《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第四部分 第16章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Maple理论力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第四部分 第16章（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十六章 拉格朗日方程,Maple理论力学,16.1 动力学普遍方程,设质系由 个质点组成，利用达朗贝尔原理将动力学问题化为静力学问题，对每个质点加上惯性力，质系平衡,当质系受到理想、双侧约束时，使用虚位原理求解静力学问题。给质系一组虚位移，得,即：具有理想、双侧约束的非自由质系在任一瞬时，作用于质系的主动力及惯性力在质系任一组虚位移上元功之和为零。上式称为达朗贝尔拉格朗日原理，又名动力学普遍方程。它建立了非自由质系动力学的普遍规律。,Maple理论力学,2、在使用达-拉原理解题时，应遵循下述步骤： （1）判断是否理想约束，将做功的约束力归为主动力； （2）分析运动，着重分析各质点的加速度；
2、（3）对各质点加惯性力，对刚体上的惯力系进行简化； （4）给质系以恰当的虚位移，计算主动力及惯性力的虚功； （5）根据达-拉原理得到方程，由已知求未知。,Maple理论力学,16.2 广义坐标中的达朗贝尔拉格朗日原理,设描述质系运动的广义坐标为 ，则有,变分得,求导,Maple理论力学,Maple理论力学,以上导出了达拉原理在广义坐标中的表达形式：,Maple理论力学,16.3 拉格朗日方程,16.3.1 第二类拉格朗日方程,一、拉格朗日关系式,，,Maple理论力学,（2）先将式 写成,再对 取偏导,另一方面,因而得证：,Maple理论力学,引入质系动能,二、广义惯性力的推导,Maple理论
3、力学,即将广义惯性力通过动能表达。,则得,Maple理论力学,Maple理论力学,四、主动力有势时的拉格朗日方程,Maple理论力学,4、每个拉格朗日方程都是广义坐标 2 阶常微分方程，用拉格朗日方程最后获得的是 2n 阶常微分方程组。,3、用拉格朗日方程建立动力学模型的过程有程式化、规范化的特点，而且只需分析速度，因而易于操作。,1、拉格朗日方程把系统作为整体考虑，以广义坐标描述系统运动，获得与自由度数相等的动力学方程。,2、在理想约束情况下，能避免未知约束力出现，直接建立主动力与运动之间的关系；因而未知量少，是一种“最小方程数”建模方法。,五、应用拉格朗日方程的特点：,Maple理论力学,
4、16.3.2拉格朗日方程的初积分,Maple理论力学,这就是机械能守恒方程。,如果系统受有理想、完整、定常约束，主动力有势，且,常量,机械能守恒的系统叫做保守系统。,则,Maple理论力学,设质点系有 个质点，受有 个完整约束，则拉格朗日第一类方程为,，,式中 为约束方程， 称为拉格朗日乘子。,16.3.3 第一类拉格朗日方程,Maple理论力学,从这 个方程中可解出 个未知量： ，从而可求出作用在质点上的约束力,，,以上得到了拉格朗日第一类方程,Maple理论力学,16.4 例题编程,例16-1 杆 和 以铰链相连， 端挂于圆柱铰链上，如图16-1所示。杆长 ， ，杆重和铰链的摩擦都忽略不计
5、。今在点 和 分别作用向下的铅垂力 和 ，又在点 作用一水平力 。试求平衡时 ， 与 、 、 之间的关系。,Maple理论力学,解：建模 杆 和 组成的平衡系统受主动力： ， 、 。杆 作定轴转动；杆 作平面运动。系统的自由度数 。现选择 和 为系统的两个广义坐标，计算其对应的广义力 和 。,Maple理论力学,方法一: 。,杆 和 的位置可由点 和 的4个坐标 ， 和 ， 完全确定。,Maple理论力学,Maple理论力学, Maple程序 restart: # 清零。 yA:=a*cos(phi1): #点 的纵坐标。, yB:=a*cos(phi1)+b*cos(phi2): #点 的纵
6、坐标。, xB:=a*sin(phi1)+b*sin(phi2): #点 的横坐标。, Q1:=FA*diff(yA,phi1)+FB*diff(yB,phi1) +F*diff(xB,phi1): # 对应 的广义力 。, Q2:=FA*diff(yA,phi2)+FB*diff(yB,phi2) +F*diff(xB,phi2): # 对应 的广义力 。, solve(Q1=0,Q2=0,phi1,phi2); # 解方程组。,Maple理论力学,方法二: ，保持 不变，只有时，对 ， 和 变分可得一组虚位移。保持 不变，只有 时，对 ， 和 变分可得另一组虚位移。,Maple理论力学,
7、Maple程序 restart: # 清零。 yA:=a*cos(phi1): #点 的纵坐标。, yB:=a*cos(phi1)+b*cos(phi2): #点 的纵坐标。, xB:=a*sin(phi1)+b*sin(phi2): #点 的横坐标。, deltayA1:=diff(yA,phi1)*deltaphi1: #点 纵坐标的虚位移 。, deltayB1:=diff(yB,phi1)*deltaphi1: #点 纵坐标的虚位移 。, deltaxB1:=diff(xB,phi1)*deltaphi1: #点 横坐标的虚位移 。, deltayA2:=diff(yA,phi2)*d
8、eltaphi2: #点 纵坐标的虚位移 。, deltayB2:=diff(yB,phi2)*deltaphi2: #点 纵坐标的虚位移 。, deltaxB2:=diff(xB,phi2)*deltaphi2: #点 横坐标的虚位移 。,Maple理论力学, deltaWF1:=FA*deltayA1+FB*deltayB1+F*deltaxB1: # 。, deltaWF2:=FA*deltayA2+FB*deltayB2+F*deltaxB2: # 。, Q1:=deltaWF1/deltaphi1: #对应 的广义力 。, Q2:=deltaWF2/deltaphi2: #对应 的广
9、义力 。, solve(Q1=0,Q2=0,phi1,phi2); #解方程组。,Maple理论力学,方法三: 。,直接由几何关系计算给出虚位移。如保持 不变，只有 时，杆 为平行移动， ， 两点的虚位移相等，可得一组虚位移；如保持 不变，只有 时，点 不动，杆 为定轴转动，可得另一组虚位移。,Maple理论力学, Maple程序 restart: #清零。 deltaxA1:=a*deltaphi1*cos(phi1): #点 横坐标的虚位移 。, deltayA1:=-a*deltaphi1*sin(phi1): #点 纵坐标的虚位移 。, deltaxB1:=deltaxA1: #点 横
10、坐标的虚位移 。, deltayB1:=deltayA1: #点 纵坐标的虚位移 。, deltayA2:=0: #点 纵坐标的虚位移 。, deltaxB2:=b*deltaphi2*cos(phi2): #点 横坐标的虚位移 。, deltayB2:=-b*deltaphi2*sin(phi2): #点 纵坐标的虚位移 。,Maple理论力学, deltaWF1:=FA*deltayA1+FB*deltayB1+F*deltaxB1: # 。, deltaWF2:=FA*deltayA2+FB*deltayB2+F*deltaxB2: # 。, Q1:=deltaWF1/deltaphi1
11、: #对应 的广义力 。, Q2:=deltaWF2/deltaphi2: #对应 的广义力 。, solve(Q1=0,Q2=0,phi1,phi2); #解方程组。,Maple理论力学,例16-2 如图16-2所示，重物 和 分别连接在细绳两端，重物 放置在粗糙的水平面上，重物 绕过定滑轮 铅垂悬挂。在动滑轮H的轴心上挂一重物 ，设重物 重量为 ，重物 重量为 ，不计动滑轮 的重量。试求平衡时重物 的重量 以及重物 与水平面间的静滑动摩擦因数。,Maple理论力学,解建模 平衡系统受主动力： ， ， 、 。 重物 作直线运动；重物 作直线运动；重物 作直线运动。 系统的自由度数 。,Map
12、le理论力学,现选择 和 为系统的两个广义坐标，计算其对应的广义力 和 。直接由几何关系计算给出虚位移。如保持 不变，只有 时，可得一组虚位移；如保持 不变，只有 时，可得另一组虚位移。,Maple理论力学, Maple程序 restart: #清零。 deltayB1:=0: #重物 的虚位移 。, deltayC1:=deltaxA1/2: #重物 的虚位移 。, deltaxA2:=0: #重物 的虚位移 。, deltayC2:=-deltayB2/2: #重物 的虚位移 。, FA:=fs*2*P: #摩擦力。 deltaWFA:=-FA*deltaxA1+PC*deltayC1:
13、# 。, deltaWFB:=P*deltayB2+PC*deltayC2: # 。, QxA:=deltaWFA/deltaxA1: #对应 的广义力 。, QyB:=deltaWFB/deltayB2: #对应 的广义力 。, solve(QxA=0,QyB=0,fs,PC); #解方程组。,Maple理论力学,例16-3 图16-3所示一倒置的摆，摆锤重量为 ，摆杆长度为 。在摆杆上的点A连有一刚度为 的水平弹簧，摆在铅垂位置时弹簧未变形。设 ，摆杆重量不计，试确定摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。,Maple理论力学,解：建模 倒摆平衡系统受主动力： ， 。杆OA作定轴转动；倒摆作定轴转动。系统的自由度数 。选择摆角 为系统的广义坐标，摆的铅垂位置为摆
