反证法

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1、2.2.2 反证法,直接证明：,(1)综合法,(2)分析法,由因导果,执果索因,思考？,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;,由A假, 知B真. 这与B假矛盾.,那么假设C没有撒谎不成立;,则C必定是在撒谎.,将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？,间接证明：,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。,反证法是一种常用的间接证明的方法。,思考？,反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题

2、成立,这样的的证明方法叫反证法。,反证法的思维方法： 正难则反,应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论 （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；,正难则反!,其过程包括：,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,常见否定用语,是不是 有没有 等不等 成立不成立 都是不都是，即至少有一个不是 都有不都有，即至少有一个没有 都不是部分或全部是

3、，即至少有一个是 唯一至少有两个 至少有一个有（是）全部没有（不是） 至少有一个不全部都,例1 已知a0，证明x的方程ax=b 有且只有一个根。,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例 2,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,连结 AD、BD、BC、AC,因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形,所以,因为 ABCD为圆内接四边形,所以,因此,所以，对角线AB、CD均为直径，,这与已知条件矛盾，即假设不成立,所以，弦AB、CD不被P平分。,用反证法证明：圆的两条不

4、是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例 2,由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有,所以，弦AB、CD不被P平分。,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,即过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，即假设不成立,证法二,OPAB，OPCD，,演练反馈,1、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形,证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。,(1)如果点D在 之内，根据假

5、设，,都为锐角三角形,所以,这与一个周角为360矛盾。,演练反馈,1、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形,(1)如果点D在 之外，根据假设，,都是锐角三角形，即,这与四边形内角和矛盾。,所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。,即这些三角形不可能都为锐角三角形。,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设 归谬 结论,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,推理,合情推理 演绎推理 （归纳、类比） （三段论）,证明,直接证明 间

6、接证明 （分析法、综合法） （反证法）,数学公理化思想,演练反馈,例1：用反证法证明： 如果ab0，那么,例4 求证： 是无理数。,作业,思考？,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - - -那么A假且B假;,由A假, 知B真. 这与B假矛盾.,那么假设C没有撒谎不成立;,则C必定是在撒谎.,思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数,甲:208个,乙:112个,丙:64个,