《自动控制理论第3版 教学课件 ppt 作者 邹伯敏 浙江大学 主编《自动控制理论（第3版）》邹伯敏 第02章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制理论第3版 教学课件 ppt 作者 邹伯敏 浙江大学 主编《自动控制理论（第3版）》邹伯敏 第02章（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,1,第二章,控制系统的数学模型,作者： 浙江大学 邹伯敏 教授,自动控制理论,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,2,描述系统运动的数学模型,状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式。,建立系统数学模型的方法,实验法 解析法,输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出。,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,3,第一节 列写系统微分方程的一般方法,用解析法建立系统微分方程的一般步骤,根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个
2、元件的输入与输出的微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式 对所求的微分方程进行标准化处理,图2-1 -L-C电路,消去中间变量 ，则有:,自动控制理论,由基尔霍夫定律得：,电气网络系统,1、无负载效应的电路,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,4,图2-2 R-C滤波网络,消去中间变量i1 、 i2 得,或写作,自动控制理论,2、有负载效应的电路,对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的 影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,5,求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器
3、系统的数据模型,由牛顿第二定律列出方程,即,式中：为阻尼系数,阻尼器阻力,自动控制理论,ky(t)弹簧拉力,为弹簧的弹性系数,机械位移系统,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,6,自动控制理论,液位控制系统,图2-4中，Q1、Q2和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和 液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h为相应变量的增量。,设液槽的面积为C，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差 应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有,考虑在平衡状态,H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为,基于液位h(t)与流量q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：,（2-4）,（
4、2-5）,图2-4 液位系统,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,7,自动控制理论,式中为比例常数（与V2阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后 q2(t)与h(t)的关系为,或写作：,式中，,把式（2-6）代入式（2-4）得,其中，T=RC,或,图2-5 q2(t)与h(t)的关系曲线,（2-6）,（2-7）,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,8,图2-7 G-M 直流调速系统的框图,图2-6 G-M 直流调速系统原理图,自动控制理论,直流调速系统,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,9,列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输
5、出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式,放大器,图2-8 直流他励发电机电路图,(2-8),写微分方程式的一般步骤,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,10,直流他励发电机,由电机学原理得：,图2-9 直流他励电动机电路图,把式（2-10）代入（2-9），则得,（2-9）,（2-10）,（2-11）,式中,假设拖动发电机的原动机的转速n0恒定不变，发电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲 线为一直线 ，即/ib =L。,自动控制理论,2019/5/21,
6、第二章 控制系统的数学模型,11,他励直流电动机,由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得,电动机的转速n是输出量，它的变化要受到发电机的电动势EG和负载转矩Td控制。,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,12,输入量是驱动电动机的转速n，输出量是测速发电机的电枢电压Ufn ，假设测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有,测速发电机,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,13,第二节 非线性数学模型的线性化,非线性数学模型线性化的假设,变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在,微偏法,在给定工作点领域将此非线性函
7、数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。,设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-11所示，相应的数学表达式为,图 2-11 非线性特性的线性化,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,14,在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,15,举例,上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-12所示。,设发电机原工作于磁化曲线的A点，若令发电机的励磁电压增加U1，求其增量电势EG的变化
8、规律。,图2-12 发电机的磁化曲线,若励磁电压增量 ，则有,如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离便较小，从而可以通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。 在平衡点A处，直流电机的方程为,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,16,由式（2-21）减式（2-19），式（2-22）减式（2-20）后得,式（2-23）、（2-24）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。式中N为励磁绕组的匝数。,自动控制理论,2019/5
9、/21,第二章 控制系统的数学模型,17,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,18,在实际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和（2-9）（2-10）完全相同,小结,随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大 倍数 是不同的。,由线性化引起的误差大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,19,第三节 传递函数,传递函数的定义,传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。,设线性定系统的微分方程式为,自动控制理论,201
10、9/5/21,第二章 控制系统的数学模型,20,在零初始条件下，对上式进行拉式变换得,自动控制理论,于是得,(2-31),2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,21,传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。 由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子 用复变量s表示，把c(t) 和r(t)换为相应的象函数C(s)和R(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。,单位脉冲响应及应用,小结,自动控制理论,201
11、9/5/21,第二章 控制系统的数学模型,22,如果已知系统的单位脉冲响应g(t),则利用卷积积分求解系统在任何输入r(t)作用下的输出响应,即,下面以一个R-C电路(图2-13)为例,说明卷积积分的应用,该电路的微分方程为,图2-13 R-C电路,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,23,1、,由于,2、,3、,式中,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,24,传递函数的性质,传递函数只取决于系统(或元件)的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式s的最高阶次n总是大于
12、或等于其分子多项式D的最高阶次m，即nm 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性,对于多输入多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出的关系，例如对于图2-14所示的系统。,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,25,图2-14 多输入多输出系统,由图2-14得,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,26,典型环节的传递函数,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化,比例环节,惯性环节,特点：输出量延缓地反映输入
13、量的变化规律,微分方程,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,27,积分环节,特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有,图2-15 积分调节器,例如图2-15所示的积分器，其传递函数为,自动控制理论,对应的传递函数：,T-环节的时间常数,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,28,微分环节,理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即,图2-16 R-C网络,1）实际的微分环节，如图2-16所示，它的 传递函数为：,2）直流测速发电机。如图2-17所示，,图2-17直流测速发电机,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,
14、29,振荡环节,特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式,微分方程,具有式（2-37）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,30,1）R-L-C电路的传递函数,2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数,3）直流他励电动机在变化时的传递函数,上述三个传递函数在化成式（2-37）所示的形式时，虽然它们的阻尼比和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们都是振荡环节。,自动控制理论,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,31,纯滞后环节,图2-18 具有传递滞后的装置,则,如果,自动控制理论,电气网络传
15、递函数的求取,无源网络电路,图2-19 无源网络,图2-19中z1和z2为复数阻抗，由图得,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,32,自动控制理论,即,（2-41）,图2-20 R-C电路,例2-1 求图2-20所示电路的传递函数,解：,由式（2-41）得,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,33,自动控制理论,有源网络电路,图2-21 有源网络1,图2-22 有源网络2,设Z1、Z2、Z3、Z4为复数阻抗，,，并略去运放的输入电流，则由图2-21得,基于上述同样的假设，由图2-22得,即,消去上述式中的中间变量I1、I2、I3、I4和UB，求得：,2019/5/21,
16、第二章 控制系统的数学模型,34,例2-2 求图2-23、图2-24所示两个有源网络的传递函数。,1）在图2-23中，,于是得,2）在图2-24中，,则由式（2-43）得,图2-23 PI调节器,图2-24 PD调节器,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,35,第四节 系统框图及其等效交换,绘制系统框图的一般步骤,1、 写出系统中每一个部件的运动方程式 2、 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示，在框中填入相应的传递函数,3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端,例2-3 绘制图2-26所示R-C网络的系统框图,1）列写该网络的运动方程,自动控制理论,图2-26 R-C网络,2019/5/21,第二章 控制系统的数学模型,36,2）画出上述两式对应的方框图,3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得2-27c的系统方框图,例2-4 绘制图2-2所
