自动控制原理 教学课件 ppt 作者 邱德润 第7章 非线性控制系统的分析

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1、第7章 非线性控制系统的分析,7.1 典型非线性特性及其对系统性能的影响 7.2 非线性控制系统的分析方法,7.1 典型非线性特性及其对系统性能的影响,与线性系统相比，非线性系统具有如下特点： （1）非线性系统不适用叠加原理，输出与输入间不存在线性比例关系。 （2）非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且还和输入信号 与初值的大小（初始偏差）有关。例如小初始偏差时稳定的系统，大偏差时就 可能不稳定。 （3）自振：所谓自振，是在没有外施信号作用时，非线性系统产生的具有固 定振幅和频率的稳定振荡现象；而线性系统的等幅振荡则只是系统的一种临界 稳定状态，只要系统的参数稍有变化，这种临界等幅

2、振荡就会趋于发散或者变 为收敛。也就是说，线性系统的这种等幅振荡是暂时性的，而非线性系统的自 振则是稳定的、顽固的。 （4）跳跃谐振与多值响应：当输入信号的频率由小到大和由大到小变化时， 非线性系统的幅频值可能出现突跳式的不连续现象，即所谓跳跃谐振与多值响 应，如图7.1-1所示。 （5）组合频率响应：当输入某正弦信号时，非线性系统的输出一般都是由输 入正弦的各次谐波（组合频率）分量所组成的非正弦周期函数，具有组合频率 响应的特点。,1. 饱和特性 （9.1-1）,2. 死区特性 所谓死区也叫不灵敏区，系指输入信号偏小时，死区特性元件没有输出，仅当 输入增加到某个值以上时，该元件才有输出。死区

3、特性及其等效变增益特性如图 7.1-3 a.、b. 所示。 死区特性对系统产生的主要影响有： 使系统的稳态误差增大、定位精 度降低； 当系统的输入信号为斜坡等函数时， 还会引起系统输出在时间上的滞后； 小信号时，死区特性的等效增益 k 很 小，能提高小起始偏差情况下的系统稳定性； 等效增益会减小系统的总开环增益，可提高系统的平稳性，降低动态振荡 倾向； 死区能滤掉从输入端引入的小幅值干扰信号，从而提高系统对小扰动的抗干 扰能力。,3. 间隙特性 在机械传动中，为了保证齿轮在传动中转动灵活、防止发生齿轮啮合卡死现 象，齿轮之间总是留有一定的间隙。由于间隙的存在，当主动轮的运动方向改 变时，主动轮

4、需转过与从动轮之间的间隙行程后，才能推动从动轮转动。齿轮 传动及其间隙特性如图7.1-4所示。 由图7.1-4有 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致系统稳 定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区会降低定位精度、 增大系统静差。,4. 继电特性 继电器、接触器等都具有继电特性。实际继电器工作时，只有 流经线圈的电流大于吸合值（或线圈两端所加的电压大到某一数 值）后，继电器的衔铁方能吸合，所以，继电特性一般都有死区 存在。此外，由于继电器的吸合电流一般都大于释放电流，因此， 实际继电特性具有滞环特点。三种典型的继电特性如图7.1-5所示。 图7.1-5中，

5、图 a. 为不考虑死区和滞环的理想继电特性；图 b. 为 只考虑死区的继电特性；图 c. 为只考虑滞环的继电特性；图 d. 则 为带滞环的实际继电特性。,7.2 非线性控制系统的分析方法,目前研究非线性控制系统的常用工程方法有如下四种： (1) 相平面法：将控制系统的运动过程用相平面上某点的移动轨迹来表示，是 一种通过时域求解一、二阶常微分方程，绘制、分析相轨迹的图解法；能够比较 直观、准确、全面地分析一、二阶线性或非线性控制系统的稳定性、平衡位置、 时间响应、稳态精度以及初值与参数对控制系统运动的影响；缺点是仅限于一、 二阶系统的分析。 (2) 描述函数法：在一定的假设条件下，通过谐波线性化

6、近似，对非线性部件 的基波输出分量进行频域分析，是线性系统频率特性法在非线性控制系统的推 广，主要用于系统稳定性和自振的分析，这种方法不受系统阶次的限制，对非 线性控制系统的初步分析和设计非常方便；缺点是不能给出时间响应的确切信 息，不如相平面法精确。 (3) 李雅普诺夫法：通过构造李雅普诺夫函数，根据能量的收敛或发散来分析 非线性控制系统的稳定性（详见下篇：现代分析方法）；缺点是构造合适的李 雅普诺夫函数比较困难。 (4) 计算机求解法：通过计算机直接求解非线性系统的微分方程，可以分析和 设计复杂的非线性控制系统，随着计算机的广泛应用，计算机求解法将有更大 的发展前景。,7.2.1 相平面法

7、 1. 相平面法的基本概念 一般二阶时不变系统的常微分方程为 （7.2-1） 以时间 t 作为参变量，以 为横坐标、 为纵坐标，则以 和 构成的二维状态空间即为相平面。 相平面上的每个相点都对应于系统的每一个状态；沿着时间 t 增 大的方向，将许多相点连接起来即形成一条相轨迹 。 由于相平面只能表示 和 两个独立变量，所以相平面法只 能用来研究一、二阶线性或非线性系统。 2. 相轨迹的绘制方法 1）二阶线性系统的相轨迹 设二阶线性系统的微分方程为 （7.2-2）,相轨迹的绘制方法有解析法和图解法两种：当系统的微分方程比 较简单、便于积分求解时，一般用解析法绘制；当采用解析法求解 有困难时，可用

8、图解法绘制。 对于式（7.2-1） ，令 有 ，所以 可得 （7.2-5） 式（7.2-5）是关于 和 的一阶微分方程，即二阶非线性 系统的相轨迹方程。 由式（7.2-5），令 ，即有 （7.2-6） 或 （7.2-7） 式（7.2-7）是相轨迹的斜率方程，不同的 ，对应不同的等倾 线；式（7.2-6）则是相轨迹的等倾线方程，表明等倾线上的各相 点均具有相同的斜率。,例 7.2-1 试对图9.2-3非线性系统，用解析法绘出系统的相轨迹。 解：由图，非线性为理想继电特性， 有 ，对线性部 分，入出关系为 令 ， ，则有 ，可得 ， 两边积分 ，可得抛物线 方程： 由不同初始状态可绘出系统的相轨迹

9、簇如图7.2-4所示。,(1) 解析法：即直接对系统的状态方程进行积分求解先将系统的状态方程化为相轨迹方程，再对相轨迹方程求积分，得到x1 和x2的关系式，即可逐点绘出系统的相轨迹图。,(2) 图解法：不需直接求解系统 的微分方程，而是通过作图来画 出系统的相轨迹。常用图解法有 等倾线法和法两种。 等倾线法：利用式（7.2-7） 与式(7.2-6)，即通过二阶非线性 系统相轨迹的斜率方程与等倾线 方程，设定不同的与，即可 在相平面上画出许多等倾线并建立相应相轨迹的切线方向场；由 给定的初始状态（相轨迹的起始相点）出发，便可沿等倾线的切 线方向完成系统的相轨迹；因为任何一条曲线都是可以用一系列

10、足够短的折线来逼近的。,由不同初始状态可绘出系统的相轨迹簇如图7.2-4所示。,例7.2-2 试用等倾线法绘制二阶线性系统 在 时的相轨迹。 解：令 ，则有 ，可得等倾线方程 ， 即 （7.2-8） 可见，此系统相轨迹的等倾线都是过原点且斜率为 的直线。 由式（7.2-8）有 ，当 取不同的值时，可得到表7.2-1。 由表7.2-1，可在相平面上得到不同斜率的一簇等倾线，在每条 等倾线上可画出相应斜率为的有向线段，得到相轨迹的切线方 向场，从题目给出的起始相点 出发，即可绘出该系统的 相轨迹，如图7.2-5所示。,表7.2-1 例 7.2-2等倾线法用表, 法：实际上，也可以认为相轨迹是由一系

11、列圆心沿 x 轴滑动的圆弧所组成 的连续曲线。 3）相轨迹的三种极限环 极限环是一种特殊的相轨迹，是最常见的奇线。 根据极限环附近相轨迹的运动 特点，可以分为稳定的、不稳定的与半稳定的三种极限环。 稳定的极限环：若起始于极限环外部和内部的相轨迹最终都趋向于这个极限 环，则该极限环称为稳定的极限环；系统在微小扰动下，相轨迹可能稍稍离开极限 环，但最终仍能回到这个极限环，所以系统的运动状态对应为稳定的自振运动；由 于极限环内部的相轨迹是发散至极限环，而极限环外部的相轨迹则是收敛到极限 环，所以稳定的极限环内部是不稳定的区域，而外部则是稳定的区域；稳定的极 限环可以通过实验观察到，如图7.2-8 a

12、. 所示。 不稳定的极限环：若起始于极限环外部和内部的相轨迹最终都远离极限环， 则该极限环称为不稳定极限环，对应的周期运动是不稳定的；任何微小扰动都将 使系统状态离开不稳定极限环，所以不稳定的极限环内部是渐近稳定的区域，而 外部则是不稳定区域，如图7.2-8 b. 所示；不稳定的极限环在实验中无法观察到。 半稳定的极限环：若起始于极限环内（外）部的相轨迹最终远离极限环，而 起始于极限环外（内）部的相轨迹最终趋向极限环，则该极限环称为半稳定的极 限环，对应的系统运动是稳定的或不稳定的，如图7.2-8 c.、d. 所示（在实验中无 法观察到）；图7.2-8 c. 中，极限环的内、外部都是系统的渐近

13、稳定区域，系统的 运动最终将收敛于环内的奇点；而图7.2-8 d. 中，极限环的内、外部则都是不稳定 的区域，系统的运动最终将发散于无穷远处。,3. 由相轨迹求系统的瞬时响应 如果要通过相轨迹求取系统的瞬态响应，就必需知道相轨迹上各相点所对应的 时间。 设系统的相轨迹如图7.2-9 a 所示。对于小增量的 ，可用 区间内 的 平均值 来近似表示该区间内 的平均速度，故有 （7.2-13） 由式(7.2-13)可计算出图7.2-9 a 中系统相轨迹从 A 点运动到 B 点所需的时间为 同理，可求出由B 点运动到 C 点所需的时间 依此类推，可作出该系统的时域 曲线如图7.2-9 b所示。为使上述

14、求解具有 较高精度，应根据相轨迹的形状，选择足够小的位移增量 。,7.2.2 非线性控制系统的相平面分析 1. 分段线性方法 所谓分段线性方法，一般是根据典型非线性特性的分段情况：先用分界线（也叫开关线或转换线）将相平面划分为几个线性区域；再按照系统的结构图分别列写各区域的线性微分方程，并应用线性系统的相平面分析方法和结论，分别绘出各区域的相轨迹；最后根据系统状态变化的连续性，在各区域开关线的转换点上将相轨迹衔接成连续曲线，即可得到非线性系统的完整相图。 下面用分段线性方法来分析几种典型的非线性控制系统。,图7.2-9 由系统的相轨迹画时域 曲线,对式(7.2-18)、式(7.2-21)、式(

15、7.2-22)，由,，当,取不同值时，有表7.2-2。,表7.2-2,图7.2-12 例 7.2-4系统在阶跃作用下的等倾线、切线场与完整相轨迹,图7.2-13 斜坡信号作用下的三种相轨迹图,7.2.3 描述函数法 描述函数法是一种近似方法。在一定的条件下，通过对非线性部 件的基波输出分量进行谐波线性化近似并得到非线性部件的描述函 数，再按照线性系统的频域法对非线性系统的稳定性和自振进行分 析；描述函数法不受系统阶次的限制，在非线性控制系统的初步分 析和设计中非常方便；描述函数法的缺点是不如相平面法精确。 1. 谐波线性化 所谓谐波线性化，就是用非线性元件在正弦输入下输出的基波分 量近似取代输出的过程。 非线性元件的描述函数 N(X)定义为非线性元件在正弦输入下输 出的基波分量与正弦输入的复数比，即 （7.2-33）,谐波线性化是有条件的，具体