《2017-2018北京西城161高三上期中数学（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018北京西城161高三上期中数学（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得， ，所以。选：A。2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）A. 直线、直线 B. 圆、圆 C. 直线、圆 D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。选D。3.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由条件得，所以。选A。 4.若非零平面向量，满足，则（
2、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由得，所以，整理得，所以。选D。5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为。选D。6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【
3、解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。选B。7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】抛物线方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为。如图，设，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，。将代入得，点的坐标为。直线AB的方程为，即，将代入直线AB的方程整理得，解得或（舍去），。在中，,。选C。点睛：与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，特别是与焦点弦有关的问题更是这样，“看到准
4、线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度8.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格能正确表示上述供求关系的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为当产品价格P1低于均衡价格P0时，
5、需求量大于供应量，故可排除A、D；且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除C，选B。点睛：本题属于识图的问题，解题的关键是读懂题意、看准图形，解答本题时容易出错，其中的原因就是对图形和题意的不理解。解题时要注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析时应由y轴分析x轴，并借助排除法求解二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为_【答案】【解析】依题意可得圆心到直线的距离相等，所以圆心在于这两条直线平行且与这两直线距离相等的直线上。而圆心在直线上，所以圆心是直线和的交点，而半径长为直线到直线的距离，所以圆方程为10.的展开
6、式中，的系数是_（用数字填写答案）【答案】【解析】二项式展开式的通项为，令得。故的系数为。答案：11.双曲线的右焦点坐标为_，过右焦点且平行于该双曲线渐近线的直线方程是_【答案】 (1). (2). 或【解析】由题意知，所以双曲线的右焦点坐标为；又双曲线的渐近线方程为，故过右焦点且平行于该双曲线渐近线的直线方程为，即或.答案：(1). (2). 或。12.函数的图象如图所示，则_，_ 【答案】 (1). (2). 【解析】由图象知函数的周期，所以，。因为点在函数图象上，故，。又，所以。答案：(1). (2). 13.已知若函数只有一个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】因为只有一个零点，所以
7、方程只有一个实数根，设,则两函数的图象只有一个公共点。画出函数y=f(x)的图象(图中红线部分)和直线y=k(x1)(图中蓝线部分)，其中直线y=k(x1)经过定点(1,0)，斜率为k.因为当0x1时,；当时, ，结合图象可得当两图象只有一个公共点时，斜率应满足或。故的取值范围为。答案：.点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理；（2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线y=k(x1)经过定点(1,0)等。
8、14.已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线：；其中，是型曲线的有_【答案】【解析】对于，由条件知点在直线外，且点到直线的距离为。则在直线上必存在两点，使得为正三角形，且。故是型曲线。对于，曲线表示圆在第二象限内的部分。曲线与两坐标轴的交点分别为，此时弧长，最长的弦长为，故不可能是正三角形，所以不是型曲线。对于，曲线表示双曲线在第四象限的部分，若上存在两点，使得为正三角形，根据对称性可得两点连线的斜率为1，设直线的方程为,由题意知，点A到直线BC的距离为直线被曲线所截弦长的倍，列方程可解得（舍去）。所以是型曲线。点睛：本题是新定义问题，考查学生的阅读理解和即时应用
9、的能力，此类问题的综合性较强，涉及的内容较多，运算量较大。解题的关键是读懂题目的意思，并且能够把所要解决的问题进行转化，利用代数运算或借助于图形的直观性去解决。三、解答题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.已知为锐角，且（I）求的值（）求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式及条件得到关于的方程，解方程即可；（2）化简得，由可得，结合可求得。试题解析：（），（），又为锐角，16.某单位有车牌尾号为的汽车和尾号为的汽车，两车分属于两个独立业务部分对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，车日出车频率，车日出车频率该地区汽车限
10、行规定如下：车尾号和和和和和限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且，两车出车相互独立（I）求该单位在星期一恰好出车一台的概率（II）设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先确定事件：星期一恰好出车A,不出车B; 星期一恰好出车B,不出车A;两者相互对立，故概率为（2）先确定随机变量取值为0，1，2，3，再分别求各个概率：先求，再求，然后列表得分布列，根据公式求数学期望试题解析：解：（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，由已知可得，设该单位在星期一恰好出一台车的事件
11、为，则，最后求所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.（2）的取值为0，1，2，3，则的分布为01230.080.320.420.18考点：古典概型概率，数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
12、第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布XB（n，p），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.17.如下图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点（I）求证：（II）若，分别是，的中点，求证：平面（III）若二面角的大小为，求线段的长【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】试题分析：（1）平面，又，所以面从而（2）欲证线面平行，转证即可，（3）以为原点， ， ， 分别为轴， 轴
13、， 轴建立空间直角坐标系求出法向量，带入公式即可.试题解析：（I）平面， 面， ，中， ，面面，（II）连接交于点四边形是平行四边形，是的中点又， 分别是， 的中点，且，四边形是平行四边形，又平面， 面，平面（III），且平面， ， 两两垂直。以为原点， ， ， 分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系设，则， ， ， ， ， 设平面的法向量为，故， ，则有，令，则，又平面的法向量为二面角的大小为，解得，即，点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.设函数（I）若，求函数的单调区间（II）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围（III）过坐标原点作曲线的切线，求切线的横坐标【答案】（1）减区间为，增区间为（2）（3）1【解析】试题分析：（1）求出，由可得函数的减区间，由可得函数的增区间；（2）转化成对任意恒成立求解，即对任意恒成立，求出的最小值即可；（3）设出切点，结合导数的几何意义求出过切点的切线方程，利用切线过原点可求得切点坐标。试题解析：（I）时，当，为单
