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1、第2章 控制系统的数学模型,2.1 引言,系统的数学模型是指描述系统输入输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,静态数学模型,动态数学模型,动态数学模型有多种形式,时域中的数学模型,微分方程、差分方程、状态方程,复域中的数学模型,传递函数、动态结构图、信号流图,频域中的数学模型,频率特性,建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法,要求模型尽可能符合实际物理系统的特性，并且准确可靠；在满足精度要求的情况下，建立的数学模型应尽可能简单,2.2 控制系统的微分方程,一、建立系统或元件的微分方程的步骤,1、确定系统或元件的输入量和输出量,2、依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方
2、程,4、对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出量放左边，输入 量放右边，按降幂排列。,3、消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程,例2-1,图示电路,列写微分方程,例2-2,整理后,图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的运动方程。,解：f-阻尼系数 k-弹性系数 根据牛顿第二定律,式中,例2-3,列写两级RC电路的微分方程,解：根据克希霍夫定律，可写出下列方程组,消去中间变量,该电路是由两个一级RC电路串联而成，后一级RC电路中的电流影响着前一级RC电路的输出电压 ，这就是负载效应。,若要消除负载效应，可在两个RC电路之间设置隔离放大器
3、,这时所列写的微分方程为,例2-4,有源网络如图所示。列写输出与输入之间的微分方程,解：由运算放大器的基本特性和克希霍夫定律，列写出下列方程,消去中间变量,例2-5,列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。,ua取为输入量，m为输出量。,解：,消去中间变量,这是三阶线性常系数微分方程，描述了电机转角与电枢电压和负载力矩之间的关系,忽略电枢电感,得,其中,若以,为输出量,例2-6,直流调速控制系统如图所示。以给定电压为系统的参考输入，电动机转速为系统的输出，列写微分方程。,解：,消去中间变量,例2-7,位置随动系统如图 所示，以手柄给定转角系统的输入，工作机械的转角为系统的输出，列写系统的微分方
4、程。,桥式电位计,放大器,电动机,电机输入输出方程为,减速器,工作机械,消去中间变量,若忽略,的数值，考虑,，并令,可简化为,位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程,二、非线性微分方程的线性化,能够用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。,线性系统的重要性质是满足叠加原理，即具有可加性和齐次性。,对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外部输入同时加在系统上，则可以对各个输入分别处理。可加性和齐次性使线性系统的分析大为简化。,严格地说，构成控制系统的各类元件的输入变量和输出变量之间都存在不同程度的非线性特性，,将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程的方法，称为非线性微分方程的
5、线性化,“小偏差法”是常用的一种线性化方法,考虑到实际控制系统都有一个设定工作状态，即系统中各个变量都在各自的设定值（工作点、平衡点）附近作小范围变化，“小偏差法”的基本思想是，对于描述非线性元件输入与输出之间特性的非线性函数，在元件工作点邻域内展开成泰勒级数，在能够忽略二次以上各项的条件下，用泰勒展开式的一次项近似表示元件输入输出特性函数，使得系统中非线性元件线性化，从而使描述系统的非线性微分方程线性化。,使用小偏差法的步骤包括：,1将非线性元件线性化,2将非线性微分方程增量化,3将非线性微分方程线性化,例2-8,单容水箱液位系统如图所示。,为水箱的流入量，,为流出量，水箱液面高度为,，水箱
6、的截面积为,列写,与,之间的线性化微分方程。,解：,设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，有,通过负载阀（节流阀）的液体是紊流，根据流体力学,是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时为常数。,这是一个一阶非线性微分方程。,液位系统在平衡点附近小范围内工作时，各变量可以表示为,称为水阻,考虑平衡点处,是系统的非线性微分方程的线性化结果，是平衡点附近的线性增量方程。,简记为,例2-9,铁芯线圈及其非线性特性如图,为输入，,为输出,列写微分方程并进行线性化。,解：,是一个非线性微分方程。,忽略二次方以上的各项，得到,使用小偏差法进行线性化时，须注意满足它的应用条件：（1）要求输入输出变量在平衡点附
7、近作小范围变化，否则忽略泰勒展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。（2）要求非线性特性曲线在平衡点处连续可导，对某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能使用小偏差法。,三、 用拉氏变换求解线性常系数微分方程,线性常系数微分方程的求解可以采用拉氏变换法。求解过程如下：,1对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，又称变换方程。 2将输入量和初始条件代入变换方程进行求解，得到输出量的拉氏变换函数表达式。 3将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。 4对部分分式进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为微分方程的全解。,例210,求得RLC无源网络的输入输出微分方程,已知,求输出电压
8、,对微分方程两边进行拉氏变换,解：,2.3 线性定常系统的传递函数,一、传递函数的定义和性质,定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比,二、传递函数的一般形式,根据传递函数的定义,1、传递函数的概念只适用于线性定常系统； 2、传递函数是复变量S的有理真分式，即 且所有的系数均为 实数。 3、传递函数中各项系数完全取决于系统的结构参数，并且与微分方 程的各项系数相等。 4、传递函数是零初始条件下定义的，它与输入信号的拉氏变换的乘 积仅反映零状态响应的规律。 5、传递函数只表示单输入单输出身体的输入输出关系，不能反映中 间变量的情况。多输入多输出系统要用传递函数矩阵
9、表示。,三、关于传递函数的几点说明,四、典型环节及其传递函数,任何一个复杂的系统，从结构上看都可以由不同的元部件组成。从数学模型来看，一个复杂系统的传递函数，可以分解成一些具有典型特性的环节。,比例环节,由例2-5，微分方程为,3、微分环节,测速发电机,由例2-5，电枢控制的它励直流电动机,无源网络（微分校正电路）,由例2-2 弹簧质量阻尼系统,为了便于对控制系统进行模拟仿真实验，通常采用无源或有源电路实现各种典型环节,五、控制系统的传递函数,求一个较为复杂的控制系统的传递函数，同样需要首先列写控制系统中各个变量之间的微分方程，得到微分方程组。根据列写的微分方程组，可以通过两种途径求系统的传递
10、函数：,一是首先在微分方程组中消去中间变量，然后在零初始条件下进行拉氏变换，求得系统的传递函数；,二是先对微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，然后在获得的代数方程组中消去中间变量，求得系统的传递函数。,例211,位置随动系统如图 所示，以手柄给定转角系统的输入，工作机械的转角为系统的输出，列写系统的传递函数 。,解：,微分方程,在零初始条件下，对上面各方程进行拉氏变换，得到一组代数方程,消去中间变量,其中,令,忽略,的情况下，,2.4 控制系统的结构图,一、结构图的组成,结构图是描述系统中各元部件的功能和信号之间传递关系的图解表示。,（1）信号线：带有箭头的直线。箭头表示信号 的传递方向，线
11、上标记信号的时间函数或象函数； （2）引出点（测量点）：信号引出或测量的位置。 从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同； （3）比较点（综合点）：对两个以上的信号进行 加减运算。用“+”、“-”表示，“+”有时可省略； （4）方框（环节）：表示方框的输出信号与输入信号 之间的传递关系。方框中写入元部件或系统的传递函数。,二、结构图的绘制,步骤：（1）列写系统各元部件的微分方程； （2）在零初始条件下，对各微分方程进行拉式变换，并将每一个变换方程用方框表示； （3）按系统中各变量的传递顺序，依次将方框连接起来。将系统的输入变量置于左端，输出变量置于右端，得到系统完整的结构图。,例212,绘
12、制图示RC无源网络的结构图。,例213,位置随动系统的结构图,绘制,设外加阻力矩,关于结构图的几点说明： 1在结构图中，每一方框中的传递函数都应该是考虑了负载效应后的传递函数。因此在结构图中，后一方框对前一方框无影响，信号仅按箭头的方向传递。 2描述一个系统的结构图不是唯一的。选择不同的中间变量可得到不同的结构图，但系统总的传递函数唯一，也就是说系统的输入输出关系是不会改变的。 3结构图中的方框与实际系统的元部件并非一定是一一对应的。一个元件可能用多个方框表示，一个方框也可能表示多个元件。 4结构图包含了系统的全部内容，和微分方程、传递函数一样，也是系统的一种动态模型，是一种图形化的数学模型。
13、,一个复杂的系统结构图经过等效变换为一个方框可得身体的传递函数。 等效变换：变换前后，系统输入输出总的数学关系保持不变。 等效变换原则：（1）变换前后前向通路中传递函数的乘积保持不变； （2）变换前后回路中传递函数的乘积保持不变。,三、结构图的等效变换,串联方框的等效变换,2并联方框的等效变换,3反馈方框的等效变换,证明：,4综合点（比较点）和引出点的移动 1）综合点前移（逆着信号线的指向移动）,证明：,2）综合点后移,3）相邻综合点之间的移动,4）引出点前移,5）引出点后移,6）相邻引出点之间的移动,7）综合点和引出点交换位置,5负号在支路上的移动,例214,化简下面的结构图，并求传递函数,
14、解：,例215,一个两输入两输出系统的结构图如图所示。求传递函数,解：,对于多输入系统，化简时应对每个输入逐个化简，分别求传递函数。,令,令,例216,对图所示结构图进行化简求传递函数,解：,从上面的几个例题可以总结出结构图化简求传递函数的步骤如下： 1 确定系统的输入量和输出量。如果系统有多个输入量或输出量，要分别进行结构图化简，求各自的传递函数。 2 应用移动规则，消除回路之间的交叉联系，使系统的结构图变换为无交叉的多回路结构。注意在消除交叉联系时，应力求避免相邻的综合点与引出点之间交换位置。 3 对多回路系统，由里向外进行变换，直至变为一个方框，即可得到输入输出总的传递函数。,2.5 控
15、制系统的信号流图,1、信号流图的概念,信号流图：由节点和支路组成的信号传递网络，是一种表示一组联立线性代数方程的图。 例如： 几个术语 节点：用来表示变量或信号的点，用“。”表示。 支路增益：两个节点之间的增益。 支路：连接两个节点的定向线段，具有一定的增益。（乘法器） 输入节点（源节点）：只有输出支路的节点，对应于自变量。,输出节点（阱节点）：只有输入支路的节点，对应于因变量。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。 通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径。 前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。 前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积。 回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。 回路增益：回路中各支路增益的乘积。 不接触回路：如果回路之间没有公共节点，称它们为不接触回路。,在使用信号流图时应注意以下几点： （1）节点变量是所有流向该节点的信号之和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点变量表示。 （2）支路表示了一个节点信号到另一个节点信号的传输关系，信号只能沿着支路上的箭头方向传递。 （3）在混合节点上
