《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第五部分A 第17章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第五部分A 第17章（97页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五篇 专 题,Maple理论力学,Maple理论力学,本篇包括：质点的振动；非惯性系中的质点动力学；碰撞；刚体的空间运动；变质量动力学；多自由度系统的线性振动。,Maple理论力学,振动按激励的控制方式分为四类： 自由振动：通常指弹性系统在偏离平衡状态后，不再受到外界激励的情形下，所产生的振动； 强迫振动：指弹性系统在受外界控制的激励作用下发生的振动。 自激振动：指弹性系统在受系统振动本身控制的激励作用下发生的振动。 参激振动：指激励方式是通过周期地或随机地改变系统的特性参量来实现的振动。 第17章考察确定性激励下的自由与受迫振动。,Maple理论力学,牛顿定律只在惯性参考中适用，然而实际问
2、题往往要在非惯性系中讨论动力学问题。 处理非惯性参考中的动力学问题有两种方法： 1)先在惯性系中考虑问题，然后应用相对运动的关系进行两种参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论； 2)研究在非惯性参考系中适用的动力学基本方程，直接在非惯性系中研究动力学问题。 第18章讨论非惯性系中的质点动力学问题。,第18章 非惯性系中的质点动力学,Maple理论力学,两运动物体的碰撞问题是工程中一个有重要意义的动力学问题。 本篇将在一定的简化条件下，应用动量、动量矩定理分析碰撞问题。还将借用恢复系数这一实验数据，补充方程计算碰撞过程中的动能损失，以解决实际问题。 第19章讨论碰撞问题。,
3、第19章 碰撞,Maple理论力学,刚体的运动通常分为平行移动、定轴转动、平面运动、定点转动和一般运动五种。 刚体的一般运动可以分解为随质心的平行移动和绕质心的定点转动。 第20章讨论定点转动和一般运动。,第20章 刚体的空间运动,Maple理论力学,通常物体在运动中质量是不变的。但是在工程中，也有质量不断增加或减少的物体。 当变质量物体作平动，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量质点来研究。 第21章讨论变质量动力学问题。,第21章 变质量动力学,Maple理论力学,振动系统可分为两大类，离散系统和连续系统。连续系统具有连续分布的参量，但可通过适当方式化为离散系统。 按自由度划分，振动
4、系统可分为有限多自由度系统和无限多自由度系统。前者与离散系统相对应，后者与连续系统相对应。 第22章考察有限多自由度线性系统振动。,第22章 多自由度系统的线性振动,Maple理论力学,第十七章 质点的振动,Maple理论力学,Maple理论力学,1、物体在平衡位置附近作往复运动的现象称为振动。 行驶在不平的路面上的车辆；旋转机械； 风吹旗帜；向瓶口吹气引起发声。 振动既有有害的一面，也有可利用的一面。 2、振动系统的最简单物理模型是质量弹簧系统。 3、当质点只在弹簧的弹性恢复力作用下振动时，称为自由振动； 如果还有阻尼力作用，称为阻尼振动； 如果还有其它激励力作用，则称为受迫振动。,几个基本
5、概念：,Maple理论力学,17.1 质点的自由振动,下图所示为一质量弹簧系统，质点质量为 ，弹簧刚度为 ，原长度为 ，水平面光滑。研究在一定初始条件下质点的运动规律。,首先分析运动。质点作直线运动，建立坐标轴 ，原点在弹簧原长右端，用坐标 描述质点的运动。 然后分析受力，画任意位置的受力图。,Maple理论力学,弹簧恢复力 的投影为,上式是二阶线性微分方程，用特征根法求解。,Maple理论力学,通解,，,Maple理论力学,（3）振动的振幅 与初位相 取决于运动的初始条件。,质点自由振动的运动特性分析：,Maple理论力学,（1）质点作周期性的振动，振动规律是简谐运动。,（4）工程中常遇到质
6、点在铅垂方向的振动，这时质点还受重力作用。参照图17-2a，质点的运动微分方程式为,亦即质点仍作频率为 的简谐振动，只是振动中心位于 处， 为弹簧的静伸长。,Maple理论力学,引入静伸长 ，还可将固有角频率及周期写为,，,如果将参考坐标的原点取在弹簧静伸长处 ，如图17-2b，则运动微分方程改变，但解的形式简单。,Maple理论力学,17.2 质点的阻尼振动,设质点除受弹性恢复力作用外，还受有线性阻尼力,比例系数 称为粘阻系数。,Maple理论力学,下面用特征根法求解线性微分方程,Maple理论力学,由于振幅不断衰减，故有阻尼的自由振动是衰减振动。,方程的通解所表示的 的时间历程曲线如下图所
7、示。,Maple理论力学,（1）严格地讲，在小阻尼 的情况下，运动不再是周期的。但由于解中含 的因子，故仍可定义衰减振动的频率 及衰减振动的周期 ，且知其频率小于无阻尼自由振动频率， 。,衰减振动的运动特性如下：,Maple理论力学,可以看出，衰减振动的频率只与自由振动的频率相差0.5%，但每经过一个周期，振幅要衰减27%；亦即小阻尼对振动的频率与周期影响很小，但对振幅衰减的作用却十分显著。,如果阻尼比为 ，则可算出：,，,Maple理论力学,（3）对大阻尼 及临界阻尼 ，由特征根,的分析可知，衰减运动不再有往复性质。,，,Maple理论力学,17.3 质点的受迫振动,设质点除受弹性恢复力、线
8、性阻尼力作用外，还有外界激励力。现只研究激励力为简谐变化的情况。,Maple理论力学,以上得到了质点的运动微分方程,Maple理论力学,将式,，,代入方程式,可解出 与 ：,Maple理论力学,在简谐激励力作用下，质点位移的时间历程如下图所示。时间历程有过渡过程及稳态过程两个阶段。,Maple理论力学,稳态过程又称系统对激励力的稳态响应，是一个由 代表的稳定的振动，且只与系统及激励力的参数有关，与运动初始条件无关；过渡过程又称系统对激励力的瞬态响应，它是衰减振动与稳态振动的叠加，且与初始条件有关。,Maple理论力学,所代表的稳态过程又称受迫振动。,Maple理论力学,这时确定质点受迫振动振幅
9、及位相差的式,，,可量纲为一化为,，,上式可用图形表示，曲线 称为幅频特性曲线， 称为相频特性曲线。,Maple理论力学,图17-7 幅频特性曲线与相频特性曲线,Maple理论力学,受迫振动的特性： （1）受迫振动是振幅恒定的振动，其频率与激励力的频率相同，但有位相差。受迫振动的振幅与位相差只取决于系统及激励力的参数，与运动的初始条件无关。,Maple理论力学,（2）当激励力的频率与系统的固有频率接近时，受迫振动的振幅急剧增加，这种现象称为共振；因此，幅频特性曲线又称共振曲线。对无阻尼受迫振动，共振频率准确等于固有频率；阻尼很小时，共振频率略低于固有频率。在共振区，阻尼的增加可以显著降低共振振
10、幅。,Maple理论力学,（3）在幅频特性曲线上，除共振区外，还有低频区及高频区。在低频区，受迫振动振幅接近静力偏移。在高频区，受迫振动振幅几近于零，其物理意义是：在高频扰动下，质点来不及振动，因而振幅很小。,Maple理论力学,（4）在相频特性曲线上可以看到，在小阻尼 情况下，对 有 ，对 有 ；当 ，即共振时，不管阻尼如何，相位差总为 。,Maple理论力学,观察右例。弹性绳的一端连接一重物，另一端用手提起处于铅垂位置；先给弹性绳一初始伸长，根据衰减振动估计出系统的固有频率。再将持绳的手上下振动，在重物上作用一个周期性的激励力，观察重物的受迫振动。当手的振动是低频时，重物作与手的振动接近的
11、同频受迫振动，而且是同相。当手的振动是高频时，重物作同频的反相振动，且振幅很小。当手的振动频率很高时，重物几乎不动。当手的振动频率与固有频率接近时，重物的振幅不断加大，出现共振现象。,Maple理论力学,共振现象在工程上十分重要。共振的巨大振幅足以使结构疲劳甚至破坏，在实际工程中多数情况下应该避免。,1、士兵过桥,2、旋转机械,实例：,Maple理论力学,一些精密仪器不能直接安装在楼板上，因为楼板的振动会影响仪器的正常工作。这时可以在仪器与楼板之间设置弹簧，当楼板上下振动时，仪器就作受迫振动。根据幅频特性曲线可知，当 时受迫振动的振幅接近于零。因此，应该用软的弹簧，这时仪器的振幅可以很小。实际
12、工程中多采用减震垫。,Maple理论力学,Maple理论力学,例17-1 质量为 的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图17-10所示。当物块下落高度 时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离。 弹簧刚度系数 ，斜面倾角 ，求此系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。,17.4 例题编程,Maple理论力学,解: 建模 物块受力： ， ， 。物块作直线运动。,Maple理论力学,Maple程序 restart: #清零。 delta0:=m*g*sin(beta)/k: #弹簧静变形量。 eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g*sin(beta)-k*(delta0+x): # 。,
13、 eq:=lhs(eq/m)-rhs(eq/m)=0: #移项。 eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx,k=omega02*m,eq):#代换。 eq:=simplify(eq); #化简。 X:=A*sin(omega0*t+theta): #系统的通解。 omega0:=sqrt(k/m): #固有频率。 x0:=-delta0: #初位移。 v0:=sqrt(2*g*h): #初速度。 A:=sqrt(x02+v02/omega02): #振幅。 theta:=arctan(omega0*x0/v0): #初相角。,Maple理论力学, m:=0.5: h:=0.1:
14、k:=0.8*103: #已知条件。 beta:=Pi/6: g:=9.8: #已知条件。 omega0:=evalf(omega0,4); #固有频率的数值。, A:=evalf(A,4); #振幅的数值。, theta:=evalf(theta,4); #初相角的数值。, X:=eval(X); #物块的运动方程。,Maple理论力学,例17-2 图17-11所示为一无重弹性梁，当其中部放置质量为 的物块时，其静挠度为 。若将此物块在梁未变形位置处无初速度释放，求系统的振动规律。,Maple理论力学,解：建模 物块受力： ， 。物块作直线运动。,Maple理论力学, Maple程序 res
15、tart: #清零。 eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k*(deltast+x): # 。, eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项。 eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx,deltast=m*g/k,eq): #代换。 eq:=expand(eq/m): #展开。 eq:=subs(k=m*omega02,eq); #代换。 X:=A*sin(omega0*t+theta): #系统的通解。 k:=m*g/deltast: #梁的刚度系数。 omega0:=sqrt(k/m): #固有频率。,Maple理论力学, x0:=-deltast: #初位移。 v0:=0: #初速度。 A:=sqrt(x02+v02/omeg
