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1、 .国家教育部 数学通讯2012年第1、2期（上半月）. .辅教导学.本文发表于（中国教育部主管）（华中师范大学主办）数学通讯（上半月刊）2012年第1.2期与单调性概念有关的几个疑惑 吴享平（福建省厦门第一中学）邮编 函数的单调性是函数的一个重要性质，也是高考的热点与重点考查对象之一，几乎每份高考试卷都有相关的试题，在平时的学习中，由于对单调性概念理解不深透，存在这样或那样的疑惑，考试时总是产生这样或者那样的错误，本文结合平时教学过程中同学常产生的几个疑惑展开分析，希望能给同学们带来帮助与启发。. “函数有单调区间”与“函数是单调函数”有何不同？这是两个不同的概念，“函数有单调区间”是指“只
2、要在的定义域上能找到一个区间，使在此区间上具有单调性（单调递增或单调递减）便可”；而“函数是单调函数”是指“在自己的整个定义域上要具有单调性（单调递增或单调递减）”，它包括两层含义，即的定义域只能是一个连续的区间且在这个连续的区间上具有单调性，如有单调区间（递增区间为；递减区间为），但它不是单调函数；而函数是一个单调函数，而且是单调增函数。这一对概念的考查，在年四川高考文理科卷的第题都有体现。. “函数在区间I上单调”与“函数的单调区间是I”有何不同？“函数在区间I上单调”只要求函数在区间I上具的这种单调性便可，对于区间I的外围没有任何要求；然而，对于“函数的单调区间是I”不仅要求函数在区间I
3、上具的这种单调性，而且要求区间I的端点外围具有与区间内有着相异的单调性或者在区间端点或端点外围没有定义。请看下例。例.已知二次函数，（）.若函数在区间单调递减，求实数m的取值集合；（）.若函数的递减区间是求实数m的取值集合。有同学认为（），（）两小题没有区别，事实上，只要我们稍加思考就能发现其不同，“函数在区间单调递减”推不出“函数的递减区间为”；但“函数的递减区间为”一定可以推出“函数在区间单调递减”，因此，“函数在区间单调递减”是“函数的递减区间为”的必要非充分条件。解：（）.由二次函数在区间单调递减，所以的图象开口应该朝上，且其对称轴，即实数m的取值集合为；（） .由二次函数的递减区间为
4、得实数m的取值集合为练习：已知函数，（）.若在上单调递减，求实数a的取值集合；（）.若函数的递减区间是，求实数a的取值集合。（）答：；（）答：.为什么两个同增（或同减）的单调区间不能用并集符号“”连结？ 对这一问题应从以下两种情况来探讨 .、当两个具有相同单调性的单调区间不相连时，如的定义域为，其定义域由两个不相连的区间组成，而教材对单调性的定义的前提是“函数在其定义域的一个区间上，满足.”,因此，单调性是对函数定义域的一个连续区间上进行研究的，所以它揭示的是其定义域每个连续区间上的局部特性，故而不能用并集符号“”连结，所以函数的递减区间应该表示为，而不能表示为；.、当两个具有相同单调性的区间
5、相连时，如函数，作出其图象易得函数在区间和上都单调递增，能否得到的增区间为呢？事实上，假设函数的单调增区间为，由单调性定义知：应该对且时，都有成立，然而，取时，却有，所以函数的单调增区间应该表示为和。由此，我们容易明确以下证法的错误所在。例.用定义法证明是R上的减函数。错证：）设时，所以在上递减；）设时，所以在上递减；综上述）、）得在R上递减。以上证法只要稍做改动，即只要把“）设时”，改为“）设时”其证法就是正确的，因为，若时，由）、）可得，。下面再给出例的另一正确证法 证明：且时，所以在上递减。 由此，我们可得如下结论性质.如果函数在区间和上都单调递增（或都单调递减），那么函数在区间上单调递
6、增（或单调递减）。证明:且时,).当或时，由函数在区间和上都单调递增（或都单调递减），（），）当且时，即有（）且时,都有（）成立，所以，函数在区间上单调递增（或单调递减）。练习：设函数，（）当m=1时，如果在区间上递增，求实数a的取值范围；（）如果函数在区间上递减，求m的取值范围。答：（）.；（）.非连续函数“断点处”的单调区间该如何处理？.、当“断点处”无定义时，同以上.；.、当“断点处”有定义时，如下例例.已知函数，（）若函数的单调递减区间为R，求实数a的取值范围;（）若函数的单调递减区间为和，求实数a的取值范围;（）若函数的单调递减区间为和，求实数a的取值范围；（）若函数的单调递减区间为
7、和，求实数a的取值范围.解：由在x=1处的左极限；在x=1处的右极限；由数形结合易得如下结果：（） 由函数的单调递减区间为R得；（）由函数的单调递减区间为和得；（）由函数的单调递减区间为和可得；同理可得满足（）的实数a。在此意义上可知，函数的单调递增区间是不同的，函数的单调递增区间应该表示为，而函数的单调递增区间应该表示为，有的课外参考书中将这两函数的单调递增区间统一都用来表示，笔者认为有违被“函数单调区间”这一概念的严密性。由此，我们可得如下结论性质：已知x=b是函数的一个有定义的不连续点，函数在区间和上都单调递增（或都单调递减），且，如果时，那么函数在区间上单调递增（或单调递减）。（证明与
8、性质类似，本文从略）练习：已知函数是上的减函数，求实数a的取值范围。答： .为什么“已知可导函数在区间上单调”其导函数的值可以为零？由于“可导函数在区间上的导数恒成立”只是“函数在区间上为增函数（或减函数）”的充分非必要条件，如：函数在上递增，其导函数在x0的函数值为，一般地，如果可导函数在区间I上满足恒成立，且在区间I上不存在任何区间段使恒成立，那么函数在区间I是增函数（或减函数）；反之，如果可导函数在区间I上是增函数（或减函数），那么函数在区间I上满足恒成立，且可以有解，但在区间I上不存在任何区间段使恒成立。例.已知函数在区间上是减函数，问是否存在最大值与最小值？如果存在，求出其最值；如果
9、不存在，说明理由。解：依题意知在区间上恒成立（注：不要误认为在区间上恒成立，否则便得出错误的结果），即只要，令，通过线性规划易得，当且仅当时,，有最大值且最大值为；没有最小值。练习：已知函数在区间上具有单调性，求实数m的取值范围答：.为什么用“判别式方法”所得结果是错误的？例.已知函数是增函数，求实数a的取值范围。解1：由函数是增函数，恒成立，又，只要恒成立，于是可得 解2：由函数是增函数且定义域为，在上恒成立，即在恒成立，构造函数，）、当时，在区间上递减；）、当时，在区间上递增，.两种解法结果不同，必然有错，错误何在呢？我们先看解，在解中“只要恒成立，”这里的“恒成立”是指在上的恒成立，而不是R上恒成立，而解错误的把当成在全体实数R上恒成立来求解，显然其所得结果是错误的，事实上，应该是在上的恒成立，于是，我们记，又因为当时，在不可能恒小于等于，所以只能是a0,于是可得.练习：已知函数在是增函数，求实数a的取值范围。答：7.辅教导学
