《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第五部分B 第21章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第五部分B 第21章（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十一章 变质量动力学,Maple理论力学,21.1 变质量质点的运动微分方程,有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，例如火箭、喷气式飞机等等，都是变质量的物体。,当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量质点来研究。,Maple理论力学,21.1.1变质量质点的运动微分方程,设变质量质点在瞬时 的质量为 ，速度为 ；在 瞬时，有微小质量 并入，这时质点的质量为 ，速度为 ；微小质量 在尚未并入的瞬时 ，它的速度为 ，如图所示。,Maple理论力学,以原质点与并入的微小质量组成质点系。,质点系在 瞬时的动量为,设作用于质点系的外力为 。,在 瞬时的动量为,Maple理论
2、力学,得,将上式展开得,根据动量定理,Maple理论力学,Maple理论力学,1、变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程，在形式上与常质量质点运动微分方程相似，只是在右端多了一项 。,2、当 ， 与 同向。,3、对于像火箭等质量不断减小的物体， ， 的方向与燃气喷出火箭的相对速度 方向相反，或 与火箭发射的方向一致。因 具有力的量纲且与喷气方向相反，常称为反推力。火箭就是靠反推力而加速度的。,Maple理论力学,4、如果并入或放出的质量的相对速度 ，则原式变为牛顿第二定律的形式。但是这种情况 ，与牛顿第二定律在本质上是不相同的，因为式中的 是时间 的函数。,Maple理论力
3、学,21.1.2常用的几种质量变化规律,（1）质量按线性规律变化。,Maple理论力学,由 知，其反推力为,（2）质量按指数规律变化。,Maple理论力学,21.2 变质量质点的动力学普遍定理,21.2.1变质量质点的动量定理,进一步可以得到：,Maple理论力学,将动量对时间求导得,将 代入动量求导式得,Maple理论力学,将 代入动量求导式得,上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数,等于作用于其上的外力与由于并入(或放出)质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。,Maple理论力学,如果并入或放出质量的绝对速度 ，则变质量质点动量定理的微分形式,此式与不变质量质点
4、的动量定理形式相同，但其中 是变量。,成为,Maple理论力学,21.2.2变质量质点的动量矩定理,将上式对时间求导，得,Maple理论力学,21.2.3变质量质点的动能定理,变质量质点动量定理的微分形式可以写为,将上式各项点乘 ，得,以上两式称为变质量质点的动能定理：变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和，等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。,或,Maple理论力学,因此变质量质点的动能定理也可以这样叙述：变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外
5、力的合力与反推力所作的元功之和。,由于,即,因此变质量质点的动能定理 也可以写为,Maple理论力学,21.3 例题编程,例21-1 单级火箭。,解法一：建模 齐奥尔科夫斯基第一类问题。设火箭在真空中运动且不受任何外力作用，其喷射出的气体相对速度的大小不变，方向与火箭运动方向相反。,Maple理论力学,Maple程序 restart: # 清零。 eq1:=m(t)*diff(v(t),t)=-vr*diff(m(t),t):#变质量质点的运动微分方程。 eq1:=diff(v(m),m)=-vr/m: #变质量质点的运动微分方程的简化。 dsolve(eq1,v(m0)=v0,v(m): #
6、解微分方程。 v:=-vr*ln(m)+vr*ln(m0)+v0; #火箭运动速度。,Maple理论力学, eq2:=vf=subs(m=mf,v)-v0: #火箭的特征速度。 solve(eq2,mf): #解方程。 mf:=exp(-vf+vr*ln(m0)/vr): #火箭燃烧终了时的质量。 N:=m0/mf: #质量比。 N:=expand(N); #展开。,Maple理论力学,Maple程序 restart: # 清零。 eq:=m(t)*diff(v(t),t)=-m(t)*g-vr*diff(m(t),t): #火箭的运动微分方程。 eq:=D(v)=-g*dt-vr*D(m)/
7、m: #火箭的运动微分方程的简化。 eq:=int(1,v=v0V)=int(-g,t=0T)+int(-vr/m,m=m0M): #积分。 V:=v0-g*T-vr*ln(M)+vr*ln(m0): #火箭运动速度。 v:=subs(T=t,M=m,V); #代换。,解法二：建模 齐奥尔科夫斯基第二类问题。如果火箭在真空中且处于均匀重力场内，沿铅直方向向上运动。,Maple理论力学,例21-2 二级火箭。单级火箭具有重大的缺欠，那就是：燃料装的越多其壳体也就越大，任何时侯火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度，而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度，这就限制了火箭速度的提高。多级火箭可以克服这
8、一缺欠，当前一级火箭燃料燃烧终了时，连同其壳体一起抛掉，后一级火箭开始工作。一级火箭由3部分组成：第一级火箭、第二级火箭和载荷。,Maple理论力学,解：建模 设第一级火箭总质量为 ，其内携带燃料的质量为 ，且有 ；第二级火箭总质量为 ，其内携带燃料的质量为 ，且 ；载荷的质量为 ， 。燃料从火箭喷出的相对速度 ，方向与火箭速度方向相反，每秒喷出的燃料质量也为常数。火箭由静止开始运动，略去重力。二级火箭的总质量为 ， 为常量，则 ， 的不同分配将影响火箭的速度， 。,Maple理论力学,Maple程序 restart; #清零。 v1:=vr*ln(m1+m2+mP)/(m1+m2+mP-ep
9、silon*m1): #第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度。 v2:=v1+vr*ln(m2+mP)/(m2+mP-epsilon*m2): #第二级火箭的燃料也全部喷射完时火箭的速度。 m1:=50*mP: m2:=m1: #已知条件。 epsilon:=0.8: vr:=300*g: g:=9.8: #已知条件。 v2:=evalf(v2,4); #第二级火箭的燃料也全部喷射完时火箭的速度数值。,Maple理论力学, restart; #清零。 v1:=vr*ln(m1+m2+mP)/(m1+m2+mP-epsilon*m1): #第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度。 v2:=v1
10、+vr*ln(m2+mP)/(m2+mP-epsilon*m2): #第二级火箭的燃料也全部喷射完时火箭的速度。 v2:=subs(m1=M-m2,mP=k*M,v2): #代换。 eq1:=diff(v2,m2)=0: #求一阶导数，得驻点。 eq1:=subs(m2=M*x, mP=M*k,eq1): #代换。 solve(eq1,x); #解方程求极值点。,Maple理论力学, v2,max:=subs(m2=M*(-k+(k2+k)(1/2),v2): #代换。 v2,max:=simplify(v2,max); #化简。 k:=1/100: epsilon:=0.8: vr:=300
11、*g: g:=9.8: #已知条件。 v2,max:=evalf(v2,max,4); #第二级火箭的燃料全部喷射完时火箭的最大速度数值。,Maple理论力学,例21-3 图示为传送砂子的装置。砂子从漏斗铅直流下，以速度 流入倾角为 的传送带上并沿斜面下滑长度 ，然后流出斜面。设砂子以流量 常数 从大漏斗中流下，斜面上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。若使砂子在斜面上的速度 为常数，求倾角 应等于多少?,Maple理论力学,Maple理论力学,解:建模 研究传送带上的沙子，由变质量质点的动能定理，有,式中 为漏斗流入到传送带上的沙子质量元， 为从传送带上流出的沙子质量元， 为 流出时的
12、绝对速度。,Maple理论力学,常数，,。,，,，,，,，,，,Maple理论力学,Maple程序 restart; #清零。 eq:=0=m*g*sin(theta)*ds+q*dt*v1*v*sin(theta)-q*dt*v2: #动能定理。 eq:=subs(m=l*q/v,ds=v*dt,eq): #代换。 solve(eq,theta); #解方程。,Maple理论力学,例21-4 总质量为 、总长度为 的一排小方块放在图21-3所示的水平桌面上。设小方块长度极短、数量很多，相邻的小方块互相接触而不连接。初始静止，小方块最外端在桌边。如图示加一水平的常力 ，求在如下两种情况下，当小
13、方块已经有一半离开桌面时，留在桌面上的小方块的速度。(1)忽略桌面上的摩擦力；(2)桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为 。,Maple理论力学,解：建模 研究仍在桌面上的一群小方块，并将其视为变质量质点。 小方块离开桌面瞬时 ，选坐标 如图示。,Maple理论力学,将动量定理投影到 轴上，有,，,，,。,式中,（1）无摩擦时，由于,Maple理论力学,（2）有摩擦时，将动量定理投影到 轴上，有,Maple理论力学,Maple程序 restart; #清零。 eq:=m0/l*v(x)*diff(v(x),x)=-F/x: #无摩擦时，动量定理投影到 轴上。, dsolve(eq,v(l)=0,v
14、(x); #解微分方程，舍去负根。 v:=1/m0*(m0*(-2*F*l*ln(x)+2*ln(l)*F*l)(1/2): #小方块的速度。 v:=subs(x=l/2,v): #小方块已经有一半离开桌面时，留在桌面上的小方块的速度。 v:=simplify(v,symbolic); #化简。,Maple理论力学, restart; #清零。 eq:=v(x)*diff(v(x),x)=(-F*l+f*gm0*x)/(x*m0): #有摩擦时，动量定理投影到 轴上。, dsolve(eq,v(l)=0,v(x); #解微分方程，舍去负根。 v:=1/m0*(m0*(-2*F*ln(x)*l+2*f*gm0*x+2*l*(F*ln(l) -f*gm0)(1/2): #留在桌面上的小方块的速度。 v:=subs(x=l/2,v): #小方块已经有一半离开桌面时，留在桌面上的小方块的速度。 v:=simplify(v,symbolic); #化简。,Maple理论力学,
