)的响应是y(n-k)，即输入序列中的k个移位(延迟)只 会引起输出序列中的k个移位。严格讲，如果算子T将输入序列x(n)变换 到y(n)，即,3-6-2 离散系统的性质,移位(时)不变性,则时不变性的条件是：,（对于时不变性）（3-6-5）,图3-6-3给出了离散时间系
8、统时不变性质的图解形式。,图3-6-3 时不变性,事实上，如果一个系统其性质或特征不随时间变化就是时不变的。一般而言，为了验证系统的时不变性，需要比较Tx(n-k)和y(n-k)。如果它们对任意输入x(n)和所有移位k都是相同的，这个系统就是移位不变的。,例3-6-4 例3-6-3系统是时不变的还是时变的？,3-6-2 离散系统的性质,解：对于输入 ，系统输出 ；对于移位输入 ，系统输出 。,现设系统的输出 移位k个单位，即 ，显然有：,因此系统是时不变的。,例3-6-5 检验下列运算的线性与时不变性,3-6-2 离散系统的性质,1）,2）,3）,4）,5）,和 ，两式不相等，,解：,3-6-
9、2 离散系统的性质,1） 的运算为 ，因此有：,和 ，两式相等，系统是线性的。,然而，,故系统是时变的。,2） 的运算为 ，因此有：,和 ，两式不相等，,系统是非线性的。,然而，,以及,两式相等，系统是时不变的。,3-6-2 离散系统的性质,3） 的运算为 ，因此有：,和 ，两式不相等，,系统是非线性的。,然而，,以及,两式相等，系统是时不变的。,和 ，两式相等，,4） 的运算为 ，因此有：,同时，,故系统是时不变的。,和 ，两式相等，,系统是线性的。,5） 的运算为 ，因此有：,和 ，两式相等，,系统是线性的。,然而，,以及,两式不相等，系统是时变的。,3-6-2 离散系统的性质,3-6-2
10、 离散系统的性质,线性时不变系统,一个既满足线性又满足移位（时）不变性的系统称为线性移位（时）不变系统（LTI）。我们用LTI表示LTI系统。令x(n)和y(n)分别是一个LTI系统的输入和输出序列，则前面引入的时变样值响应h(n,k)就成为一个时不变样值响应h(n-k)，所以，式（3-18-2）给出的输出就成为：,（3-6-6）,回顾卷积和的定义，上式显然是LTI系统输入序列 与系统单位样值响 应h(n)的卷积和，记为,（3-6-7）,式中单位样值响应h(n)表征了一个LTI系统的时域特征。换言之，一旦h(n)已知，这个系统对于任何输入x(n)的响应都可以求得。,另外，为了检验系统的线性或者
11、时不变性，可以对系统差分方程的 每一项进行检查，也可以将上面例子的结果进行如下推广，从而识别系 统的非线性或者时变运算：,3-6-2 离散系统的性质,1.包含输入x(n)和/或输出y(n)乘积的运算项将使系统成为非线性的，,3.输入x(n)或输出y(n)中的某一项是n的显式函数，则它是时变的，,2.如果有一项是常数，或者是输入x(n)或输出y(n)的非线性函数，则它是 非线性的，,4.输入x(n)或输出y(n)的时间展缩运算也将使系统成为时变的（如y(2n)）。,例3-6-6 检验系统的线性与时不变性,3-6-2 离散系统的性质,1、y(n)-2y(n-1)=4x(n) 线性时不变系统,2、y
12、(n)-2ny(n-1)=x(n) 线性时变系统,3、y(n)+2y2(n-1)=2x(n)-x(n-1) 非线性时不变系统,4、y(n)-2y(n-1)=(2)x(n)x(n) 非线性时不变系统,5、y(n)-4y(n)y(2n)=x(n) 非线性时变系统,因果性,3-6-2 离散系统的性质,物理可实现的系统均为因果系统。如果对于任意n0，系统在时刻n0的 响应y(n0)仅取决于其输入序列x(n)在 时的值，则称该系统为因果系统。 系统满足因果性的充分必要条件为,（3-6-8）,可以看出，对于一个因果系统，当前响应y(n)不取决于未来的输入序列，如x(n+3)。换句话说，因果系统输出的变化不
13、领先于其输入的变化。如果当前响应y(n)要用未来的输入序列确定，则称系统为非因果的。因果性可以通过检查根据系统差分方程导出的系统传输（递）函数H(z)的阶次来判断。如果系统传输（递）函数H(z)的分子多项式阶次高于分母多项式阶次，则系统就是非因果的。,例3-6-7 由式y(n)= x(n)+x(n-1)描述的系统是因果性的，因为在任意n=n0时刻输出值仅取决于输入x(n)在时刻n0和n0-1的值。 由y(n)= x(n) + x(n+1)所描述的系统是非因果的，因为在n = n0时刻的输出依赖于输入在n0+1时刻的值。,3-6-2 离散系统的性质,稳定性,如果对于一个有界输入x(n)，系统产生
14、一个有界输出y(n)，即对于任何有界输入|x(n)| A ，存在有界输出|y(n)| B ，则称系统为有界输入-有界输出(BIBO)稳定的。 一个LTI系统是BIBO稳定的，当且仅当其单位样值响应是h(n)是绝对可加的，即,（3-6-9）,例3-6-8 已知系统的单位样值响应序列 如下,试说明系统是否是： (1)因果的,(2)稳定的？,3-6-2 离散系统的性质,1）,2）,4）,3）,解：由于已知LTI系统的单位样值响应，因此可用h(n) = 0，n0 来判断因 果性，用 来判断稳定性。,3-6-2 离散系统的性质,3） 系统是非因果的。,又 ， 系统是不稳定的。,4） 系统是非因果的。,又 ， 系统是稳定的。,1） 系统是因果的。,2） 系统是因果的。,
