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1、时间序列分析模型,时间序列分析模型简介,一、时间序列分析模型概述,1、自回归模型,2、移动平均模型,3、自回归移动平均模型,二、随机时间序列的特性分析,三、模型的识别与建立,四、模型的预测,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间 的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测.,ARMA模型有三种基本
2、类型： 自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型,一、概 述,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,1、自回归【 AR 】模型,自回归序列 ：,如果时间序列 是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为,【1】,【1】式称为 阶自回归模型，记为AR（ ）,注1：实参数 称为自回归系数，是待估参数.随机项 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。,注2：一般假定 均值为0，否则令,1 时间序列分
3、析模型【ARMA模型 】简介,记 为 步滞后算子，即 ，则模型【1】可表示为,令 ，模型可简写为,AR（ ）过程平稳的条件是滞后多项式,的根均在单位圆外，即,的根大于1,【2】,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,2、移动平均【MA】模型,移动平均序列 ：,如果时间序列 是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为,【3】,式【3】称为,阶移动平均模型，记为MA（ ）,注：实参数,为移动平均系数，是待估参数,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,引入滞后算子，并令,则模型【3】可简写为,注1：移动平均过程无条件平稳,注2：滞后多项式,的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程,
4、能相互表出，即过程可逆，,【4】,即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程,注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】,自回归移动平均序列 ：,如果时间序列,是它的当期和前期的随机误差项以及,前期值的线性函数，即可表示为,【5】,式【5】称为,阶的自回归移动平均模型，记为ARMA,注1：实参数,称为自回归系数，,为移动平均系数，,都是模型的待估参数,注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形,注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为,【6】,注4：ARMA过
5、程的平稳条件是滞后多项式,的根均在单位圆外,可逆条件是滞后多项式,的根都在单位圆外,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,二、随机时间序列的特性分析,1、时序特性的研究工具,（1）自相关,构成时间序列的每个序列值,相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数,表示时间序列中相隔,期的观测值之间的相关程度。,之间的简单,度量，,注1：,是样本量，,为滞后期，,代表样本数据的算术平均值,注2：自相关系数,的取值范围是,且,越接近1，自相关程度越高,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,（2）偏自相关,偏自相关是指对于时间序列,，在给定,的条件下，,与,之间的条件相关关系。,其相关程度用,
6、度量，有,偏自相关系数,其中,是滞后,期的自相关系数，,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,2、时间序列的特性分析,（1）随机性,如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进行判定。 在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评价模型的优劣。,（2）平稳性,若时间序列,满足,1）对任意时间,，其均值恒为常数；,2）对任意时间,和,，其自相关系数只与时间间隔,有关，而与 的起始点无关。,那么，这个时间序列就称为平稳时间序列 。,和,1 时间序列分析模型【ARMA模型
7、】简介,序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求,在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序列通过差分可以平稳,判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序列的自相关系数,（3）季节性,时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等时间序列都具有明显的季节变化.,一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；,季度资料的时间序列，季节周期为4个季.,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,判断时间序列季节
8、性的标准为： 月度数据，考察,时的自相关系数是否,与0有显著差异；,季度数据，考察,系数是否与0有显著差异。,时的自相关,说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则存在季节性.,若自相关系数与0无显著不同，,实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况，这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误.,包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致.,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,三、模型的识别与建立,在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的自
9、相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶数,以及 （消除季节趋势性后的平稳序列）,1、自相关函数与偏自相关函数,（1）MA（,）的自相关与偏自相关函数,自协方差函数,是白噪声序列的方差,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,样本自相关函数,MA（,）序列的自相关函数,在,这种性质称为自相关函数的,步截尾性；,以后全都是0，,随着滞后期,这种特性称为偏自相关函数的拖尾性,的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，,偏自相关函数,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,（2）AR（,）序列的自相关与偏自相关函数,偏自相关函数,是,步截尾的 ；,自协方差函数,满足,自相关函
10、数,满足,它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性,（3）ARMA（,）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,2、模型的识别,自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数.,若样本自协方差函数,在,步截尾，则判断,是MA（,）序列,若样本偏自相关函数,在,步截尾，则可判断,是AR（,）序列,若,，,都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为,ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定.,在,，,是,但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是,和,的估计，要使它
11、们在某一步之后全部为0几乎是,而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于,和,不可能的，,的截尾性,只能借助于统计手段进行检验和判定。,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,（1）,的截尾性判断,对于每一个,，计算,（,一般取,左右），考察其中满足,或,的个数是否为,的68.3%或95.5%。,如果当,时，,明显地异于0，而,近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例，,则可近似地认为,在,步截尾,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,（2）,的截尾性判断,作如下假设检验：,存在某个,，使,，且,统计量,表示自由度为,的,分布,的上侧,分位数点,对于给定的显著性水平,，若,，
12、则认为,样本不是来自AR（,）模型 ；,，可认为,样本来自AR（,）模型 。,注：实际中，此判断方法比较粗糙，还不能定阶，目前流行的方法是H.Akaike,信息定阶准则（AIC）,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,（3）AIC准则确定模型的阶数,AIC定阶准则：,是模型的未知参数的总数,是用某种方法得到的方差,的估计,为样本大小，则定义AIC准则函数,用AIC准则定阶是指在,的一定变化范围内，寻求使得,最小的点,作为,的估计。,AR（,）模型 ：,ARMA,模型 ：,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,3、参数估计,在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本方法：矩估计法、逆
13、函数估计法和最小二乘估计法，这里仅介绍矩估计法,（1）AR（,）模型,白噪声序列,的方差的矩估计为,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,（2）MA（,）模型,（3）ARMA,模型的参数矩估计分三步：,i）求,的估计,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,ii）令,，则,的自协方差函数的矩估计为,iii）把,近似看作MA（,）序列，利用（2）,对MA（,）序列的参数估计方法即可,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,4、模型检验,对于给定的样本数据,AIC准则确定了模型的类型和阶数，用矩估计法确定了模型中的参数，从而建立了一个ARMA模型，来拟合真正的随机序列。但这种拟合的优
14、劣程度如何，主要应通过实际应用效果来检验，也可通过数学方法来检验。,，我们通过相关分析法和,下面介绍模型拟合的残量自相关检验，即白噪声检验：,对于ARMA模型，应逐步由ARMA（1，1），ARMA（2，1），ARMA（1，2），ARMA（2，2），依次求出参数估计，对AR（,）和MA（,）模型，先由,和,初步定阶，再求参数估计。,的截尾性,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,一般地，对ARMA,模型,取初值,和,它们均值为0），可递推得到残量估计,现作假设检验：,（可取它们等于0，因为,是来自白噪声的样本,令,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,其中,取,左右。,则当,成立时，
15、,服从自由度为,的,分布。,对给定的显著性水平,，若,，则拒绝,，即模型与原随机序列之间拟合得不好，,，则认为模型与原随机序列之间拟合,需重新考虑,得较好，模型检验被通过。,建模；若,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,四、模型的预测,若模型经检验是合适的，也符合实际意义，可用作短期预测.,B-J方法采用L步预测，即根据已知,个时刻的序列观测值,，对未来的,个时刻的序列值做出估计，,线性最小方差预测是常用的一种方法.,误差的方差达到最小.,其主要思想是使预测,若,表示用模型做的L步平稳线性,最小方差预测，那么，预测误差,并使,达到最小.,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,1、AR（,）序列预测,模型（1）：,的L步预测值为,其中,（,）,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,2、MA（,）的预测,对模型（3）：,当,时，由于,可见所有白噪声的时刻都大于,，故与历史取值无关，,；,从而,当,时，各步预测值可写成矩阵形式：,1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介,递推时，初值,均取为0。,
