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1、数学建模课程设计报告标枪投掷模型学 院专 业学 号姓 名指导教师成 绩教师评语：指导教师签字： 2014年7月16日 数学与统计学院课程设计报告 第 1 页1 绪 论1.1 课题的背景标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为，出手高度为，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与，的关系
2、式，计算在确定的，下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。1.2 预备知识上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。2 计算机工具简介MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的
3、函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。3 模型的假设3.1 模型假设 (1)标枪运行的过程中没有任何阻力；(2)可以将标枪看作一个质点；(3)投射角度与投射初速度是两个相互独立的量；(4)设当地的重力加速度为，且取值为9.8m/s，并在投掷的任意点都相等；(5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。(6)不考虑标枪
4、的旋转。3.2 符号说明 ：标枪初速度； ：在水平方向上的分量；：在竖直方向上的分量；：重力加速度； ：投射高度；：出手角度；：标枪运行的时间；：标枪在水平方向的位移（即为投掷距离）；：标枪在竖直方向的位移。4 模型的建立与求解一、 在确定的，下计算最佳出手角度 由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度和出手高度一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动，加速度为。所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图1所示。图4.1 标枪投掷轨迹图出手时的速度可以分解为：
5、水平方向：垂直方向：则有水平位移和竖直位移分别为：消去，有令方程中的为0，有：舍去负根，有：取=1.8m, =10m/s，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。a = 0:0.01:1.57x = (25.*sin(2*a)./19.6 + sqrt(25.*sin(2*a)./19.6).*(25.*sin(2*a)./19.6) + (360.*(cos(a).*(cos(a)./9.8)plot(a, x)title(标枪投掷距离与出手角度的关系)xlabel(出手角度)ylabel(投掷距离)grid结果如图4.2所示：图 4.2 标枪投掷距离与出手角度的关系图由图
6、可知，最大值的坐标为（0.40, 6.50）。二、 研究不同的出手速度下最佳的出手角度当和一定时，研究的变化对出手角度的影响。便为关于的函数，即：则对求一阶导数为：令，有：解得：所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，为最佳出手角度。将上式代入中，得：Matlab命令：1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度函数文件：function f=fun_sv(v)f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v)/pi*180;绘出图像：fplot(fun_sv,0,100);xlabel(速度V m/s);ylabel(角度);title(v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲
7、线 );axis(0 50 0 60);结果如图4.3所示：图 4.3出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线5 模型结果 5.1 模型的评价标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到，在运动员身体条件大致相当的情况下，该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得到结果与理论基本相符。但是由于条件限制，本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下，而实际情况中都会有一定的阻力。此外，标枪投掷的距离由很多因素决定，重力加速度也会随地域的不同而变化。我们建立的模型只是简单地研究了这个问题，比起实际问题的复杂
8、程度，有很多因素没有考虑到。5.2 模型的推广本模型不仅可以用于标枪投掷问题，还可以推广到其他运动中。运用该模型的目的就是确定出手角度和最大投掷距离。此外，还可以根据此来引导运动员的一些运动习惯，从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义。结 论标枪运动作为一个传统的比赛项目，对增强体质，特别是发展躯干和上下肢力量有显著的作用。如何能够在比赛中取得更好的成绩，是个困扰很多运动员和教练的问题。因此，能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的。本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图，然后根据物理知识，把该运动分为水平和竖直两个方向来考虑，计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函
9、数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。得到结论是：在=1.8m, =10m/s时，出手的角度约为0.40（约为23度），投掷距离约为6.5m。当出手角度为时，标枪投得最远。由图4.3得，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45。根据不同运动员的具体情况可从图4.3中确定最佳出手角度。参考文献1 冯杰, 黄力伟, 王勤, 易成义. 数学建模原理与案例M. 北京: 科学出版社, 2007: 222-226.2 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型 ( 第三版 ) M. 北京: 高等教育出版社, 2003.8: 135-153, 248-262, 358-375.
