自动控制原理 教学课件 ppt 作者 孟华 第8章

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1、自动控制原理（第2版） 孟华 主编,机械工业出版社,第8章 非线性系统分析,自动控制原理,2,第 8 章 非线性控制系统,8.1 概述 8.2 非线性系统的特点 8.3 相平面法 8.4 描述函数法 8.5 MATLAB在非线性控制系统分析中的应用,自动控制原理,3,8.1 概述,非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。 由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解，通常采用工程上适用的近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函数法 （3）逆系统法,自动

2、控制原理,4,1.相平面法: 一种图解分析方法，适用于具有严重非线性特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。 2.描述函数法: 一种等效线性化的图解分析方法，该方法对于满足结构要求的非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。,3.逆系统法: 运用内环非线性反馈控制，构造伪线性系统，以此为基础，设计外环控制网络，该方法直接应用数学工具研究非线性控制问题，是非线性系统研究的一个发展方向。但是，这些方法主要是解决非线性系统的“分析”问题，且以稳定性问题为主展开的。非

3、线性系统的“综合”方法的研究成果远不如稳定性问题研究所取得的成果。,自动控制原理,5,1. 饱和特性 2. 死区特性 3.间隙特性,图8.1 饱和非线性特性,图8.2 死区非线性特性,图8.3 间隙非线性特性,8.2.1典型非线性特性,自动控制原理,6,4. 继电器特性,图8.4 继电器型非线性特性,自动控制原理,7,8.2.2非线性系统的运动特点,由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，叠加原理不再适用，因此非线性系统的运动表现出以下特点： 1.稳定性分析复杂 2.系统的零输入响应形式 3.自激振荡(极限环) 4.频率响应 ,自动控制原理,8,1.稳定性分析复杂: 在研究非线性系统

4、的稳定性问题时，必须要明确两点： a.指明给定系统的初始状态或输入信号 b.指明相对于哪一个平衡状态来分析系统的 稳定性。 2.系统的零输入响应形式: 线性系统的零输入响应形式与系统初始状态的幅值无关 。某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。当初始状态不同时，同一个非线性系统可能有不同的响应形式，如单调收敛、振荡收敛或振荡发散等。,自动控制原理,9,例如：具有分段线性特性的非线性增益控制系统，当初始状态(初始误差)。 E时，系统的零输入响应形式为振荡收敛形式 ，如图8.5所示,自动控制原理,10,3.自激振荡(极限环): 线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如果阻尼比=0，在初始

5、状态的激励下，系统的零输入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即使很微小的变化，也将导致 0 ；二是假定系统的参数不变， 0 ，然而，系统不可避免地会受到扰动，将使响应的振幅A发生变化，因此，原来的等幅周期振荡不复存在。,自动控制原理,11,4.频率响应: 在正弦输入信号作用下，非线性系统呈现出一些在线性系统中见不到的特殊现象，诸如跳跃谐振和多值响应、倍频振荡和分频振荡、频率捕捉(跟踪)现象等。 图8.6为一机械系统，由重物、阻尼器、非线性弹簧组成。其动态特性的

6、微分方程为 (8-1) 式中 重物的位移； M质量； B阻尼器的粘性摩擦系数； 非线性弹簧力。,自动控制原理,12,图8.7描绘了大于零、等于零、小于零三种情况下频率和振幅的关系。在对图8.6所示的系统进行强迫振荡实验 时，系统的微分方程为式中为外作用函数。 式中 为外作用函数,图8.6 机械系统 图8.7 频率和振幅的关系曲线,自动控制原理,13,因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实验中是观测不到的。 (a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统 图8.8 机械系统的频率

7、响应,自动控制原理,14,8.3相平面法,相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、斜坡或脉冲信号等)的二阶系统 8.3.1 相平面的基本概念 8.3.2 相平面图的绘制方法 8.3.3 奇点和极限环 8.3.4 相平面分析举例,自动控制原理,15,8.3.1相平面的基本概念,考虑二阶线性系统 (8-2) 式中 与 是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。 设系统仅由初始条件激励。这一系统的状态可以用两个变量， 和 来描述。若

8、令，则方程(8-2)可化为 (8-3) (8-4) 只要给定初始条件 、 或 、 ，由这两个一阶联立微分方程便可唯一地确定系统的状态。如此定义的变量和称为相变量(或状态变量)。图8.9(a)绘出了初始条件为及时，和在不同阻尼下的时间响应曲线。,自动控制原理,16,（a） (b),图8.10 相平面图,图8.9 时间响应与相轨迹,自动控制原理,17,8.3.2 相平面图的绘制方法,设描述二阶系统的微分方程为 (8-5) 是的线性函数或非线性函数。若令为相变量，并将式(8-5)化为两个一阶微分方程 (8-6) (8-7) 用式(8-6)去除式(8-7)，于是得到一个以x为自变量，为因变量，不显含时

9、间t的一阶微分方程 (8-8) 式(8-8)给出了相轨迹通过点的斜率。根据此式，用解析法或图解法即可绘出相平面图。,自动控制原理,18,1.相平面图的特点 :相平面图的对称性, 相平面图往往是关于原点或坐标轴对称的，故绘制时可只画其中的一部分， 而另一部分可根据对称原理添补上。相平面图的对称性可以从相轨迹的斜率来判断。 若相平面图关于轴对称，则相轨迹曲线在 和 点上的斜率相等，符号相反。由式(8-8)，应有 即 是关于x的奇函数。 若相平面图关于x轴对称，则相轨迹曲线和的斜率相等，符号相反，应有 即 是关于 的偶函数。 ,自动控制原理,19,若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在 和 点上的斜

10、率相等，符号相同，应有 即有 。,自动控制原理,20,1.相平面图的特点 :相平面图上的奇点和普通点,相平面上任一点 ，只要不同时满足 和 ，则由式(8-8)确定的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条，这样的点称为普通点。在相平面上，同时满足 和 的点，由于 相轨迹的斜率不是一个确定的值，说明通过该点的相轨迹曲线有一条以上，这样的点称为奇点，显然奇点只分布在相平面的x轴上。,自动控制原理,21,（3）相轨迹通过x轴的斜率 在x轴上，所有点都满足 。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为 所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。,（4）相轨迹移动的方向 在相平面的上半平面，由于，则x随着参变量时间

11、t的 加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之， 下半平面，由于，则x随着时间t的增加而减小，所以系统 态沿相轨迹由右向左运动。系统状态沿相轨迹的移动方向 相轨迹上的箭头表示。,自动控制原理,22,2.绘制相平面图的解析法,若系统微分方程比较简单，则对式(8-8)直接积分即可求得相轨迹方程 (8-9) 式中包含了初始条件。给定不同初始条件，由 式(8-9)可直接绘出系统的相平面图。 若系统微分方程不能直接积分求解，则可先求得时间解 ， ，然后消去变量t求得相轨迹方程。若消去t有困难或过于烦杂，则可求得不同t时的x， 值，据此数值关系画出相轨迹曲线。,自动控制原理,23,例8-1 二阶系

12、统的微分方程为，试绘制系统的相平面图。,解 系统方程可改写为 (8-10) 方程(8-10)可用分离变量法进行积分，求得相轨迹方程为 (8-11) 式中C为常量，由初始条件确定。 设初始状态为 ，则C= 。由方程(8-11)可知，系统相轨迹为一组 以坐标原点为中心的椭圆轨迹簇，如图8.11所示。其中粗实线是初始 条件为 的相轨迹。 图8.11 例8-1的相平面图,自动控制原理,24,3.绘制相平面图的图解法等倾线法,例8-2 试用等倾线法求下列方程的相平面图。 (8-17) 解 式(8-17)是非线性微分方程,但可分解为两个线性微分方程 ， (8-18) , (8-19) 由方程(8-17)可

13、知 ,而 。因此 相平面图对称于x轴。 由式(8-18)可得上半平面的等倾线方程：,自动控制原理,25,8.3.3奇点和极限环,1.奇点 对于二阶系统 (8-21) 相轨迹的斜率可表示为 (8-22) 在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即同时满足 (8-23) 如果把相变量x视为位移，于是和可以理解为速度和加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因此奇点就是系统的平衡点。,自动控制原理,26,系统奇点的分类,焦点 节点 中心点 鞍点,自动控制原理,27,2极限环,（1）稳定极限环 （2）不稳定极限环 （3）半稳定极限环 图8.16 极限环示意图,自动控制原理,28,解 由 求得系统的奇点为

14、 根据式(8.25)在奇点处进行线性化来确定奇点的性质。在(xi ,0)奇点附近，系统的线性化方程为 在奇点(0，0)处，xi = x1 =0，则系统的线性化方程为 式中阻尼比0 1，因此奇点(0，0)为稳定焦点。 在奇点(-2，0)处，xi = x2 =-2，代入前式得线性化方程为 由奇点类型可知，奇点(-2，0)为鞍点，是不稳定奇点。,例8-3 某系统方程如下，试分析系统的稳定性,自动控制原理,29,利用等倾线法可求得相平面图，如图8.17所示。可以看到通过鞍点的一条分界线，把相平面分为两个区域。在阴影区域内，所有相轨迹都收敛于稳定焦点(0，0)，是稳定区域。在此范围外，则所有相轨迹都将趋

15、于无穷，是不稳定区域。这证实了非线性系统的重要特点：系统的稳定性与初始条件有关。 图8.17 例8-3的相平面图,自动控制原理,30,8.3.4 相平面分析举例,1.继电型控制系统的分析: （1）理想继电器特性,图8.18 理想继电器型非线性系统 0,设继电型控制系统如图8.18(a) 所示,试分析在阶跃信号作用下系统 的性能。继电型特性为：当e0时， m = M；当e0时，m = -M。因此 分界线为直线e = 0。它把相平面分 成两个线性区域区、区 。,自动控制原理,31,在区域内，e0，m=M，系统方程为 (8-26) 由(8-26)式可得等倾线方程 等倾线是平行于e轴的直线，其中有一条特殊的等倾线，即当a = 0时的等倾线 ，此时，相轨迹的斜率与相应的等倾线斜率相等，全部相轨迹曲线都趋近于该直线 。相轨迹曲线簇如图8.18(b)右半平面所示。 在区