《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 周武能 第3章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 周武能 第3章（115页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,自动控制原理 Automatic control theory,机械工业出版社,2,第三章 时域分析,机械工业出版社,主要内容,稳定性 稳定性概念与定义 稳定的条件劳斯稳定性判据 稳态特性 稳态性能指标稳态误差 动态特性 动态性能指标： 响应的逼近性调节时间、超调量 响应的快速性上升时间、峰值时间,-3-,介绍,时域分析法是对一个特定的输入信号，根据系统的数学模型，采用拉普拉斯变换的方法，求取系统的响应输出(即输出信号)的时间函数。 一个稳定的控制系统，对输入信号的时域响应由稳态（或静态）响应分量和瞬态（或动态、暂态）响应分量等两部分组成。 稳态响应描述系统的稳态性能，瞬态响应描述系统的瞬
2、态性能。,-4-,介绍,自动控制系统的分析包括稳定性（稳）、稳态特性（准）和瞬态特性（快）等三部分内容。 稳定是系统能够工作的前提。 稳态特性主要刻画系统的稳态精度，即系统稳定下来之后，达到的稳定值与预期值之间的误差。 而系统动态性质刻画的是在稳定下来之前系统瞬态过程的性质，例如过渡过程的时间长短、响应的快慢、振荡过程的振幅大小等。 为了刻画控制系统的性能，本章定义稳态性能指标和动态性能指标。,-5-,典型测试信号,研究一个系统，首先判断系统是否是稳定的。 如果系统稳定，则系统对一个特定输入信号的响应可用来测试系统的性能。 但通常实际的输入信号未知，因此需要选择若干典型输入信号，以此提供一个进
3、行比较的基准(实际的输入信号可以由典型输入信号组合得到) 。 常用的典型输入信号有：阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数和正弦函数等。,-6-,典型测试信号,脉冲信号 impulse input (t),-7-,脉冲函数具有下面的性质,式中h为脉动宽度，A是常数，是脉动的面积，当,时脉动信号就成为脉冲信号，称理想脉冲信号。,A=1时,称为单位脉冲信号，或单位脉冲函数,记为(t),典型测试信号,实际脉冲信号,理想脉冲信号,-8-,典型测试信号,-9-,单位脉冲函数可以认为是在间断点上的单位阶跃函数对时间的导数。反之，单位脉冲函数的积分就是单位阶跃函数。,10,阶跃信号 Step signal
4、 斜坡（速度）信号 Ramp,典型测试信号,11,加速度信号 Acceleration/Parabolic 正弦信号 Sinusoidal signal,典型测试信号,控制系统的稳定性,3.3.1 稳定性的概念 BIBO稳定性（ Bounded-Input Bounded-Output ） 稳定的充分必要条件 3.3.2 劳斯稳定性判据 劳斯-赫尔维茨判据，不求解特征方程，用代数方法来判定系统特征根的位置。,-12-,稳定性的概念,自动控制系统能在实际工程中得到广泛应用最重要的在于其具有稳定性。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。控制系统的稳定性，表示系统能妥善地
5、保持预定的工作状态，耐受各种不利因素的影响。 稳定性可以解释为系统受到瞬时扰动的作用，偏离了稳定的平衡状态，在干扰消除后，能以足够的精度逐渐恢复原来状态的能力。,-13-,稳定性的概念,-14-,小球均处于平衡态，如果不外加扰动，小球将静止在平衡态不变化。a)，小球稳定，外加瞬时扰动后，它总能回到原来的平衡态，这种稳定也称为渐近稳定。 b)，小球不渐近稳定，它受到瞬时扰动后，不能回到原来的平衡态，同时，小球受扰动后的终态与原来平衡态的偏差是一个有界量，不会随时间增大，所以这种状态称为临界稳定，临界稳定是稳定和不稳定的中间状态。 c)，小球不稳定，扰动消失后，小球将远离平衡态，与原来平衡态的偏差
6、将随时间增大，最终发散。,稳定性的定义,从上述例子可抽象出系统稳定性的定义。 定义3-1 如果一个系统在有界输入作用下，其相应输出也是有界的，称该系统为有界输入有界输出稳定，也称为BIBO（Bounded-Input Bounded-Output）稳定，简称系统稳定。 定义3-1是一个描述性的定义。对于线性定常系统，我们还可用其单位脉冲响应和传递函数的极点或特征值来刻划稳定性。,-15-,稳定的条件,定理3.1 线性定常系统稳定的充分必要条件是其闭环传递函数的极点均具有负实部。 这个条件如何得到的？ 通过单位脉冲响应与传递函数的关系，可以得到满足BIBO稳定性的稳定条件，即定理3.1。 下面进
7、行推导。,-16-,稳定的条件,用单位脉冲响应来刻划稳定性。 设在零初始条件下，线性定常系统的输入、输出和单位脉冲响应分别为 r(t) 、y(t) 和g(t) 。 当系统输入为单位脉冲信号时，系统的零状态响应就是系统的单位脉冲响应 ：,-17-,如果该系统为时不变系统，则激励与响应之间将有对应关系：,根据线性系统的比例性，上式两边同乘一个系数r() ，得,根据线性系统的叠加性，可以对上式的两边分别作求和(积分)运算，得：,稳定的条件,-18-,根据我们对符号的约定，左端是输入，表达式右边就是系统的零状态响应 。而由于任意连续时间信号可以由脉冲信号 表示：,因此,当系统的激励为任意信号 r(t)
8、时，系统对r(t) 的零状态响应y(t)为,通常把上式称之为r(t)与g(t)的卷积积分，并用r(t)*g(t) 表示。,稳定的条件,由卷积的性质得 对式两端取绝对值，得到,-19-,稳定的条件,或者,-20-,(,),上式即是BIBO稳定性的脉冲响应表示。又由于，系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换就是系统的传递函数。所以BIBO稳定性自然可以用系统的传递函数来刻划。,稳定的条件,系统的传递函数可表示为,-21-,反之亦然。,稳定的条件,根据上面的推导，可得定理3.1 定理3.1 线性定常系统稳定的充分必要条件是其闭环传递函数的极点均具有负实部。 若系统存在具有正实部的特征根，则指数部分随时间的增
9、长最终趋于无穷大，系统发散，此时系统不稳定 若系统有一个特征根的实部为0 ，而其余特征根的实部均为负数，则实部为 的特征根对应的瞬态项会一直存在，其它瞬态项中的指数部分消失，此时系统临界稳定。,-22-,注意到系统稳定的条件是,从而临界稳定不是BIBO稳定的。,劳斯稳定性判据,劳斯判据是工程应用中的一种方法，不需求解特征方程就可以判别它是否有根在右半平面，以及有几个根在右半平面。 这是代数中一个已经解决的问题，可用它来研究系统的稳定性，称为稳定判据。该稳定判据由劳斯于1877年和赫尔维茨于1895年分别独立提出，通常合称为劳斯-赫尔维茨判据。,-23-,劳斯稳定性判据,首先将系统的特征方程写为
10、如下的标准形式 式中，为实数。由代数知识得知，方程的所有根均具有负实部的必要条件是其所有系数均为非零正数，即ai0 。我们可以用此必要条件对线性定常系统作稳定性的初步判断，进一步的判定需采用劳斯判据。,-24-,劳斯稳定性判据,1. 建立劳斯表,-25-,劳斯表的前两行为给定的特征方程式系数,劳斯稳定性判据,2. 计算劳斯表的其它系数,-26-,在劳斯表中通常,劳斯稳定性判据,3. 劳斯稳定性判据 线性定常系统稳定的充分必要条件是劳斯表的第一列元素全为正数。 若劳斯表的第一列系数中有负数，则系统是不稳定的，这说明有闭环极点位于右半平面。 劳斯判据还可以得出在右半平面的闭环极点数目，它等于劳斯表
11、的第一列元素改变符号的次数。,-27-,劳斯稳定性判据,在应用劳斯表时，可能会遇到如下几种特殊情况。 (1) 劳斯表第一列出现零，但零元素所在行的其它元素均不为零 如果劳斯表第一列出现零，则系统肯定不稳定。此时，可以用一个小的正数 代替零元素，继续计算其余各元，进而判定系统在右半 平面的极点数。 例3-2 设系统的特征方程为,-28-,用劳斯判据判断其稳定性。,其中,由于c1是一个很大的负值，所以劳斯表中第一列元素的符号改变两次，说明系统有两个特征根位于右半 平面，故该系统不稳定。,劳斯稳定性判据,(2) 劳斯表中某一行元素全为零 在劳斯表元素计算中如果某一行元素全为零，说明特征方程在s平面存
12、在关于s平面原点对称的根。比如，大小相等，符号相反的实数根；一对共轭纯虚根；对称于原点的两对共轭复数根等。 此时，可用全零行上面一行的元素构造一个辅助多项式U(s) (或辅助方程U(s)=0 )，式中s均为偶次。以辅助多项式的导函数系数代替劳斯表中的这个全零行，然后再按规则完成劳斯表的构造。通过求解辅助多项式的根可以得到特征方程关于原点对称的根。,-29-,劳斯稳定性判据,例3-3 试判断线性系统的稳定性，其特征方程为 解 列出劳斯表如下 因为劳斯表的第四行中的系数全为零，所以该系统是不稳定的。解辅助方程U(s)=0可以求得系统对称于原点的根。,-30-,劳斯稳定性判据,根据劳斯判据的计算方法
13、以及稳定性结论，可知在劳斯表的计算过程中，允许某行各系数同时乘以一个正数，而不影响稳定性。 应用劳斯判据分别研究一阶、二阶和三阶系统的特征方程 可以得到以下简单结论。 一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是，特征方程所有系数均为正。三阶系统稳定的充分必要条件是，特征方程所有系数均为正，且 。系统稳定的必要条件是，特征方程的所有系数均为正。,-31-,相对稳定性和稳定裕量,相对稳定性系统稳定时，系统稳定的程度。可用稳定裕量来度量。 系统稳定时，闭环极点离虚轴越远，系统稳定性程度越好。闭环极点离开虚轴的距离，可作为衡量系统相对稳定性的稳定裕量。 稳定裕量是用每一个闭环极点对应瞬态分量的调节时间来刻画，
14、距离虚轴越远，相对调节时间越小，动态过程衰减越快，稳定裕量越大。,-32-,相对稳定性和稳定裕量,在系统的特征方程q(s)=0 中，令s=s1-a ，得到q(s1)=0 ，利用稳定判据，若q(s1)=0 的所有解都在左半s1 平面，则原系统的特征根在直线 s=a 左边。 此时相当于将纵坐标轴向左平移距离 a，系统仍然是稳定的，那么系统的稳定裕量大于a 。 例3-5 设某单位负反馈系统的开环传递函数为 若要求闭环极点在s=-1 的左边，试确定K 的取值范围。,-33-,相对稳定性和稳定裕量,解 该系统的特征方程式为 令 ，则 变换后的特征多项式的劳斯表为,-34-,相对稳定性和稳定裕量,-35-
15、,稳态特性,3.4 控制系统的稳态误差 稳态误差是刻画系统稳态特性的性能指标，其定义为在稳定条件下，输出量的期望值与稳态值之间存在的误差，记为 (steady-state-error)。 系统的稳态误差可以分为给定稳态误差和扰动稳态误差。 对于随动系统，其给定量是变化的，要求其输出量以一定的精度跟随给定量的变化，因此给定稳态误差就成为衡量随动系统稳态品质的指标。 对于恒值系统，给定量不变。扰动稳态误差是由于外部扰动引起的，常用这一误差来衡量恒值系统的稳态品质。,-36-,给定稳态误差,误差定义： 按输入端定义误差为 按输出端定义误差为 对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析和设计
16、中，一般采用按输入端定义误差。,-37-,图 3-5,给定稳态误差,稳态误差是指误差信号的稳态值 若系统稳定，且R(s)的所有极点在左半开区间，则可利用终值定理来求稳态误差，这时 图3-5所示系统的误差传递函数为,-38-,给定稳态误差,当系统是单位反馈时，即H(s)=1。因此误差的拉普拉斯变换为 所以给定稳态误差为 其中GH(s)是系统的开环传递函数。 影响稳态误差的量为系统的开环传递函数和输入量。,-39-,给定稳态误差,系统的开环传递函数可以写为如下时间常数形式 其中K称为系统的开环增益。定义N为系统的型数，它是系统开环传递函数中串联的积分环节的个数，或称系统积分环节的阶数。 N越大系统的稳态精度越高，但同时随着系统积分环节的个数的增加，系统的稳定性会降低。因此在设计系统的时候，需要兼顾考虑稳定性和稳态误差的要求，一般采用0型、1型和 2型系统。,-40-,给定稳态误差,系统稳态误差的一般形式 更具体一点，系统的稳态
