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1、12 力矩分配法,本章内容 本章介绍力矩分配法的基本概念，以及用力矩分配法计算连续梁和用力矩分配法计算刚架。另对计算超静定结构的其他渐近法，如迭代法、附加链杆件法和无剪力分配法等，也作一简单介绍。,12.1 力矩分配法基本概念 12.2 用力矩分配法计算连续梁 12.3 用力矩分配法计算无结点线位移刚度 12.4 计算超静定结构的其他渐近线简介,12 力矩分配法,第一节 力矩分配法的基本概念,计算超静定结构用力法或位移法，都需要建立并求解典型方程。而某些超静定结构用力矩分配法计算，如无结点线位移连续梁和无结点线位移刚架（又称为无侧移刚架）的计算，就不需要建立并求解典型方程。而是通过结构简图或列
2、表直接进行计算，即可求得各杆件的杆端弯矩。换句话说，这种方法用于某些简单的超静定结构的内力计算较为简单便捷，故在工程设计中常被采用。,所谓力矩分配法，也就是以位移法为基础的逐次渐近地求结构结点力矩数值的一种方法。在力矩分配法中，反复要用到的杆端弯矩的正负号，而其规定与位移法相同，即对杆端而言，弯矩以顺时针转向为正，反之为负；对结点而言，弯矩以逆时针转向为正，反之为负。关于结点角位移的正负号规定，则以顺时针转向为正，反之为负。这里，首先介绍力矩分配法中要使用的几个名词术语。,第一节 力矩分配法的基本概念,一、转动刚度,如图12-1a所示,杆件的A端为圆柱铰链支座，B端为固定端支座。当使A端产生单
3、位角位移 =1时，在A端所需施加的力矩称为杆AB在A端的转动刚度，用SAB表示，其中第一个下标代表施力的一端或称近端，第二个下标代表远离施力端的另一端或称远端。,第一节 力矩分配法的基本概念,因杆端的位移与杆件的受力情况有关，故图12-1a所示杆件的变形与受力，和图12-1b所示的两端为固定端的杆件A端产生单位角位移 =1时的情况相同。这样，图11-1a中杆件A端的转动刚度SAB，即为图12-1b中A端的杆端弯矩MAB。,第一节 力矩分配法的基本概念,对于等截面直杆，由表10-1可知，MAB= = 4i。因此，图12-1a所示杆件的A端的转动刚度SAB=4i。进一步由表10-1可以看出，杆件近
4、端的杆端弯矩MAB的大小与远端的约束情况有关。或者说，转动刚度SAB的大小与远端的约束情况有关。当远端的约束情况不同时，其近端的转动刚度也将不同，如表12-1所示。还有，杆端的转动刚度还与杆件的线刚度i有关。杆件的i值越大，杆端的转动刚度也越大，就是使杆端产生单位角位移所需施加的力矩越大。可以说，杆端的转动刚度表示了杆端抵抗转动变形的能力。,第一节 力矩分配法的基本概念,二、分配系数与分配弯矩,如图12-2a所示，一个由等截面直杆组成的刚架，只有一个刚结点1。今在刚结点1处，作用一个顺时针方向的力偶矩为M的外力偶。在不考虑轴向变形的情况下，此外力只能引起刚结点1转动而不能移动，亦即汇交在刚结点
5、1处的各杆件的1端将产生相同的角位移 ，随之各杆件将在1端产生杆端弯矩。,第一节 力矩分配法的基本概念,根据转动刚度的定义，这些杆件的杆端弯矩的大小应为,然后由图12-2b所示刚结点1的力矩平衡条件，得,a),第一节 力矩分配法的基本概念,MM12+ M13+ M14+ M15（S12+ S13+ S14+ S15）,亦即角位移 1为,式中，S1为汇交于刚结点1的各杆件的转动刚度之和。将以上得到的 1代入式（a），即有,第一节 力矩分配法的基本概念,（b）,式（b）表明，各杆件近端所产生的杆件端弯矩与该杆件的转动刚度成正比。在此，设,（12-1）,第一节 力矩分配法的基本概念,式中的1j称为各
6、杆件近端的分配系数，也就是各杆件近端转动刚度与结点所联结各杆端的转动刚度之和的比值。汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之和应等于1，即,112+13+14+151,这一结论也可用来校核杆端的分配系数的计算是否正确。根据式（12-1），式（b）也可综合写成,M1j1jM,（12-2）,第一节 力矩分配法的基本概念,由上可见，作用于刚结点1的外力偶的力偶矩M，是按各杆杆端的分配系数大小分配给各杆件的近端。因此，杆端弯矩M1j又称为分配弯矩。,第一节 力矩分配法的基本概念,三、传递系数与传递弯矩,在图12-2a中，当一个力偶矩为M的外力偶作用于刚结点1时，刚结点1将产生角位移 1，从而使得各杆件的近
7、端和远端都产生了弯矩。这里，把杆件的远端弯矩与近端弯矩的比值，称为杆件由近端向远端传递的传递系数，用C1j示之，即,第一节 力矩分配法的基本概念,杆件的远端弯矩Mj1又称为传递弯矩。若已知杆件的近端弯矩，则由传递系数可得出其传递弯矩为,对于图12-2a所示刚架中的远端为固定端支座的杆件12来说，因产生角位移 而引起的近端弯矩（分配弯矩）和远端弯矩（传递弯矩），均可由表10-1给出的一系列等截面单跨超静定梁的杆端弯矩中查出，它们分别是,第一节 力矩分配法的基本概念,，,由此，得杆件12由近端1向远端2传递的传递系数C12为,第一节 力矩分配法的基本概念,对于其余杆件13、14、15，因产生角位移
8、1而引起的杆端弯矩，也可由表10-1查出，而得到相应的每一近端向远端传递的传递系数，分别为,远端为定向支座时：,远端为活动链杆支座时：,远端为固定铰链支座时：,第一节 力矩分配法的基本概念,综上所述，杆件由近端向远端传递的传递系数C随远端的支座情况而异，但与外界的其他作用无关。对于等截面直杆来说，在各种支座情况下的传递系数可归为以下三种，即,远端固定：,远端定向：C1,远端铰支：C0,第一节 力矩分配法的基本概念,对于图12-2a所示的只有一个刚结点的结构，因在刚结点处只承受了一个力偶矩为M的外力偶的作用，故在该刚结点处只产生一角位移1。角位移1的计算过程可分两步进行：首先，借各杆件的分配系数
9、求出靠近各杆件结点的弯矩，亦即杆件的近端弯矩，这一步称力矩的分配过程；然后，再将近端弯矩乘以传递系数求出杆件的远端弯矩，而这一步称为力矩的传递过程。这样在经过分配和传递两个过程后，就可以求出各杆件的杆端弯矩，而不需要建立并求解典型方程。以上所述，即阐明了力矩分配法的基本概念。,第一节 力矩分配法的基本概念,第二节 用力矩分配法计算连续梁,对于承受一般荷载作用的并且只具有一个刚结点的连续梁结构，就可以利用力矩分配法来进行计算。如图12-3a所示的连续梁，在图示集中力F p的作用下，其变形曲线如图中虚线所示。）。,计算此连续梁时，先在其刚结点B上加一个附加刚臂，即相当于将刚结点B固定而约束住它的角
10、位移。这样也就得到了一个由单跨超静定梁组成的可用力矩分配法进行计算的基本结构（图12-3b）,第二节 用力矩分配法计算连续梁,然后把原结构承受的荷载作用在基本结构上，这时各单跨超静定梁将产生固端弯矩。可以看出，在基本结构上，梁BC因无荷载作用，故 =0。而在刚结点B处，因各梁的固端弯矩不能互相平衡，故在附加刚臂上必产生约束力矩 ，其值可由图12-3b所示的刚结点B的力矩平衡条件求得，即,第二节 用力矩分配法计算连续梁,约束力矩 在这里又称为刚结点B的不平衡力矩，它的大小等于汇交于该结点的各单跨超静定梁的杆端固端弯矩的代数和，其方向以顺时针方向为正。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,实际上，在原
11、结构的刚结点B上并无附加刚臂，自然也没有约束力矩的作用。因此，在图12-3b中，结构的杆端弯矩也并非原结构在实际状态下的杆端弯矩，应当予以消除。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,采取的办法是，通过不断修正杆端弯矩来消除刚结点B上的不平衡力矩的附加作用，最终使结构恢复到原来的平衡状态。为此，在刚结点B处再附加一个外力偶，使其大小等于不平衡力矩 ，而方向与 的方向相反（图12-3c）。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,然后，将图12-3b和图12-3c所示两种情况下的杆端弯矩相叠加，这样就消除了不平衡力矩 的附加作用，也就是相当于将刚结点B放松，从而消除附加刚臂的约束作用，结构也就返回到了图12-
12、3a所示的原来的平衡状态。这里，在将12-3b和图12-3c所示两种情况下的杆端弯矩相叠加时，即得到了我们所要求的杆端弯矩。如梁AB的B端杆端弯矩为 ，等等。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,须注意，对于图12-3c中各梁的杆端弯矩的计算仍按前述方法进行。但对于刚结点B，在用式（12-2）计算分配弯矩时，应将式（12-2）中的M值代之以反方向的不平衡力矩值 ，即M= 。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,归纳一下力矩分配法的计算要点，即：首先加上附加刚臂固定刚结点B，形成结构的固定状态，而把原结构分成了若干个单跨超静定梁，此时可查表10-1求得各梁的固端弯矩，而汇交于刚结点处的各固定端弯矩的代数
13、和，即为该刚结点的不平衡力矩 ；接下来，由式（12-1）计算出汇交于刚结点B各梁的分配系数，代入式（12-2）即得到不平衡力矩后再反号，也就是将 乘以各梁的杆端分配系数即得到梁近端的分配弯矩；然后由式（12-3）将分配弯矩乘以传递系数而得出远端的传递弯矩；最后将各梁的杆端弯矩，包括固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相叠加，就可以求到连续梁结构中各梁最后的杆端弯矩。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,可见，具有一个刚结点的连续梁结构，用力矩分配法计算其内力简便、直观，易于掌握，而且也能得到较为精确的结果。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,【例12-1】 试用力矩分配法计算图11-4a所示两跨连续梁的内力
14、，并画出梁的内力图。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,解： （1）计算刚结点B处汇交各梁的杆端分配系数。由表12-1计算得杆端转动刚度为,再由式（12-1）得分配系数为,第二节 用力矩分配法计算连续梁,可见，刚结点B处汇交各梁的杆端分配系数之和 。而杆件的传递系数为CBA0，CBC0.5。,（2）由表10-1计算得各梁的固端弯矩为,第二节 用力矩分配法计算连续梁,对于力矩分配法的整个计算，同时还要在连续梁简图下辅助一表格，然后将以上计算得到的固端弯矩记入表格的第四栏，即得到刚结点B的不平衡力矩为,18010080kNm,（3）计算杆端的分配弯矩及相应的传递弯矩。进行杆端的力矩分配，是将刚结点B
15、处的不平衡力矩 乘以分配系数后再反号，从而得到各梁的杆端分配弯矩为,第二节 用力矩分配法计算连续梁,MBA0.5(80) kNm 40kNm MBC0.5(80) kNm 40kNm,相应的传递弯矩为,MAB MBA00 MCB MBC0.520kNm,将以上计算结果记入题目简图下对应列出的表格内，同时在刚结点B的分配弯矩值下划一横线，表示该结点的力矩已实现平衡；接下来，自分配弯矩向传递弯矩之间划一箭头，表明弯矩的传递方向。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,（4）计算最后杆端弯矩。将以上得到的各梁杆端弯矩予以代数相加，便得到连续梁的最后杆端弯矩，并记入表格的最后一栏内。,由表格内的最后一栏可以
16、看出，刚结点B的最后杆端弯矩有140103（140103）=0，说明这两个弯矩值恰好满足刚结点B的平衡条件MB=0。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,（5）根据以上所求得的最后杆端弯矩，画出连续梁的弯矩图如图12-4b所示。,第二节 用力矩分配法计算连续梁,（6）画出图12-4d所示分离体的受力图，由其平衡条件，即可求得各梁的杆端剪力和梁的支座约束力为,第二节 用力矩分配法计算连续梁,FQAB48.33kN， FQBA71.67kN， FQBC57.50kN ，FQCB 42.50kN,FAy48.33kN()， FBy129.17kN() FCy42.50kN()，FCx0,第二节 用力矩分配法计算连续梁,由此再画出剪力图如图12-4c所示。,第二节
