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1、,3、弹性地基梁理论,3.1 概述,弹性地基梁： 是指搁置在具有一定弹性的地基上、各点与地基紧密相贴的梁。 例如：铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等等。通过这种梁将作用在它上面的荷载，分不到较大面积的地基上，即使承载力较低的地基，能承受较大的荷载，又使梁的变形减小，提高刚度降低内力。 地下建筑衬砌的计算，与弹性地基梁理论有密切的关系。,弹性地基梁理论： 弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地基梁的理论主要有以下两种。,3.1
2、概述,一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。 认为地基反力的大小仅与该点的地基沉降量成正比。按照这个假定来计算弹性地基梁，是将地基看成为无限多个各自孤立的弹簧，地基沉降只发生在梁的底面范围内（实际上，临近梁四周的地基也发生沉陷）。另外，地基反力与其沉陷量间的比例系数，是与地基类别、受压面积大小、加力的大小、加力的方向与次数有关，并不是常数，很难取得准确值。 所以，一般说来，温克尔假定不能很好的符合实际情况。但当硬地层上有一层较薄的松软土层，而梁放在松软土层上时，温克尔假定比较符合实际。,3.1 概述,二、把地基假定为半无限弹性体的共同变形理论。 所谓半无限弹性体，是指地基表面为无限平面，梁搁置
3、在上面，表面以下的地基为均质、各向同性的无线弹性体。地基的沉降量，用弹性力学方法计算。地基反力，根据梁与地基的变形协调条件求的。采用这个假定，地基某点的沉降量不仅与该点的压力有关，与其他点的压力也有关；地基沉陷不仅发生在梁的底面范围，也发生在临近四周的范围内。同时反映地基性质的是 用它的弹性模量和泊松比，他们与受压面积的大小和加力的大小无关。所以这个假定比温克尔假定能更好的反映实际情况。,3.1 概述,上述两种理论，各有优缺点，工程上都在使用，但在计算上局部变形理论更简便些。由于目前对作用在衬砌结构上的主要荷载围岩压力还没有完全认识，取值不可能准确，因此，在衬砌结构计算中，多采用局部变形理论计
4、算围岩弹性抗力，使计算简化。此外，某些工程问题，如圆柱水池、穹顶结构，尚可比拟于局部变形理论进行求解。,3.1 概述,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,在弹性地基梁局部变形理论中，除了采用温克尔假外，还认为梁的变形与地基的变形是协调的，即梁底面与地基表面始终是相贴的，没有缝隙，地基的沉陷或隆起与梁的挠度是处处相等的。另外，由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可略去不计。梁的高跨比一般很小，其变形符合平面假定，因此，在分析中可直接引用材料力学有关的梁理论的若干结论。 下面推导弹性地基梁局部变形理论的计算公式。,设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有任意荷裁，
5、其坐标、荷裁及内力的正方向如图51所示。,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边缘受拉为正，剪力： q(x)使微段反时针转为正。挠度(沉陷) y(x)向下为正，角变位x反时针转为正。地基反力p(x)向上为正。,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x)的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图51所示。由微段平衡条件得： 根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地
6、基反力p(x)与该点梁酌挠度成正比，即,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,式中 p(x)梁单位长度上的地基反力(公斤厘米)， b梁的宽度(厘米)， k比例系数，在地下建筑中称围岩弹性抗力系数 (公斤厘米3。)，其物理意义为使单位面积地 基沉陷单位深度时所需要的力。各种围岩的弹 性抗力系 数，交附表53及附表54； y(x)梁的挠度(厘米)。,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,将公式(51)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得,由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,将公式(53)代入公式(52)
7、， 并利用公式(54)后， 得弹性地基梁的挠度曲线微分方程,式中 弹性地基梁的弹性特征值(1厘米） E梁材料的弹性模量(公斤厘米2) I梁截面惯性矩(厘米4)。 方程式(55)是一个四阶常系数非齐次线性常微分式， 下面将根据荷裁性质及分布范围，讨论它的解。,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,当梁跨间无荷载时q(x)pMo， 梁的变形及内力由梁的端效应引起， 例如，图52所示情况。这时梁的挠度曲线由微分方程式(55)对应的齐次方程式求得,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,设方程式(55a)的解为yxer(ay) (其中r为常数)，代人方程式(55。)后，得
8、特征方程式,它的四个根是两对共轭复数,因此，齐次方程式(55a)的四个线性无关的解为，,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,当利用欧拉公式及双曲线函数定义时，即,这四个解可写为,3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解,2.2.1梁跨间无荷载时的解,这样齐次方程式(55a)的通解为,式中C1C4为积分常数 由梁两端的四个边界条件确定。将通解yx代入公式(53)及(54)，并利用公式(56)及下列微分关系后得,2.2.1梁跨间无荷载时的解,2.2.1梁跨间无荷载时的解,不难求得路问无荷载时，梁的变位及内力为,为了使用方便，用梁的起始端的初参数(物理量)替换式中的积分
9、常数C1lC4 ,如图52所示，取梁左端：Xo处的挠度y。、角变位。弯矩M。及剪力Q。为初参数。那么，根据这些条化并注意到：x=0时、11， 2= 3= 4=0，从公式(510)求得,2.2.1梁跨间无荷载时的解,2.2.1梁跨间无荷载时的解,将C1lC4 代入公式(510)，得梁跨间无荷哉时，变位及内力的初参数解为：,3.3 梁跨间有荷载时的解,3.3 梁跨间有荷载时的解,首先讨论集中力P的影响: 梁段上荷载 挠度曲线方程:,显然C点以右的挠度除初参数y。、 。 、M。及Q。的影响按上式考虑外，还应加上因P的影响产生的附加项yx。,集中力P对其作用点c以右部分的挠度影响，正如在C点增加一个初
10、参致p时(对C点以右部分而言)所产生的挠度。考虑到这时的坐标原点应为x=ap， 则P对其作用点C以右部分挠度影响的附加项为：,或简写为,3.3 梁跨间有荷载时的解,同理，对于集中力偶M作用点D以右的部分，应考虑以D点为坐标原点增加初参数M后的挠度影响附加项即,3.3 梁跨间有荷载时的解,分布荷载q(x)对其以右部分的挠度影响附加项 应分为两种情况讨论。一是在荷载分布范围EF内，二是在荷载分布范围以外， 分别在两区段上积分，求得分布荷载q(x) 在该二范围内引起的挠度附加项为：,3.3 梁跨间有荷载时的解,因此,梁跨间有荷载的挠曲线方程应为:,3.3 梁跨间有荷载时的解,运用相同的方法可导得各段
11、角变位、弯矩及剪力的附加项。将它们汇总，最后得弹性地基等截面直梁的变位及内力一般公式为：,3.3 梁跨间有荷载时的解,式中 y。Q。由边界条件确定的初参数，意义同前， am,ap集中力偶M及集中力P的作用点坐标；,3.3 梁跨间有荷载时的解,例: 局部梯形荷载，有,3.3 梁跨间有荷载时的解,当利用分部积分,3.3 梁跨间有荷载时的解,3.3 梁跨间有荷载时的解,3.3 梁跨间有荷载时的解,（F）,3.3 梁跨间有荷载时的解,（F）,3.3 梁跨间有荷载时的解,对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁,3.3 梁跨间有荷载时的解,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,在概述中我们提到，当地基梁的刚度很
12、大，地基抗力近似为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。 为了计算方便，我们将地基梁分为刚性梁、柔性梁（长梁）和弹性梁（短梁）三种。 定义换算长度： =l,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,短梁(又称有限长梁、弹性梁)： l2.75 一般弹性地基梁，按上述方法计算,刚性梁： 1 可认为梁是绝对刚性的，即EI，刚性梁的地基反力呈直线分布，其变位及内力可由静力平衡条件求得。 也可以把刚性梁视为短梁的特例，直接由短粱导得计算公式。此时取 0，作极限运算。因为,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,则,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,式内为正时才值取， 为负时舍去,3.4 弹性地基短梁、长梁
13、及刚性梁,长梁： =275 无限长梁：若荷载作用点距梁两端的换算长度均=275 ，可忽略该荷载对梁端的影响，这类梁称为无限长梁。 无限长梁：若荷载作用点仅距梁一端的换算长度=275 时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响 不能忽略，这类梁称为半无限长梁。无限长梁可化为两 个半无限长粱，因此，我们只讨论半无限长梁。,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,由于作用在梁上的荷载，组合方式甚多，计算上应分别对待，在此不作详细讨论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷载情形。,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,式中,因此：,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,式中,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁,3.5 弹性地基梁解的应用,例1,3.5 弹性地基梁解的应用,3.5 弹性地基梁解的应用,解得,3.5 弹性地基梁解的应用,解得,3.5 弹性地基梁解的应用,3.5 弹性地基梁解的应用,例2 无限长弹性地基梁，在O点作用集中力P， 求梁的变位及内力公式,3.5 弹性地基梁解的应用,3.5 弹性地基梁解的应用,3.5 弹性地基梁解的应用,
