《应用微积分(上册) 教学课件 ppt 作者 刘春凤《应用微积分》第3章 3.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用微积分(上册) 教学课件 ppt 作者 刘春凤《应用微积分》第3章 3.1（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,导数与微分,第 3 章,主讲教师：,第 3 章 导数与微分,导数概念,求导法则,高阶导数,函数的微分,3.1 导数概念,导数概念的引入,1,2,3,4,导数的定义,导数的几何意义,单侧导数,函数可导与连续的关系,5,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,变速直线运动的瞬时速度曲线在某点处的切线斜率,在古代就引起了数学家们的兴趣。,早在17世纪前期，意大利物理学家伽利略就对自由落体中的瞬时速度
2、进行了研究,17世纪后，牛顿在研究天体运动的速度时系统地 解决了变速直线运动的瞬时速度问题。,导数概念的产生源于求:,3.1.1 导数概念的引入,1变速直线运动的瞬时速度,设一物体作变速直线运动，s表示物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程s，则s是时间的函数，现在我们求物体在时刻的瞬时速度。,平均速度,令,如果这个极限存在，就定义为物体在 时刻,的瞬时速度，,即,2切线问题,17世纪前期，人们就对带有特殊性质的曲线的切线进行了研究古希腊数学家阿基米德（Archimedes）,对螺旋切线的研究。,到17世纪德国数学家莱布尼兹在前人的研究基础上系统的研究了曲线切线的斜率问题。,设其倾角
3、为,则割线,的斜率为,也随之变动而趋向于极限位置 直线,称此直线为曲线在定 点处的切线。,割线的极限位置切线位置,播放,割线 的斜率的极限：,则称K为切线 的斜率。,如果 自变量增量，则函数增量,这时,即：切线的斜率是函数增量与自变量增量之比的极限 .,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度：,角速度：,线密度：,电流强度：,速度增量与时间增量之比的极限,转角增量与时间增量之比的极限,质量增量与长度增量之比的极限,电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,设函数 在,的邻域,内有定义，,当自变量x在,时,有函数增量,如果,记作,
4、有增量 且,3.1.2 导数的定义,3）导数定义的几种等价形式。,（3.3）,（3.4）,（3.5）,（3.6）,（3.4）式中的只要是无穷小即可。,设某产品生产个单位的总成本为,（2）生产第1001个到1200个单位的总成本的平均变 化率；,（单位:元),试求:,（3）生产第1000个单位时总成本的变化率 （经济数学中称为边际成本）。,（1）生产1000单位的总成本和单位平均成本；,（1）生产1000单位的总成本是,（元）,单位平均成本是,（元/个）。,（2）生产第1001个到1200个单位的总成本的平均 变化率是,（元/个）。,解,（3）生产第1000个单位时总成本的变化率是,（元/个）,
5、为了加深对导数定义的理解，观察下面极限：,解, 已知,存在，求, 已知,存在，求,原式=,解,设,存在，,和,分别被称为函数,在,点的左导数和右导数，,即,存在的充分必要条件是,和,都存在并且相等。,左导数和右导数统称为单侧导数。,解,求下列函数在点,的导数,不可导的情形很多，下列四种情形比较典型， 如图所示：,计算分段函数在分段点处的左右导数用导数定义。,1) 若左、右导数存在且相等，则导数存在。,2) 若左右导数存在但不相等或其中一个不存在，,则导数就不存在。,在点 x=0 不可导(图3.2),在点 x=1 不可导(图3.3),在点 x=0 不可导(图3.4),在点 x=0 不可导(图3.
6、5),若函数,在区间,内每一点都可导，,在,内可导。,则称,区间上的导数,导函数,其表达式为,按导数定义求导数举例。,即,即,解,解,请验证以下常见函数的导数,一般地，对于幂函数,为常数），有,求函数,的导数。,化简得：,求下列函数的导数,解,求函数,的导数,即,类似可得,解,求函数,的导数。,即,特殊地，,解,其中a是切线的倾角。,即,3.1.4 导数的几何意义,在点,处的切线方程为,求抛物线,在点 处的切线方程,和法线方程。,根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为,由于,，于是,从而所求切线的斜率为,即,即,于是所求法线方程为,解,曲线,在哪一点处的切线与直线,平行 ?写出其切线方程。,
7、解得：,相应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,和,解, 求等边双曲线,在点,处的切线的斜率，,并写出在该点处的切线方程和法线方程。, 求曲线,的通过点,的切线方程。,若函数,在点,处可导，则必在点,处连续。,存在,其中,因此,即,从而,3.1.5 函数可导与连续的关系,证,2）函数在一点处可导是指在该点处导数值有限, 导数为无穷大和导数不存在都称为不可导，但函 数在某点处的导数为无穷大时，该点处的切线是 存在的。,1）,例如，函数,在点,处连续但不可导。,即导数为无穷大，在图形中表现为曲线,在原点,具有垂直于,轴的切线,3）判断函数在特殊点的连续性与可导性
8、，主要用定义 及定义推导出的充要条件：,讨论,在点,处的连续性与可导性.,(1) 连续性：,(2) 可导性：,不存在,所以不可导.,解,在 连续,讨论,处的连续性与可导性.,在点,连续性：,解, 讨论函数,在,处的连续性和可导性, 讨论,处的连续性和可导性,在,1. 导数的实质: 增量比的极限;,2. 导数的几种等价形式,4. 导数的几何意义: 切线的斜率;,5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,6. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,7. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题解答,求,在,已知,1.,连续，且,解,2. 设,，问当
9、,为何值时，,为可导函数？,备用题,1填空题,设,可导，且,，则,(1),(2),(3),(4),2设,，求,-,3求下列函数的导数.,4,，则,5设,在点,可导，则,-,6. 曲线,上哪一点的切线与直线,平行？,7求曲线,在点,的切线方程和法线方程。,8在曲线,上有一条切线，此切线在,轴上的,求切点坐标.,判断,在,处可导性。,截距为-1,9. 已知,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的
10、极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,
