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1、,第十章 机械振动,定义,振动：任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，称为振动；,机械振动：物体在一定位置附近作来回 往复的运动，称为机械振动。,简谐振动 ；,简谐振动合成；,阻尼振动、受迫振动、共振。,主要内容,一、简谐运动（Simple Harmonic Motion),物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式，称为简谐运动。,弹簧振子 单摆 复摆,二、基本特征,以弹簧振子为例, 振子受力是,由牛顿第二定律得,物体受力和加速度与位移 x 成正比, 且方向相反（动力学特征）,式中:,上式可以改写为微分方程形式,其解为,式中A、是待定常数，此式称为简谐运动的运动方程。,(称为角频率）
2、,位移 x 按余弦函数的规律随时间变化（运动学特征）,三、简谐运动的速度与加速度,速度：,加速度：,位移x、速度、加速度a三者与时间t 的关系如图所示。,四、描述简谐振动的物理量,2. 周期（Priod）,1. 振幅（Amplitude）,离开平衡点的最大量值的绝对值。,给出振动量的变化幅度。,注意：A、A、2A分别是位移、速度、 加速度振幅。,完成一次全振动所需的时间T，单位是秒（s）。,表示：由运动方程,简谐运动的周期是决定于系统自身的常量，又称为固有周期(natural neriod)。,3.频率（Frequency）,物体单位时间内做完全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。,表
3、示:由定义可知,式中是角频率, 单位是rads-1,频率只与振动系统自身性有关,也称为固有频率(natural frequency) 。,4.相位与初相位(phase and initial phase ）,一是振动的周期性由相位来反映； 二是相位确定了振动物体运动状态。,t + 称为相位, 称为初相位，单位是rad 。,1o 相位的意义是：,2o 初相j ，由开始时刻振动物体的运动状 态决定,由运动方程可知：t = 0时刻,5. 相位差(phase fifference),两个简谐振动的相位之差称为相位差, 用j 表示,表示:,1o j 反映两振动的步调情况：,j =0（或2整数倍)，同步振
4、动,j =（或奇数倍），振动步调相反,j 0, x2振动超前; j 0, x1振动超前,2o 两振动到达同一状态的时间差是,五、旋转矢量(rotational vector),在 x 轴上的投影为:,矢径 A 与 x 轴夹角为:,x = Acos(w t+ j ),(w t + j ),以弹簧振子为例:,1o 动能与势能均为时间的函数，位相差为/2，二者可以相互转化，总能量是与时间 t 无关的恒量。,能量随时间变化,能量随空间变化,2o,考察一个周期内的动能与势能平均值,在一个周期内的平均动能与平均势能相 等，各是总能量的一半。,一、同频率同方向简谐振动合成,合振动位移 x 就是 x1 与 x
5、2 的代数和,特点: 1=2= , x1 / x2,表示: 对如下两个振动,合成结果为频率 为w 的简谐振动,由旋转矢量法得出 A、是：,则：,则：,合振幅最大,合振幅最小,当A1=A2时：,合振幅最小值是0。,合振幅最大值是2A1 ；,则A在上述两者之间。,二、相互垂直同频率简谐振动的合成,特点: 1=2= ,对如下两个振动,合成得到质点的轨迹方程是,质点沿1、3(2、4）象限直线作简谐振动。,质点轨迹正椭圆,质点轨迹是任意形状椭圆。,一、阻尼振动（damped vibration）,振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。,1. 阻尼模型,摩擦阻尼：,摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为热能,辐射阻
6、尼：,振动系统引起临近质点的振动，使系统能量逐渐向四周辐射,阻尼模型, 称为阻尼系数,条件：适用于物体低速运动情况,2. 阻尼振动方程,以弹簧振子为例,阻尼振动 微分方程,或写为,定义固有角频率0和阻尼因子，有,通解：,（1）欠阻尼振动,令,A 与 由初始条件确定,方程的解可写成,3. 三种阻尼形式,这时是准周期性振动:,由通解,两项都衰减，不是周期振动，不能往复运动。,如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。,（2）过阻尼振动,（3）临界阻尼振动,方程解, 衰减函数,临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。,三种阻尼振动比较,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,弹性力,阻尼力,驱动
7、力,二、受迫振动（forced vibration）,物体在周期性外力持续作用下发生振动，称为受迫振动，这个外力称为驱动力,以弹簧振子为例，振子受力有,则运动方程是,式中,受迫振动方程的解为,此式表明：,第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。,第二项为驱动力产生的简谐运动。,当系统达到稳定状态后，方程的解是,稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的余弦振动，其振幅和初相是,二、共振（resonance）,当驱动力频率接近或等于系统固有频率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现象称为共振，其频率称为共振频率。,由表达式,利用关系,共振频率与系统自身性质和阻尼常数有关。,相应的最大振幅和共振频率是,共
8、振危害；,共振利用。,证明：在小角度下单摆作简谐运动。,证明:,1、细线质量不计,3、阻力不计,质点重力矩：,质点动量矩：,由动量矩定理,方程的解是：,其中，单摆的周期是,1. 、 的确定：,2. (结合周期T,结合旋转矢量法) ：,3.振动方程：,4.振动合成：,5.振动能量：,一水平弹簧振子做简谐振动，振幅A=410-2m，周期T=2s，t=0时，,试分别写出这两种情况下的振动方程。,解：1 由初始条件,1 ，且向负方向运动；,2 ，且向正方向运动；,2同理：,说明：利用旋转矢量法可以更方便求解初始相位。,v0 0,v0 0,A/2,-A/2,如图：,已知一简谐振动曲线,求振动方程.,解:
9、 由图可知,t=5, x=0:,一质点作简谐振动，其振动方程 （SI），试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t=0的状态）运动到x=-0.12， 0的状态所需最短时间t。,解:由振动方程可知,一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率 ，试写出以下初始状态下的振动方程：其初始位移 ，初始速度,解：设振动方程为：,位移是振幅一半时, 动能和势能各是总能量的多少?在什么位置动能和势能各是总能量的一半?,解：（1）x = A/2代入 中,（2）,弹簧振子沿x轴做简谐振动，其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复Fm=1.2N，最大速度m=1.2 ms-1。t=0时刻的初位移是 ,且方向同x轴正方向一致。,求:1
10、振动能量; 2振动方程.,解:1,2 由初始条件,一弹簧振子沿x轴做简谐振动，已知其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复力Fm=1.2N，最大速度m=1.2ms-1.当t=0时的初位移 ,且方向同x轴正方向一致.求:1振动能量; 2振动方程.,求：全振动表达式。,一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，其方程分别为：（SI）,解：直接考察两个振动位相差：,一质点在x轴做谐振动，周期为T，当质点从A/2处运动到 A处时经历的最短时间为 A （A） T/12 （B）T/6 （C）T/8（D） T/24,解：,x,一质点沿x轴作简谐振动，振动方程 为(SI)，从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为 C s。 （A） 1/8 （B）1/4 （C）1/2 （D） 1/6,解：,一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动，其振动方程分别为 ， cm，则关于合振动有结论 B 。 （A）振幅等于1cm，初相等于 ； （B）振幅等于1cm，初相等于 ； （C）振幅等于7cm，初相等于 ； （D）振幅等于1cm，初相等于 。,10,0,一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数k25 ，如果起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求（1）振幅；（2）动能恰等于势能时的位移；（3）经过平衡位置时物体的速度。,作业1,
