自动控制技术项目教程 教学课件 ppt 作者 贺力克 第2章自动控制系统的数学模型

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1、第2章 自动控制系统的数学模型,2.1数学模型简介 2.2典型环节的传递函数和功能框图 2.3自动控制系统的框图,制作:贺力克 陈 义,1. 建立系统微分方程的一般步骤 建立系统微分方程的一般步骤如下： （1） 全面了解系统的工作原理、 结构组成和支持系统运动的物理规律， 确定系统的输入量和输出量。 （2） 一般从系统的输入端开始， 根据各元件或环节所遵循的物理规律， 依次列写它们的微分方程。,2.1.1 系统的微分方程,2.1 数学模型简介,例2-1直流电动机的微分方程。 1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的关系。 直流电动机有两个独立的电路:一个是电枢(A

2、rmature)回路，有关物理量的角标用表示，为直观起见，现将电枢的电阻和漏磁电感单独画出；另一个电路便是励磁回路,有关物理量的角标用表示。直流电动机的电路图如图2-1所示。,直流电动机各物理量间的基本关系式如下： 电枢电路： 电磁转矩： 运动方程： 反电动势：,图2-1 直流电动机电路图,若以,及,代入式（2-3）有,式中，,称为转速惯量，,式(2-3)还可写成,2.确定输入量与输出量 以电枢电压 为输入量,电动机转速 为输出量来列写电动机的微分方程,而将负载转矩 作为电动机的外界扰动量。 3.消去中间变量，并将微分方程整理成标准形式 按照前面叙述的步骤将微分方程整理成标准形式,就可得到以

3、为输入量，以 为输出量，以 为扰动量的直流电动机的微分方程：,式中为电动机的机电时间常数 为电枢回路的电磁时间常数,4.对微分方程进行分析与简化 由式(2-5)可见,电动机的转速和电动机本身的固有参数 、 有关,和电枢电压 有关,还和负载转矩 以及负载转矩对时间的变化率 有关。 若不考虑电动机的负载转矩，即设 ，于是式(2-5)可简化成 考虑到直流电机电枢漏感 一般较小，可假设 ，则Ta=0 若 ，则式(2-8)可简化为,2.1.2 传递函数,1. 传递函数的定义 传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引申出来的概念。 微分方程这一数学模型不仅计算麻烦， 并且它所表示的输入、 输出关系复杂

4、而不明显。 但是， 经过拉氏变换的微分方程却是一个代数方程， 可以进行代数运算， 从而可以用简单的比值关系描述系统的输入、输出关系。据此， 建立了传递函数这一数学模型。,传递函数的定义为： 在初始条件为零时， 输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。 即,传递函数G(s)=,输出量的拉氏变换,输入量的拉氏变换,(2-10),2. 传递函数的一般表达式 如果系统的输入量为r(t)， 输出量为c(t)， 并由下列微分方程描述:,在初始条件为零时， 对方程两边进行拉氏变换, 有 ansnC(s)+an-1sn-1C(s)+a1sC(s)+a0C(s) =bmsmR(s)+bm-1sm-1R(s)

5、+b1sR(s)+b0R(s) 即 (ansn+an-1sn-1+a1s+a0)C(s) =(bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0)R(s),根据传递函数的定义有,(2- 11),3. 传递函数的性质 传递函数有以下性质： (1)唯一性 传递函数是由微分方程变换得来的， 它和微分方程之间存在着一一对应关系。 对于一个确定的系统（输出量与输入量都已确定）， 它的微分方程是唯一的， 所以， 其传递函数也是唯一的。,(2) 传递函数是复变量s(s=+j)的有理分式， s是复数， 而分式中的各项系数an,an-1,a1,a0, 以及bm,bm-1,b1,b0都是实数， 它们是由组成系统的元件的参数

6、构成的。,有理性,(3) 传递函数是一种运算函数。 由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)， 此式表明， 若已知一个系统的传递函数G(s)， 则对任何一个输入量r(t)， 只要以R(s)乘以G(s)， 即可得到输出量的象函数C(s)， 再经拉氏反变换， 就可求得输出量c(t)。,运算性,(4) 动态特性 传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程的多项式， 即传递函数的分母是特征方程（Characteristic Equation） ansn+an-1sn-1+a1s+a0=0 等号左边的部分。 而以后的分析表明： 特征方程的根反映了系统动态过程的性质， 所以由传递函

7、数可以研究系统的动态特性。 特征方程的阶次n即为系统的阶次。,（5）数学模型 传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。,2.1.3 系 统 框 图 （结构图）,框图（Block Diagram）又称结构图， 它是传递函数的一种图形描述方式， 它可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系， 具有简明直观、 运算方便的优点， 所以框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。 框图由信号线、 引出点、 比较点和功能框等部分组成， 它们的图形如图 2 所示。,图 2

8、- 框图的图形符号,1. 功能框（Block Diagram） 如图 2- (a)所示， 框左边向内箭头为输入量（拉氏式）， 框右边向外箭头为输出量（拉氏式）， 框内为系统中一个相对独立的单元的传递函数G(s)。 它们间的关系为C(s)=G(s)R(s)。,2. 信号线（Signal Line） 信号线表示信号流通的途径和方向， 流通方向用箭头表示。 在系统的前向通路中， 箭头指向右方， 信号由左向右流通。 因此输入信号在最左端， 输出信号在最右端。 而在反馈回路中则相反， 箭头由右指向左方， 参见图 2- 。,图 2- 典型自动控制系统框图,3. 引出点(Pickoff Point) 如图

9、2 (b)所示， 引出点(又称分点)表示信号由该点取出， 从同一信号线上取出的信号， 其大小和性质完全相同。 4. 比较点（Comparing Point） 比较点如图 2 (c)所示。 比较点又称和点（Summing Point）， 其输出量为各输入量的代数和。 因此在信号输入处要注明它们的极性。,图 2-为一典型自动控制系统的框图。 它通常包括前向通路和反馈回路（主反馈回路和局部反馈回路）、 引出点和比较点、功能框中均为传递函数。图中，各种变量均标以大写英文字母的拉氏式，如输入量R(s)、 输出量C(s)、扰动量D（s）、反馈量B(s)和偏差量E(s)等。,2.2 典型环节的传递函数和功能

10、框图,1. 比例环节(Proportional Element) （1） 微分方程 c(t)=Kr(t) （2）传递函数 （3）实例 常见的比例环节， 如电子放大器、 齿轮减速器、杠杆机构、弹簧、电阻、质量、电位器等，见图 2-。,比例环节框图及响应曲线 (a） 比例环节框图； (b） 比例环节单位阶跃响应,图 2-4 比例环节的实例,2. 积分环节(Integral Element),(2-15）,（ T为积分时间常数）,（1） 微分方程 （2）传递函数 （3）实例 积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元件 一般都含有积分环节。 例如水箱

11、的水位与水流量，烘箱的温度与热流量(或功率)，机械运动中的转速与转矩，位移与速度，速度与加速度，电容的电量与电流等等。 积分环节也是自动控制系统中遇到的最多的环节之一。,积分环节框图及响应曲线 (a） 积分环节框图； (b） 积分环节单位阶跃响应,图 2-5 积分环节的实例,3. 理想微分环节(Derivative Element) （1） 微分方程 （2）传递函数 （3）实例 理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为倒数。,(2 - 19),为微分时间常数。,图2-6 理想微分环节 a)功能框 b)阶跃响应 c)实例,微分环节框图及响应曲线 (a） 微分环节框图；

12、 (b） 微分环节单位阶跃响应,c(t)的单位阶跃响应曲线如上图(b)中的c(t)所示， c(t)是理想微分环节的单位阶跃响应曲线， 其在t=0的时刻， 输出c(t)从0， 再从0。 实际上微分特性总是含有惯性的， 实际微分环节的微分方程为,其传递函数为,则单位阶跃响应,c(t)的输出量变化曲线如上图 (b)所示。,4. 惯性环节(Inertial Element) （1） 微分方程 （2）传递函数 （3）实例,式中， T为惯性环节的时间常数。,图 27 惯性环节框图及响应曲线 (a） 惯性环节框图； (b） 惯性环节单位阶跃响应,通常含有一个储能元件和一个耗能元件的部件，就可能构成一个惯性环

13、节。 惯性环节常见的惯性环节如图 2 - 8所示。,图 2 8 惯性环节实例,【实例1】电阻、电感电路，如图28a所示。 由基尔霍夫定律可得电路微分方程： 对上式进行拉氏变换,并整理后可得,【实例2】电阻、电容电路，如图28C所示。 由图可见， 以 代入上式， 进行拉氏变换，并整理后可得,2.2.5 比例微分环节(Proportional Derivetive Element) 1微分方程 2传递函数与功能框 式中, 为微分时间常数。 比例微分环节的传递函数恰与惯性环节相反，互为倒数。 比例微分环节的功能框如图29a所示。 3动态响应 比例微分环节的阶跃响应为比例与微分环节的阶跃响应的叠 加，

14、如图29b所示。,图29 比例加微分环节 a)功能框 b)阶跃响应 c)实例,6. 振荡环节(Oscillating Element) （1） 微分方程 （2）传递函数,(2- 19),式中, T为振荡环节的时间常数； 为振荡环节的阻尼 比（又称阻尼系数）。,式中，,(2-20),振荡环节框图及单位阶跃响应曲线 (a） 振荡环节框图； (b） 振荡环节单位阶跃响应,在自动控制系统中， 若包含着两种不同形式的储能单元， 这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交换的过程中， 就可能出现振荡而构成振荡环节。,【例】 图2-6为一RLC串联电路。若以电源电压作为输入电压，以电容器两端电压作为输出

15、电压，求此电路的传递函数。并分析此为振荡电路的条件。,图 2-6 RLC串联电路,【解】 由基尔霍夫定律有 而流过电容的电流 代入上式，并整理成标准形式。 其微分方程为 ,其传递函数为,令T2=LC, 则T= , 得,为无阻尼自然振荡频率。,为系统的阻尼比。,又令 , 得,当 ，即R=0时，其阶跃响应为等幅振荡。 当 ，即 时，其阶跃响 应为减幅振荡。 而当 ，即 时，其阶跃响应 为非周期过程，不具有振荡性质。 当 时，为单调上升曲线，并不振荡。,2.3 自动控制系统的框图,2.3.1 系统框图的画法 首先是列出系统各个环节的微分方程，然后进行拉氏变换，根据各量间的相互关系，确定该环节的输入量和输出量，得出对应的传递函数，再由传递函数画出各环节的功能框。 在各环节功能框的基础上，首先确定系统的给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节，直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量间的关系。 然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。 这样就可以得到整个控制系统的