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1、数学建模,微分与模糊专题,,华中农业大学数学建模基地,专题板块系列,,华中农业大学数学建模基地,模糊方法及微分方程专题,模糊微分,,华中农业大学数学建模基地,part1：微分方程,,华中农业大学数学建模基地,在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程. 在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.,,华中农业大学数学建模基地,不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解 (必要时，可以利用计算机求其数值解 )，既使得到其解
2、析解，尚有未知参数需要估计 (这时可利用第二章参数估计方法). 而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.,,华中农业大学数学建模基地,一维微分方程模型平衡点的稳定性,,华中农业大学数学建模基地,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,,华中农业大学数学建模基地,易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为,关于x0是否稳定有以下结论：,这个结论对于(4-1)也是成立的.,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,,华中农业大学数学建模基地,微分方程组的平衡点的稳定性,,华中农业大学数学建模基地,如果,则称平衡点P0是稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性
3、,,华中农业大学数学建模基地,下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设,则当p0且q0时，平衡点P0是稳定的； 当p0或q0时，平衡点P0是不稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性,,华中农业大学数学建模基地,稳定性模型,建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,,华中农业大学数学建模基地,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将
4、保持不变，则捕捞量稳定。,背景,实例： 捕鱼业的持续收获,,华中农业大学数学建模基地,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,r固有增长率, N最大鱼量,h(x)=Ex, E捕捞强度,x(t) 渔场鱼量，,产量模型,,华中农业大学数学建模基地,稳定性判断,x0 稳定, 可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,,华中农业大学数学建模基地,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,产量模型最大产量,,华中农业大学数学建模基地,效益模型,假
5、设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,稳定平衡点,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,,华中农业大学数学建模基地,对于k阶差分方程,F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (4-6),若有xn = x (n), 满足,F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称xn = x (n)是差分方程(4-6)的解, 包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.,差
6、分方程模型,,华中农业大学数学建模基地,若x0, x1, , xk1已知，则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.,若有常数a是差分方程(4-6)的解，即,F (n; a, a, , a ) = 0, 则称 a是差分方程(4-6)的平衡点. 又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xna (n), 则称这个平衡点a是稳定的.,差分方程模型,,华中农业大学数学建模基地,一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数，且a -1, 0)的通解为 xn=C(- a) n +
7、b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|1时，b/(a +1)是稳定的平衡点.,差分方程模型,,华中农业大学数学建模基地,二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.,当r = 0时，它有一特解x* = 0； 当r 0，且a + b + 1 0时，它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形，x*是其平衡点. 设其特征方程2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.,差分方程模型,,华中农业大学数学建模基地, 当1, 2 是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn
8、= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n;,则,差分方程模型,,华中农业大学数学建模基地, 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知，当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1时, 平衡点x*是稳定的.,差分方程模型,,华中农业大学数学建模基地,对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ),其平衡点x*由代数方程x = f (x)解出. 为分析平衡点x*的稳定
9、性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,差分方程模型,,华中农业大学数学建模基地,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,市场经济中的蛛网模型,,华中农业大学数学建模基地,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,模型建立,,华中农业大学数学建模基地,设x1偏离x0,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点
10、,蛛 网 模 型,稳定性分析,,华中农业大学数学建模基地,x1,曲线斜率,稳定性分析,,华中农业大学数学建模基地,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,稳定性分析,,华中农业大学数学建模基地, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,,华中农业大学数学建模基地,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制
11、数量不变,结果解释政府干预,,华中农业大学数学建模基地,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,模型的推广,,华中农业大学数学建模基地,方程通解,(c1, c2由初始条件确定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡点稳定的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,模型的推广,,华中农业大学数学建模基地,模糊综合评判,四,模糊线性规划,Part2: 模糊数学,,华中农业大学数学建模基地,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合
12、及其运算,,华中农业大学数学建模基地,其中,函数 称为集合A的特征函数。,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？,问题：显然理发师 ，那么理发师是否属于A？,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,二、模糊集合及其运算,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,1、模糊子集,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3
13、,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,3、模糊矩阵,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,并：,交：,余：,例：,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,（2）模糊矩阵的合成,例：,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,（3）模糊矩阵的转置,（4）模糊矩阵的 截矩阵,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,例：,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,,华中农业大学数学建模基地,特点：在各次试验中， 是固定的，而
