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1、（2011河南）如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由解答：（1）证明：在DFC中，DFC=90，C=30，DC=2t，DF=t又AE=t，AE=DF（2分）（2）解：能理由如下：ABBC，
2、DFBC，AEDF又AE=DF，四边形AEFD为平行四边形（3分）AB=BCtan30=5=5，AC=2AB=10AD=ACDC=102t若使AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=102t，t=即当t=时，四边形AEFD为菱形（5分）（3）解：EDF=90时，四边形EBFD为矩形在RtAED中，ADE=C=30，AD=2AE即102t=2t，t=（7分）DEF=90时，由（2）知EFAD，ADE=DEF=90A=90C=60，AD=AEcos60即102t=t，t=4（9分）EFD=90时，此种情况不存在综上所述，当t=或4时，DEF为直角三角形（10分）如图，已知ABC中，AB=AC=12c
3、m，BC=10cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，CPQ是等腰三角形？解：（1），BPD与CQP是全等理由如下：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时有BP=22=4cm，AQ=42=8cm则CP=BC-BP=10-4=6cmCQ=AC-AQ=12-8=4cm （2分）D是AB的中点BD=1/2AB=1/2
4、12=6cmBP=CQ，BD=CP （3分）又ABC中，AB=ACB=C （4分）在BPD和CQP中BP=CQB=CBD=CPBPDCQP（SAS） （6分）（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP=2t，AQ=4tt的取值范围为0t3则CP=10-2t，CQ=12-4t （7分）CPQ的周长为18cm，PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4 （8分）要使CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t解得：t=1 （9分）当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t24(本小题满分14分)在ABC中，AB=BC，将ABC绕点A沿顺时针方向
5、旋转得A1B1C1，使点Cl落在直线BC上(点Cl与点C不重合)，(1)如图9一，当C60时，写出边ABl与边CB的位置关系，并加以证明；(2)当C=60时，写出边ABl与边CB的位置关系(不要求证明)；(3)当C60时，请你在图9一中用尺规作图法作出AB1C1(保留作图痕迹，不写作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立?并说明理由24解：（1） 证明：由旋转的特征可知 ， （2） （3）作图略。成立。理由与第一问类似。25、（12分）已知RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不
6、重合，如图，求证：BM=DM且BMDM；（2）如图中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力满分12分（1）证法1：在RtEBC中，M是斜边EC的中点， 在RtEDC中，M是斜边EC的中点， BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上 BMD=2ACB=90，即BMDM 证法2：证明BM=DM与证法1相同，下面证明BMDM DM=MC， EMD=2ECD BM=MC， EMB=2ECB EMDEMB =2（E
7、CDECB） ECDECB=ACB=45， BMD=2ACB=90，即BMDM （2）当ADE绕点A逆时针旋转小于45的角时，（1）中的结论成立 证明如下：证法1（利用平行四边形和全等三角形）：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点HMDBACEHF DM=MF，EM=MC， 四边形CDEF为平行四边形. DECF ，ED =CF. ED= AD, AD=CF. DECF， AHE=ACF ,， BAD=BCF.又AB= BC, ABDCBF. BD=BF，ABD=CBF. ABD+DBC =CBF+DBC，DBF=ABC =90.在Rt中，由,，得BM=
8、DM且BMDM证法2（利用旋转变换）：连结BD，将ABD绕点B逆时针旋转90，点A旋转到点C，点D旋转到点，得到，则且连结MDBACE 又， 四边形为平行四边形 D、M、三点共线，且在Rt中，由,，得BM=DM且BMDM 证法3（利用旋转变换）：连结BD，将ABD绕点B逆时针旋转90，点A旋转到点C，点D旋转到点，得到，则且连结，延长ED交AC于点H AHD= 90DAH= 90(45BAD)= 45BAD，MDBACEH 又， 四边形为平行四边形 D、M、三点共线，且在Rt中，由,，得BM=DM且BMDM 4、 （14分）如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角AOB=90，点C是上异于A
9、、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：是定值图1024（1）连结OC交DE于M，由矩形得OMCG，EMDM因为DG=HE所以EMEHDMDG得HMDG（2）DG不变，在矩形ODCE中，DEOC3，所以DG1（3）设CDx,则CE，由得CG所以所以HG31 所以3CH2所以24.（本小题满分14分）如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与G
10、H交于点P。（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若FAH=45，证明：AG+AE=FH；（3）若RtGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。24.（本小题满分14分） 解：(1) 易证ABFADH,所以AF=AH (2) 如图，将ADH绕点A顺时针旋转90度，如图，易证AFHAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE (3) 设PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得（1-x）2+（1-y）2=(x+y-1)2, 化简得xy=0.5,所以矩形EPHD的面积为0.5.2（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A
11、、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO【答案】（1）由题意得B（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25-a，图1 此时E（2b，0）SOECO
12、2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2图2此时E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3()如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，AB=，B=45，动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发，沿CDA，以同样速度向终点A运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设运动的时间为t秒（1）求线段BC的长度；（2）求在运动过程中形成的MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，MCN的面积S最大，并求出最大面积；（3）试探索：当M，N在运动过程中，MCN是否可能为等腰三角形？若可能，则求出相应的t值；若不可能，说明理由解答：解：（1）如图1，分别过A，D作AEBC，DFBC，分别交BC于E，F；EF=AD=3；B=45，AB=；BE=AE=DF=4（1分）在RtDFC中，CF=；（2分）BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）（2）如图2，当0t5时，CN=BM=t，MC=10t；过N作NG于BC于点G；NGCDFC，即；NG=；S=；，函数开口向下；当时，Smax=1
