弹性力学-02

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1、第二章 平面问题的基本理论,要点, 建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,主 要 内 容,2-1 平面应力问题与平面应变问题,2-2 平衡微分方程,2-3 平面问题中一点的应力状态,2-4 几何方程 刚体位移,2-5 物理方程,2-6 边界条件,2-7 圣维南原理及其应用,2-8 按位移求解平面问题,2-9 按应力求解平面问题 相容方程,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,2-1 平面应力问题与平面应变问题,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。, 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘

2、，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3) 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于

3、横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。, 平面位移问题, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应

4、变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,两类平面问题：,水坝,滚柱,3. 平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,2-2 平衡微分方程,取微元体PABC（P点附近），,Z 方向取单位长度。,设P点应力已知：,体力：fx ，fy,AC面：,BC面：,注： 这里用了小变形假定，以变形前

5、的尺寸代替变形后尺寸。,由微元体PABC平衡，得,整理得：, 剪应力互等定理,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：, 超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,2-3 平面问题中一点的应力状态,1. 斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量px，py,设P点的应力分量已知

6、：,斜面AB上的应力矢量: p,斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,（2-3）,整理得：,（2-4）,外法线,同样，由,（2）斜面上的正应力与剪应力,（2-3）,（2-4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：,（2-5）,（2-6）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2） 的正负号规定：,将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。, 任意斜截面上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界S，则,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,2. 一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力

7、 ；,当 时，有,求解得：,（2-7）, 平面应力状态主应力的计算公式,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（2-7）易得：, 平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,由,得,显然有,表明：,1 与 2 互相垂直。,结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力1 、 2 。,（3）N 的主应力表示,由,1 与 2 分别为最大和最小应力。,（4）一点的最大应力与最小应

8、力：,最大、最小正应力：,由：,表明：,主应力 中，一定包含最大、最小正应力。,最大、最小剪应力：,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,前面内容回顾与小结：,基本假定：,（掌握这些假定的含义及作用）,（1）两类平面问题：,水坝,滚柱,（2）平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,（3）斜面上的应力,（2-8）,表明：1 与 2 互相垂直。,（4）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,2-4 几何方程 刚体位移,建立：平面问题中应变与位

9、移的关系, 几何方程,1. 几何方程,一点的变形,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,整理得：,几何方程,（2-9）,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 u、v 已知，则 可完全确定；,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）, 以两线段夹角减小为正，增大为负。,反之，已知 ，不能确定 u、v。,2. 刚体位移,物体无变形，只有刚体位移。 即：,(a)

10、,(b),(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，两边只能等于同一常数，即,(e),积分(e) ，得：,(f),其中，u0、v0为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(2-10), 刚体位移表达式,讨论：,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：, P点沿切向绕O点转动, 绕O点转过的角度（刚性转动）,（2-9）,几何方程：,(2-10),刚体位移表达式：,小 结：,2-5 物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程

11、。,1. 各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,（2-13）,其中：E 为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,（2-15）, 平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2), 物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,（2-16）, 平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换

12、为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,本章前面主要内容回顾：, 平面应力状态应力第一不变量,2-6 边界条件,1. 弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结 论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2. 边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界, 三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量，

13、表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,（2-17）, 平面问题的位移边界条件,说 明：,称为固定位移边界。,（2）应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界,由前面斜面的应力分析，得,式中取：,得到：,（2-18）,式中：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：, 平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说 明：,x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y = 0）：,代入边界条件公式，有,(2)

14、,BC段（x = l）：,(3),AC段（y =x tan ）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示竖柱，试写出其边界条件。,左侧面：,上侧面：,右侧面：,例5,图示竖柱，试写出其边界条件。,左侧面：,右侧面：,上侧面：,例6,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：, 平面应力问题,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得, A 点处无应力作用,在 AC、AB 边界上无面力作用，

15、即,例7,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例8,例7,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例8,上侧：,下侧：,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：, 位移边界条件, 应力边界条件,图(b)：, 位移边界条件, 应力边界条件,2-7圣维南原理,问题的提出：,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1. 静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,2.圣维南原理,(Saint-Venant Princ