波形与频谱分析(第一章)

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1、2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,现代测试系统 分析、建模与仿真,自动化学院 测控技术技术系,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,第一章 波形、频谱与随机过程分析,信息产业的三大支柱： 1. 信息获取（传感器、仪器：量值信息） 2. 信息传递（通讯设备） 3. 信息处理（计算机） 本课程主要是研究 “信息处理” 问题。 波形、频谱与随机信号处理是现代信息处理 技术的主要内容之一,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,1.1.1 观测数据的波形与频谱 1.波形：时间 横坐标、物理观测量（幅值） 纵坐 标，得到一种变化的图形，称之为时域波形；,1.1 波形与频谱的基本

2、概念,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,2.频谱：频率 横坐标、经数学变换后的物理观测量 （如：幅值、相位、功率） 纵坐标，得到一种变化的图 形或谱线，称之为频谱。 3.波形分析：一般是指对观测信号在时间域和幅值域里 进行分析 ，以得到描述观测信号的各种特征或关系 。 例如： 波形的起始时间与持续时间 波形的时间滞后 波形的畸变 波形与波形之间的相似程度 4.频谱分析：是对观测信号在频率域内进行分析，得 到 ： 幅值谱/相位谱， 功率谱 ， 互谱密度等分析 结果。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,5.波形与频谱的关系：波形分析 频谱分析，即 式中，X()是 x(t)的

3、傅立叶变换， x(t)是 X()的傅立叶 逆变换。 图1-1直观地表示了时间域和在频率域观测信号之间的 有机联系。,谱分析的数学工具,傅立叶级数,傅立叶积分,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析, 绝大多数观测中是看不到真实波形的； 实际观测到的波形无法与真实波形进行比较。 这样就可能把已 “扭曲”的测试数据当作结果加以应用！ 因此，未经分析处理、修正反演而简单地根据测试波形 直接求得的结果，往往会产生很大的误差，有时甚至会得出 错误的结果。 波形的分析与处理的目的之一就是要避免出现这种情 况。,观测波形,失真,畸变,哈哈镜,2019/5/

4、21,波形、频谱与随机信号分析,1.1.2 观测数据的类型与描述,观测波形,在容差内可重复,在容差内不可重复,确定性数据,随机性数据,观测波形,周期性数据,非周期性数据,简谐周期数据,复杂周期数据,准周期数据,瞬变数据,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,1.简谐周期数据: 可用下列形式的函数来描述： （1.1.1） 式中： A 振幅； f0 =1/ T 频率，表示波在单位时间内的循环数； T 周期，表示正弦波完成一次循环所需的时间； 0=2f0 角频率； 相对时间原点的初始相位（弧度）。 例如:交流发电机的电压输出，偏心转子的振动 从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单

5、的形式。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,2.复杂周期数据: 可用周期时变函数表示： （1.1.2） 与简谐周期波形一样，一个波经历的时间称为周期 T， 单位时间内的循环数称为基频 f1 。显然，简谐周期波是复杂 周期波的一个特例。 复杂周期波可以展成傅立叶级数： （1.1.3）,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,式中： 复杂周期数据还可以用傅立叶级数的另一种表达形式: （1.1.4） 其中,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,如果只考虑复杂周期数据的幅值谱，则可用图1-2所示的 离散谱线来表示式（1.1.4）的幅频特性。 3.准周期数据: 准周期数据是一种

6、非周期数据，可用下 式表示为,图1-2 复杂周期数据的频谱（幅值谱）,X3,X2,X1,X0,幅值,f,f0,f1,f2,f3,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,（1.1.5） 式中，fn / fm（nm）在任何情况下都不等于有理数。 当两个或多个无关联的周期性现象混合作用时，常常会 出现准周期数据。 例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数 据。准周期数据也可用图1-2所示的离散谱线来表示它的幅值谱，其差 别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系。 4.瞬变非周期数据: 除了准周期以外的所有非周期信号 都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特 征，就是

7、它不能用离散谱来表示（连续谱）。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示 （1.1.6） 式中，| X()| 幅频特性，() 相频特性。 二者均为 连续谱。 1.2 随机过程及其数学特征,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,1.2.1 随机过程的基本数字特征,随机过程的分布函数族能完善地刻画随机过程的统计特 性，但在实际观测中，往往只能得到部分样本，用这些样本 来确定分布函数是困难的，甚至是不可能的，因而有必要引 入基本数字特征来描述随机过程的统计特性。 1.一阶矩或期望值 给定实或复随机过程 x(t)，固定 t，则 x(t)是一随机变

8、量，其一阶矩一般与 t 有关，记为 （1.2.1） 称 mx(t)为随机过程 x(t) 的均值函数或数学期望。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,2.二阶矩与相关函数 将实或复随机变量x(t)的二阶原 点矩记作 （1.2.2） 称它为随机过程 x(t)的均方值函数；而将随机过程 x(t) 的二阶中心矩分别记作 （1.2.3） 称它为随机过程 x(t)的方差函数 ；其中，x 称为均方差或 标准差，它表示随机变量 x(t)在 t 时刻相对于均值的平均偏 离程度。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,对于任意t1，t2，定义随机变量x(t1) 和x(t2)的二阶原 点混合矩（即

9、自相关函数，或简称相关函数）为 （1.2.4） 式中，x*(t2)是 x(t2)的复共轭。类似地，还可定义随机变量 x(t1)和 x(t2)的二阶中心混合矩： （1.2.5） 通常，称它为随机过程 x(t) 的自协方差函数，简称协方差 函数。 自相关函数和自协方差函数是刻画随机过程自身在两个 不同时刻的状态变量之间的统计依赖关系。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,自相关函数和协方差函数之间具有如下关系： 当 t1=t2=t 时，上式变为 类似地，两个随机过程 x(t)和 y(t)的互相关函数定 义为 （1.2.6） 而它们的互协方差函数为 （1.2.7）,2019/5/21,波形

10、、频谱与随机信号分析,其中my(t)是随机过程 y(t)的均值函数。 若两个随机过程 x(t)和 y(t)分别是为n 1和m 1 的列向量，用上标 H 表示共轭转置，则它们的自相关函数和 互相关函数可表示为 式中，Rx(t1，t2)为n n矩阵，Rxy(t1，t2)为n m 矩阵。 相应的协方差函数和互协方差函数也是矩阵函数。 3.不相关，正交，独立过程 考虑两个随机过程 x(t) 和y(t) ： 如果x(t)和y(t)是不相关的，则互协方差 函数为0，即： （1.2.8）,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析, 如果 x(t) 和 y(t) 正交，则相关函数为0，即 （1.2.9）

11、如果两个随机变量 x(t) 和 y(t) 独立，则有 （1.2.10） 其中，p(x), p(y)和 p(x，y)分别表示随机变量 x(t)，y(t)的 概率密度函数及二者的联合概率密度函数。 对于零均值随机过程不相关和正交是等价的。上述关系 很容易推广到 n 个随机过程，不赘述。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,1.2.2 平稳过程的基本数字特征,如果随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格 地说，对于某一实数域（通常是指时间域 ），如果对任意 的t1，t2，tn 和任意实数h，当 t1+h，t2+h，tn+h 时，n 维随机变量 x(t1)，x(t2)，x(tn) 和 x

12、(t1+h)，x(t2+h)，x(tn+h) 具有相同的分布函数，则称随机过程 x(t)，t 具有平稳 性，并称此过程为平稳随机过程，简称平稳过程。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,由平稳过程的定义，对于任意 t，t +T，一维随机变 量 x(t)和 x(t+)同分布。取= -t，则有 （1.2.11） 同样， x(t)的均方值函数x2 和方差函数x2 亦均为常 数。在式（1.2.4）和（1.2.5）中，令t2=t 和 t1 t2=，就有 （1.2.12） 这表明平稳过程的相关函数和协方差函数仅是时间差 = t1 t2 的函数。当x(t)为零均值平稳过程，就有,2019/5/21

13、,波形、频谱与随机信号分析,满足式（1.2.11）和（1.2.12）的随机过程称为弱平稳 过程或广义平稳过程；反之，则为非平稳过程。相对地，按 分布函数定义的平稳过程称为严格平稳过程。 类似地， 如果 Rxy(t1，t2) 只是时间差 t1 t2=的单变量 函数，记为Rxy()，则称 x(t) 和 y(t) 是平稳相关的。 平稳相关过程 x(t) 和 y(t) 的互协方差函数可写成 由上式可见，当 x(t) 和 y(t) 中有一个是零均值的，则互 相关函数和互协方差函数相等。 前面讨论的平稳和非平稳性概念，是指随机过程总体平 均特性而言的。如果可用总体中的某个样本函数的时间平均,2019/5/

14、21,波形、频谱与随机信号分析,来代替总体平均 ,即对于任意T，平稳过程 x(t) 中的第 k个样本函数xk(t)的均值和自相关函数可分别表示成 （1.2.13） （1.2.14） 则称此平稳过程具有各态历经性或遍历性（ergodicity）。 在大多数情况下，表示平稳物理现象的随机数据，一般 是近似各态历经的。因此，如果能够事先确定某随机过程是 各态历经的，则只要验证单个样本记录的平稳性，就可有效 地判定该记录所属的随机过程能否满足平稳性和遍历性。,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,1.2.3 相关函数的性质 假设 x(t) 和 y(t) 是平稳相关过程， Rx()，Ry() 和

15、 Rxy()分别是它们的自相关函数和互相关函数，则它们具有 以下五个性质: Rx(0) = Ex2(t) =x2 0，表示平稳过程 x(t) 的“平 均功率”。 Rx*(-) = Rx()； Rxy*() = Ryx(-)。 这些关系 可以从它们的定义直接得到。 关于相关函数和互相关函数有下列不等式： 根据定义和 Cauchy-Chwartz 不等式,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,可证得。 相关函数表示同一过程（或波形）相差时刻的相似程 度。在相关函数中还可以定义自相关系数（或归一化协方 差），即波形 x(t) 的协方差函数与均方差之比： （1.2.15） 互相关函数表示两个过程（或波形）相差时刻的相似 程度。定义互相关系数为 （1.2.16）,2019/5/21,波形、频谱与随机信号分析,显然, |x()| 1， |xy()|1。注意，许多教科书将 xy() 定义相关系数。 如果 x(t) 和 y(t) 不相关，根据定义式（1.2.8），则有 xy() = 0。这表明随机变量 x(t)-mx 和 y(t)-my 是正交 的，于是 即 （1.2.17） Rx()是半正定的，即对于任意数组 t1,tn 和任 意实或复值函数 g(t) 都有,2019/5/21,