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1、 第八章 拉格朗日动力学 8.1 基本方程及其简单应用 基本方程 理想约束的完整有势系统理想约束的完整有势系统 d dt L q L q =0 ,=1,2,s d dt L q L q = Q,=1,2,s 存在非有势力的理想约束的完整系统存在非有势力的理想约束的完整系统 注：通常约束力不出现在动力学方程中；方程组的数目等于注：通常约束力不出现在动力学方程中；方程组的数目等于 自由度数自由度数 ; 每一个方程都是二阶常微分方程每一个方程都是二阶常微分方程 L=T-V 简单应用 处理问题的基本步骤（套路固定）：处理问题的基本步骤（套路固定）： (1) 判断是否为理想约束的完整有势系统判断是否为理
2、想约束的完整有势系统 (2) 判断系统自由度并选择合适的广义坐标判断系统自由度并选择合适的广义坐标 (3) 将将 L=T-V 表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数 * (4) 对于有势系统，将对于有势系统，将 L 代入拉格朗日方程得到系统代入拉格朗日方程得到系统 的运动微分方程的运动微分方程 (5) 对于非有势系统，还通过定义要求出非有势力对应的广义力，对于非有势系统，还通过定义要求出非有势力对应的广义力， 连同连同 L 一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程 注：从处理问题角度来看，拉格朗日方法比较规范
3、，不需要太多的注：从处理问题角度来看，拉格朗日方法比较规范，不需要太多的 技巧。不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案技巧。不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案 . 例题例题 1 质量为质量为 m 的质点，被约束在半顶角为的质点，被约束在半顶角为 的光滑固定圆锥面上运动，试通过拉格朗日的光滑固定圆锥面上运动，试通过拉格朗日 方程方程 , 写出质点的运动微分方程写出质点的运动微分方程 . 解：此为理想约束完整有势系解：此为理想约束完整有势系 . 面内运动自由度为面内运动自由度为 2 ，可选，可选 , 为广义坐标为广义坐标 . v= e e zez =ztan T= m 2 2
4、csc222 V=mgz=mgcot L=TV = m 2 2 csc222mg cot 建立图示本征系建立图示本征系 Oxyz 以及取柱坐标以及取柱坐标 ,z 代入拉格朗日方程得到代入拉格朗日方程得到 csc 2 2gcot=0 d2 dt =02=const. 例题例题 2 求弹簧摆的振动方程求弹簧摆的振动方程 . 已知质量为已知质量为 m 的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定于的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定于 点点 O 并能在并能在 xy 面内自由旋转面内自由旋转 . 弹簧的自然弹簧的自然 长度为长度为 l ，劲度系数为，劲度系数为 k. 解：理想约束完整有势系解：理想约束完整有势系 .
5、自由度为自由度为 2 ，选极坐标，选极坐标 , 为广义坐标为广义坐标 . T= m 2 222, mg V =mg cos k 2 l2 将将 L=T-V 代人拉格朗日方程可得代人拉格朗日方程可得 . 2 gsin=0 2 gcos k m l=0 大角度摆大角度摆 对于在小角度平衡位置附近的微振动，上述方程可化为对于在小角度平衡位置附近的微振动，上述方程可化为 . g l0 =0, k m =0,其中其中l0=l mg k , =l0 8.2 守恒定律 对称性与守恒量的关系 【定义】对称性：力学系统在坐标或时间的变换下的不变【定义】对称性：力学系统在坐标或时间的变换下的不变 性。反映为在该变
6、换下系统的拉格朗日函数不变性。反映为在该变换下系统的拉格朗日函数不变 . 例如：若例如：若 ,Lx, y,z,x ,y ,z ,t=Lx, y,z,x,y,z ,t 我们说系统在我们说系统在 x 方向的平移（变换）下不变，即具有对称性方向的平移（变换）下不变，即具有对称性 容易证明，这等价于说容易证明，这等价于说L/x=0. 【定义】连续变换：变换过程中系统的坐标或时间【定义】连续变换：变换过程中系统的坐标或时间 可以表示成随某个参数连续变化的形式可以表示成随某个参数连续变化的形式 . 例如： 例如： , 且且qQ , Q 0= q , 且且 t, 0=t lim 0 Q =Q lim 0 =
7、 【诺特定理】对于系统相应于连续变换的对称性，总有【诺特定理】对于系统相应于连续变换的对称性，总有 一个系统的守恒量与之对应一个系统的守恒量与之对应 . 证明：首先就空间对称性部分证明证明：首先就空间对称性部分证明 . 即考虑变换即考虑变换 而不对时间进行变换而不对时间进行变换 , 即时间与参数即时间与参数无关无关 记号：记号： Q dQ d t , Qlim 0 Q Q 0 , Qlim 0 Q Q 0 我们无非是选了另外一套广义坐标而已我们无非是选了另外一套广义坐标而已 L=L(Q , Q ,t),L 0= L(q,q,t) 对称性意味着变换前后系统的拉格朗日函数不变，即对称性意味着变换前
8、后系统的拉格朗日函数不变，即 L()=L(0) 0=lim 0 (LL0) qQ , Q 0= q = L q Q L q Q 拉格朗日方程拉格朗日方程 L q = d dt L q d dt L q Q = 0 L q Q =const. 下面考虑对时间的变换，为了用上面证明已有的结果，我们可以下面考虑对时间的变换，为了用上面证明已有的结果，我们可以 把时间看成某个假想的变量把时间看成某个假想的变量 的函数的函数 : t=t() S= t 1 t2 Lq, q,tdt= 1 2 Lq, q,tt d 记 记 t =dt/d,q=qt,则则 d q d = d q dt t= qt q= 1
9、t d q d 1 2 L q, d q d ,t ,t ,d 于是我们得到了一个扩展的力学系统，它以 和于是我们得到了一个扩展的力学系统，它以 和 t 为广义坐标，为广义坐标， 新的拉格朗日函数为 新的拉格朗日函数为 . q L t, 0=t 考虑对时间的变换 ，上页的证明思路仍然有效，可得考虑对时间的变换 ，上页的证明思路仍然有效，可得 L t =const.lim 0 0 其中其中 L=Lq, q,tt q = 1 t d q d q t = 1 t 2 d q d = q t L t = L q q t tL L L q q=const. 证毕证毕 . 【定义】广义动量【定义】广义动量
10、 p= L q 【定义】广义坐标平移变换：【定义】广义坐标平移变换：qQ =q, qq 【推论】若力学系统具有某广义坐标的平移不变性，则【推论】若力学系统具有某广义坐标的平移不变性，则 该广义坐标相应的广义动量守恒该广义坐标相应的广义动量守恒 . 证明：若系统在某广义坐标证明：若系统在某广义坐标 q的变换 下保持不变的变换 下保持不变 根据诺特定理有根据诺特定理有 qQ =q L q Q =const. Qlim 0 Q Q 0 =1,Q=0因为因为 p= L q =const. 证毕证毕 . 注：也可直接用拉格朗日方程证明注：也可直接用拉格朗日方程证明 ( 可遗坐标、循环坐标可遗坐标、循环坐
11、标 ) 广义动量积分广义动量积分 广义动量和广义动量积分 注：可证明注：可证明 p=nmnvnr n q 例题例题 3 自由质点在重力场中运动，试分析其广义动量积分自由质点在重力场中运动，试分析其广义动量积分 解：建立解：建立 Oxyz 本征系，本征系， z 轴竖直向上。广义坐标可取轴竖直向上。广义坐标可取 x,y,z ，则，则 L= m 2 x 2 y2 z 2mgz 由于由于 L 不含不含 x 和和 y ，所以沿，所以沿 x 和和 y 具有平移不变性，故具有平移不变性，故 p x= L x =m x=const.p y= L y =m y=const. 如果选取球坐标如果选取球坐标 (r,
12、 , ) ，则，则 L= m 2 r 2r2 2r 2 sin 2 2mgrcos 由于由于 L 不含不含 ，所以沿，所以沿 具有平移不变性，故具有平移不变性，故 上两式分别表示质点在上两式分别表示质点在 x 和和 y 方向的动量守恒方向的动量守恒 . p= L =mr 2sin2 =const. 此式表示对此式表示对 z 轴角动量守恒轴角动量守恒 可以看到：可以看到： (1) 广义动量积分存在与否和数量多少，与广义坐标的选取有关，广义动量积分存在与否和数量多少，与广义坐标的选取有关， 故选取适当的广义坐标可以找到较多的广义动量积分故选取适当的广义坐标可以找到较多的广义动量积分 . (2) 广
13、义坐标不同，对应的广义动量的物理意义也不同。如广义坐标不同，对应的广义动量的物理意义也不同。如 x 对应的对应的 广义动量即广义动量即 x 方向的动量，而方向的动量，而 对应的广义动量为对质点对应的广义动量为对质点 z 轴的轴的 角动量角动量 . 也可能选择某种广义坐标，其对应的广义动量无简单的也可能选择某种广义坐标，其对应的广义动量无简单的 物理意义物理意义 . 【推论】若力学系统具有沿空间固定方向平移不变性，则【推论】若力学系统具有沿空间固定方向平移不变性，则 系统沿该固定方向的动量守恒系统沿该固定方向的动量守恒 . 证明：假定该固定方向单位向量为证明：假定该固定方向单位向量为 l ，系统沿，系统沿 l 平移无穷小量平移无穷小量之后之后 qQ 系统平移前位矢系统平移前位矢rnq,t 系统平移后位矢系统平移后位矢rnQ ,t=rnq,tl r n q Q q=l r n q Q =l 注意到 是 的函数注意到 是 的函数rn= r n q q rn t q,q,t 只是 的函数只是 的函数 q,t rn q = rn q , L q Q =const.诺特定理诺特定理n L rn rn q Q =const. n L rn rn q Q =con
