任兴民 秦卫阳 第6章

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1、,工程振动基础,第6章 工程振动中的数值方法,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,工程振动基础,西北工业大学,第6章 工程振动中的数值方法,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,第6章 工程振动中的数值方法,6.1 概述,6.2 结构动态特性分析,6.3 多自由度系统的响应分析,工程振动基础,6.4 有限元方法简介,6.5 子结构模态综合法简介,6.6 有限元软件简介,6.7 传递矩阵法,第6章 工程振动中的数值方法,6.1 概述,工程振动基础,6.1 概 述,第6章

2、工程振动中的数值方法,数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。 工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析。,第6章 工程振动中的数值方法,6.2 结构动态特性分析,工程振动基础,6.2 结构动态特性分析,6.2.1 特征值问题的性质,结构无阻尼自由振动方程,将简谐运动,代入上式可得,（6-1）,（6-2）,（6-3）,（6-4）,或写成,其中， ； K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。, 特征系统的一些基本特性。,（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可

3、以是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。,6.2 结构动态特性分析,（2） 特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正交，即：,在式 中将特征向量归一化，即：,（6-5）,（6-6）,6.2 结构动态特性分析,上式称为归一化特征向量。,则式（6-5），（6-6）有,（6-8）,（6-9）,（6-7）,6.2 结构动态特性分析, (3) Rayleigh商和特征值的极大极小性质,定义：,对于任意x有,得到第i阶特征值,由式（6-8）和（6-9）可以看出，当x为系统的某阶特征向量时，则有,6.2 结构动态特性分析,（6-10）,（6-11）,（6-12）,（

4、6-13）, (4) 特征值的移轴性质,式（6-4）两边分别减去,，则有另一等价形式：,或写为,式中,式（6-4）和式（6-15）有相同的特征向量，但特征值相差，即：,6.2 结构动态特性分析,（6-14）,（6-15）,（6-16）, (5) 特征值的分隔性质,则对角矩阵D中有i个负元素。,如果有,6.2 结构动态特性分析, (6) 位移展开定理,以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。,对于n维空间中的任意向量x都可以按模态矩阵展开：,系数q可按下式确定：,6.2 结构动态特性分析,（6-17）,（6-18）,6.2.2 迭代法,任意选取适当

5、的初始向量x1，按迭代格式,则向量序列x1x2将收敛于相应的特征向量。,向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不仅适合于对称矩阵，也适合于非对称矩阵。,6.2 结构动态特性分析,（6-19）,对任意向量,则：,按迭代格式式（6-19）有,则：,由于当k增大时， xk+1可能会变得很大或很小，因此，在迭代过程中，需要将迭代向量规一化,6.2 结构动态特性分析,（6-20）,（6-21）,（6-22）,（6-23）,（6-24）, 迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性。, 根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要

6、选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。,6.2 结构动态特性分析,在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存在非奇异矩阵,6.2.3 变换法, 1. 广义特征值问题化为标准特征值问题,可得到标准特征值问题,所以,在上式中，前乘S -1，并令,则有,式中,6.2 结构动态特性分析,（6-28）,（6-29）,（6-30）, 2. 标准特征值问题的变换法,标准特征值问题常用的变换法有雅可比方法（Jacobi）、Givens方法、Householder方法，在一般的矩阵代数教材中均有详细叙述，在此我们只对雅可比方法简要介绍。,考察标准特征值问题,在经过k次

7、变换后，有,6.2 结构动态特性分析,（6-32）,雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对角化，对应的正交矩阵为,6.2 结构动态特性分析,（6-33）,当,则,当,6.2 结构动态特性分析,（6-34）, 如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅可比方法作变换，得到矩阵M、矩阵K共同的主轴，则这种方法称为广义雅可比方法。, Givens方法与雅可比方法类似，也是进行坐标旋转变换，但它不是把实对称矩阵A对角化，而只是三对角化。, Householdes方法也是一种将实对称矩阵化为三对角阵的方法。,6.2 结构动态特性分析,6.2.4 Sturm序列二分法,对于给定的对称三

8、对角矩阵,把矩阵三对角化后，还需要求解三对角矩阵的特征值问题。三对角矩阵求特征值比一般矩阵要容易得多，常用的方法有QR方法和Sturm序列二分法。,对于标准特征值问题的三对角矩阵，则常采用Sturm序列的二分法。通常，用Householder法和Lanczos法将标准特征值问题转化为三对角矩阵。,6.2 结构动态特性分析,（6-40）,其特征值的行列式为,定义其零阶主子式,6.2 结构动态特性分析,（6-41）,（6-42a）,以后的各阶主子式为,p0 , p1 , p2 , ，pn构成一个多项式序列，它是Sturm序列。,6.2 结构动态特性分析,（6-42b）,6.2.5 大、中型特征值问

9、题的求解方法, 1. Rayleigh-Ritz分析,在实际问题中，人们最关心的不是全部特征对，而只是其中的一小部分，例如，最低的前q阶（qn）特征对。在这种情况下，可以用一种近似的有效方法，将n阶广义特征值问题化为q阶广义特征值问题，这就是Rayleigh-RitZ分析法，或称为 Ritz变换法。,6.2 结构动态特性分析,若要求系统的前p阶特征对，则先选取q p个线性无关的向量yi，i1，2，q，令x为这些向量的线性组合，有,由式（6-10）得,由Rayleigh商性质，从式（6-13），有,6.2 结构动态特性分析,（6-44）,（6-45）,（6-46）,在极小化过程中，R(x)取极小

10、的必要条件是,利用二次型对向量求偏导的法则，得：,即,若记K*=YTKY，M*=YTMY，则,6.2 结构动态特性分析,（6-47）,（6-48）,（6-49）,同时，还可得到q个子空间的特征向量,在这个分析中，计算出的特征值近似值是取上界，即：,由式（6-47），则上式变为,式中K*和M*都是qp阶矩阵，是Ritz坐标向量，式（6-50）就是应满足的方程。,6.2 结构动态特性分析,（6-50）,（6-51）,（6-52）, 2. 子空间迭代法,子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶特征对的有效方法。它实质上是Rayleigh-Ritz方法和同时逆迭代方法的组合。,用同时逆迭代中的初始向量组作

11、为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新的Ritz基向量，即迭代向量。,6.2 结构动态特性分析,为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个初始迭代向量，这里q大于p，它们构成nq阶矩阵Xi，第k步的迭代式为,下面简要介绍子空间迭代的基本步骤。,形成子空间投影矩阵,求解子空间特征系统,6.2 结构动态特性分析,（6-53）,（6-54a）,（6-54b）,（6-55）,再计算近似的特征向量，也就是改进的新 Ritz基向量,因为,于是，Xk+1可作为新的迭代矩阵，当k时，有：,在上面的步骤中，每一

12、次迭代都要解q个线性方程组，求q个子空间特征对。,6.2 结构动态特性分析,（6-56）,（6-57）,（6-58）, 3. 行列式搜索法,行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及GramSchmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。,因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。,6.2 结构动态特性分析, 算法的基本过程,行列式搜索法是分别计算每一个特征值及特征向量。在求每个特征值时，主要有以下两个步骤，现以1为例来

13、说明。, 对于特征方程,用加速割线迭代公式求近似根 = k+1 即, 第二步以为移轴量，用向量逆迭代法进一步求精确的特征值1，以及对应的特征向量。,6.2 结构动态特性分析,（6-61）,（6-62）,以上两个步骤结束后，就求得了方程的特征值1。重复以上过程，就可以进一步求得更高阶的特征对。对于重根的情况，则只需通过正交化过程，重复上面的第二步即可。,6.2 结构动态特性分析, 4. Lanczos法,Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。,Lanczos方法用于标准特征值问题称为标准Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义

14、Lanczos法。,6.2 结构动态特性分析, （1）标准Lanczos法,设标准特征值问题,其中：K为nn阶矩阵。首先选取适当的初始迭代向量U1，且U1TU1=1计算,其中，,6.2 结构动态特性分析,（6-65）,（6-66）,（6-67a）,（6-67b）,（6-67c）,这里，k = 1, 2, , m -1n； 2为2范数。于是得,求解此矩阵的特征值，就是K的m个最高阶特征值。,6.2 结构动态特性分析,（6-68）, （2）广义逆Lanczos法,广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同。设广义特征值问题,其中K为nn阶实对称正定阵，M为对称阵。,选取适当的初始向量U

15、1，且U1TMU1=1，计算,令1=1，作,（1）,（2）,（3）,6.2 结构动态特性分析,（6-72）,（6-73）,（6-74a）,（6-74b）,（6-74c）,这里，k = 1, 2, , m。当km时，作完第（1）步，即求出m就停止迭代，于是得到全部的k和k就构成式（6-68）的m阶三对角矩阵Tm。,式（6-75）的全部特征值i(k = 1, 2, , m )就是广义特征值式（6-72）的最小特征值组的近似值。当mn时，就是截断广义逆Lanczos法。,（4）,（5）,求解此矩阵对应的标准特征值问题：,6.2 结构动态特性分析,（6-74d）,（6-74e）,（6-75）,第6章 工程振动中的数值方法,6.3 多自由度系统的响应分析,工程振动基础,6.3 多自由度系统的响应分析,动力学基本方程,空间一般采用有限元方法离散，对时间变量则采用差分方法离散。初始时刻（t =0）的位移、速度和加速度向量分别为 ,然后逐步从t=0到t=T进行数值积分，即可得到系