对数函数高考复习

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1、第 五 节 对 数 函 数,【知识梳理】 1.对数的定义 (1)对数的定义: 请根据下图的提示填写与对数有关的概念: 其中a的取值范围是:_.,指数,对数,幂,真数,底数,a0,且a1,(2)两种常见对数:,10,lgN,e,lnN,2.对数的性质、换底公式与运算性质,0,1,N,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,3.对数函数的定义、图象与性质,y=logax,(0,+),R,(1,0),y0,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数_(a0,且a1) 互为反函数,它们的图象关于直线_对称.,y=logax,y=x,【考点自

2、测】 1.(思考)给出下列命题: logax2=2logax; 函数y=log2(x+1)是对数函数; 函数y= 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同; 若logamlogan,则mn,其中正确的命题有( ) A. B. C. D.,【解析】选B.错误,logax2=2loga|x|,错误,不符合对数函 数定义. 正确,函数y= 的定义域为(-1,1),而函数y=ln(1+x)- ln(1-x)的定义域亦为(-1,1). 错误,当a1时成立,而0a1时不成立.,2.(2013陕西高考)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.logablogcb=logc

3、a B.logablogca=logcb C.loga(bc)=logablogac D.loga(b+c)=logab+logac,【解析】选B.由对数的运算性质：loga(bc)=logab+logac, 可判断选项C，D错误；选项A,由对数的换底公式知，logablogcb=logca lg2b=lg2a,此式不恒 成立，故错误;对选项B,由对数的换底公式知，logablogca 故恒成立.,3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 ( ) A.y=cos2x,xR B.y=log2|x|,xR且x0 C.y= ,xR D.y=x3+1,xR 【解析】选B.y=log

4、2x(x0)是增函数, 又y=log2|x|,xR且x0的图象关于y轴对称,故是偶函数.,4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于( ) A. B.2x-2 C. D.log2x 【解析】选D.由题意知f(x)=logax,又f(2)=1, 所以loga2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x.,5.(2014长沙模拟)已知 则( ) A.abc B.bac C.acb D.cab,【解析】选C. 如图所示，结合指数函数的单调性可知选项C正确.,6.(2013四川高考)lg +lg 的值是_. 【解析】 答案：1,考点1 对数的运算 【典

5、例1】(1)(2014威海模拟)定义在R上的函数f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x(-1,0)时，f(x)=2x+ , 则f(log220)=( ) A.1 B. C.-1 D.- (2) lg 25+lg 2-lg -log29log32的值是_.,【解题视点】(1)根据函数的性质及对数运算性质将待求值调节到(-1,0)上求值. (2)根据对数运算性质进行计算.,【规范解答】(1)选C.由f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),可知 函数为奇函数，且f(x+4)=f(x),所以函数的周期为4，4log2205,0log220-41,即log22

6、0-4=log2 . 所以f(log220)=f(log220-4)=f(log2 ) =-f(-log2 )=-f(log2 )， 因为-1log2 0,所以f(log2 )= 所以f(log220)=-f(log2 )=-1. (2)原式=lg 5+lg 2-lg 10 -2log23log32=1+ -2=- . 答案：-,【规律方法】对数运算的一般策略 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒:在运

7、算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.,【变式训练】(2014济南模拟)设函数f(x)= 则f(f(-1)=_. 【解析】f(-1)=2-1= ,所以f(f(-1)=f( )=log2 =-1. 答案：-1,【加固训练】 1.(2013宝鸡模拟)计算:(lg2)2+lg2lg5+lg5= . 【解析】原式=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1. 答案:1,2.(2014保定模拟)设2a=5b=m，且 =2，则m=_. 【解析】因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m, 所以 =logm2+logm5=logm10=2, 所以m2=10,m= . 答案：,3.已知

8、loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【解析】因为loga2=m,loga3=n, 所以am=2,an=3, 所以a2m+n=(am)2an=223=12.,考点2 对数函数的图象及其应用 【典例2】(1)(2014大连模拟)已知lga+lgb=0(a0且a1, b0且b1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是( ),(2)(2014南京模拟)已知实数a0,f(x)= 若方程f(x)=- a2有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数a的取值范围是_. 【解题视点】(1)根据条件将b用a表示,进而根据f(x)=ax与g(x)=-logbx的解析式关系确定图象

9、. (2)作出函数y=f(x)+ a2的图象,数形结合求解.,【规范解答】(1)选B.因为lg a+lg b=0，即lg ab=0,所以ab=1, 得b= ,故g(x)=-logbx=-log x=logax, 则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，结合图 象知，B正确.,(2)根据题意，作出函数y=f(x)+ 的图象， 发现：当x1时，函数的图象是由y= log x的图象向上平移 个单位而 得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而x1时的图象是抛物线的一部分，各段图象如图，,若方程f(x)=- 有且仅有两个不等实根，且较大实根大于 2，则有： 解得 即 a2,所

10、以实数a的取值范围是( ，2. 答案：( ，2,【互动探究】若本例(2)中的条件变为：“已知函数f(x)= 且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根”,则实数 a的范围如何？ 【解析】当x0时，02x1,由图象可知方程f(x)-a=0有两 个实根，即y=f(x)与y=a的图象有两个交点，所以由图象可知 0a1.,【易错警示】注意图象的准确性 利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式等问题时切记图象的范围、形状一定要准确,否则数形结合时将误解.,【规律方法】利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域

11、(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.,【变式训练】(1)(2014郑州模拟)当0x 时，4xlogax, 则a的取值范围是( ) A.(0， ) B.( ，1) C.(1， ) D.( ，2),【解析】选B.由04x0, 可得0 . 综上，可得a的取值范围是( ，1).,(2)函数y=log2|x+1|的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 【解析】作出函数y=log2x的图象,再将 其关于y轴对称,两支共同组成函数y= log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单 位长度就能得到函数y=log2|x+1|

12、的图 象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为 (-,-1),单调递增区间为(-1,+). 答案:(-,-1) (-1,+),【加固训练】 1.已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log5x,直线y=a(ax3 x2,故选A.,2.(2014太原模拟)已知函数 若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围 是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24),【解析】选C.作出f(x)的大致图象. 不妨设abc,因为a,b,c互不相等, 且f(a)=f(b)=f(c),由函数的图象 可知10c

13、12, 且|lga|=|lgb|,因为ab, 所以lga=-lgb,可得ab=1, 所以abc=c(10,12),故选C.,3.(2014兰州模拟)已知函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)=f(x),且当x-1,1时,f(x)=x2,则y=f(x)与y=log7x的图象的交点的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以T=2,又因为x-1,1时,f(x)=x2,利用图象法分别作出y=f(x)与y=log7x的图象可得有6个交点,故选D.,考点3 对数函数的性质及其应用 【考情】对数函数的性质为高考考查函数部分的一个重要亮点,常以选择、填空题

14、的形式出现,考查比较对数值的大小,解简单的对数不等式,判断对数型函数单调性(区间)、奇偶性以及求对数型函数最值(值域)等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013新课标全国卷)设a=log36,b=log510, c=log714,则( ) A.cba B.bca C.acb D.abc (2)(2014衡水模拟)关于函数f(x)=lg (x0),有下列 命题: 其图象关于y轴对称; 当x0时,f(x)是增函数;当x0时,f(x)是减函数; f(x)的最小值是lg2; f(x)在区间(-1,0)和(1,+)上是增函数,其中所有正确结 论的序号是 .,【解题视点】(1)先运用对数运算性

15、质将a,b,c化简,分离出1后,再利用单调性比较同底数对数值的大小. (2)根据求解一般函数奇偶性、单调性、最值的方法求解. 【规范解答】(1)选D.由题意知：a=log36=1+log32= b=log510=1+log52=1+ c=log714=1+log72=1+ 因为log23log25log27，所以abc,故选D.,(2)因为函数f(-x)= =f(x),所以函数为偶函数， 所以，图象关于y轴对称，所以正确.因为函数f(x)= ，在(0，+)上不单调，所以函数f(x)= 也不单调，所以错误.因为 2,所以f(x)lg 2,最小值为lg 2,所以正确.因为在区 间(-1，0)和(1，+)上， 递增，所以函数f(x) = 在区间(-1，0)和(1，+)上也是增函数，所 以正确，所以正确的结论为. 答案：,【通关锦囊】,【特别提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.,【通关题组】 1.(2014济南模拟)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A.y=2|x| B.y=lg(x+ ) C.y=2x+2-x D.y=lg 【解析】选