信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第3章-离散时间信号与系统 3-1 离散时间序列

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2、频率，即单位时间的样本数，为：,信号一般可以粗略划分为模拟信号和数字信号。,3-1-1 信号与序列,离散时间信号是采样间隔T和整数n的函数。 例如：离散时间信号,式中的整数n表示从参考时间点开始的样本序号。所以n=0对应于参考时间点，-n对应于负时间，也就是参考时间点之前的时间。 有时将离散时间信号表示为样本序号n的函数而非采样时间nT的函数会更方便。前者对应于离散时间信号x(nT)的序列x(n)，函数波形是n的函数。 图3-1-1给出了离散时间信号及其对应的离散时间序列的波形。,3-1-1 信号与序列,注意，序列是对信号进行时间归一化后的结果，其中归一化因 子就是采样间隔T。,3-1-1 信

3、号与序列,如果离散时间信号的样本值不依赖于采样间隔T，那么它所对应的序列就是所谓的离散时间序列。这时对任何T，序列值均一样，如图3-1-2所示。,图3-1-2 不依赖于采样间隔T的信号与序列,因此，在信号与系统的分析中，可以不必定义采样间隔而直接使用序列，并且由于分析结果也不依赖于采样间隔T，故如此描述序列是有一般性的。其实，如果必须考虑某个具体的采样间隔，只需要对一般结果施加合适的尺度变换即可。,3-1-1 信号与序列,综上所述，离散时间序列可以认为是在时间上取离散值但不考 虑其幅度是否离散化(或量化)的时间信号。离散序列一般用x(n) 表示，其中变量n为整数并表示时间的离散时刻。离散时间信

4、号 可用序列来表示。,序列是按一定顺序排列的数值x(n)的集合，可用下式之一描述：,(3-1-1),或,(3-1-2),或,(3-1-3),其中，式（3-1-3）右端中向上箭头表示在n = 0处的样本值。 为简便计，我们往往把序列x(n)直接写成x(n)。 注意，x(n)只有在自变量n取整数值时才有定义，对于n为非 整数情况，x(n)则未予定义，但不能将其视为零。另外，自 变量n还可以是力、距离、温度或者个数等，这样，离散时 间信号与系统的概念就比其名字所代表的含义要更为广泛。,3-1-1 信号与序列,内容安排,3-1-1 信号与序列,3-1-4 序列波形生成,3-1-2 序列的类型,3-1-

5、3 序列运算,3-1-2 序列的类型,对于信号与系统的分析计算，一般用如下方式描述序列x(n)：,1.单位样值序列,为了后续分析的需要，下面介绍几种在信号与系统中常用的典型序列：,离散时间单位样值序列定义为：,(3-1-4),单位样值序列 是数字域中的基本函数，它可以视为是图3-1-1所示的单位采样序列，但 并不是对连续时间冲激函数采样 而得到的。,3-1-2 序列的类型,移位单位样值序列 在 处的值为1，在其余各处均为0。将任意离散时间序列 与 相乘，其结果 除点 外其它处处为0。由此可得出离散时间单位样值序列的抽样性质：,(3-1-5),(3-1-6),及,式中,3-1-2 序列的类型,3

6、-1-2 序列的类型,图3-1-3 a）单位样值序列； b） 单位样值序列串,式（3-1-5）的意义在于，它指出任何离散序列 都可以用单位样值序列来描述。这是因为乘积 表示序列 在 处的样本值是 ，乘积 表示序列 在 处的样本值是 ，以此类推，任意序列 就可以描述为如下形式：,(3-1-7),其中， 称为单位样值序列串，简称冲激串。,3-1-2 序列的类型,单位样值序列 的意义和单位冲激函数 的意义相近，不同之处在于，当n0时， 1、而不是无穷大。,离散时间单位阶跃序列定义为：,3-1-2 序列的类型,2.单位阶跃序列,（3-1-8）,它的波形如图3-1-4所示。,图3-1-4 u(n)、u(

7、n-k) 和 u(k-n),根据式（3-1-7），可以用冲激串描述：,3-1-2 序列的类型,式中u(n-1)是u(n)的位移序列。一般而言，若序列y(n)与序列 x(n)满足关系y(n)x(n-k)，则称序列y(n)为序列x(n)的位移(或 延迟)序列。其中k为整数且当k 0时为前向（或右）位移， k 0，则u(k-n)的波形如图 (3-1-4c)所示。,（3-1-9）,同理，单位样值序列 也可以用移位阶跃序列来描述：,(3-1-10),单位阶跃序列u(n)可用来描述一个“通、断”过程，比如5V直流电源接通后的状态（或样本值）可以表示为5u(n)。,离散时间指数序列具有许多应用，例如可用于描

8、述经济系统、 人口模型、储能及能耗系统中存在的增长和衰落过程等。可以 定义为：,3.指数序列,3-1-2 序列的类型,（3-1-11）,式中A和K为实数或复数，且增长和衰落过程始于 时刻。若 ，则当 时序列 将发散；若 ，则当 时， 将衰减到0；若 ，则 单调递减；若 ，则 在趋于0的过程中将在正负值之间振荡。若 ，则 将在正负值之间振荡发散。如图3-1-5所示。,3-1-2 序列的类型,图3-1-5 指数序列的增减和振荡特性,如果A和K为复数，即 和,3-1-2 序列的类型,则式（3-1-11）可以重新写成：,（3-1-12）,式中 、 和 都是实数。 复数序列的实部和虚部可以分别绘图描述。

9、此外，也可以对上式分别绘制其幅度和相位图。特别对相位而言，它的取值范围一般为 ， 可以通过用实际相位减2的整数倍来实现。但通常绘制相位图时，相位 需要进行2的取模运算。,图3-1-6 给出了 的幅度、相位、实部和 虚部的波形。,3-1-2 序列的类型,图3-1-6 的幅度、相位、实部和虚部。,3-1-2 序列的类型,4.正弦序列,若以Ts 为采样间隔对一模拟正弦信号 进行采样，在 采样时刻的模拟正弦信号值就可表示为：,（3-1-13）,式中 是模拟角频率，n为采样点数， 为采样频率， 为初相角。于是上式又可写成：,（3-1-14）,式中 是归一化频率，称为数字频率（单位：周期/样本）， 是数字

10、角频率（单位：rad）。,3-1-2 序列的类型,由于模拟域中的采样值在数字域中通常被记为 ，因此，在不考虑量化误差的情况下就有：,（3-1-15）,显然，上式中：,（3-1-16）,建立了模拟频率 （或角频率 ）与数字频率 （或数字角频率 ）之间的关系。除此之外，假设 ，则有 ，即采样频率 对应于数字频率2。同样， /2也就对应于数字频率。在后面我们将看到离散序列信号的频率响应是以2为周期的周期函数，故习惯上绘制离散序列的频率响应时，其范围是 或 。,离散时间正弦序列不同于模拟正弦信号， 不等于被采样模拟信号的频率， 因此它既可以是周期序列也可以是非周期序列，换句话说离散时间正弦序列 在时间

11、上不一定是周期的，但它总是具有周期包络。如图3-1-7所示，其中a） 图正弦序列在16个样本后开始重复，而b）图序列却不重复。,3-1-2 序列的类型,a） b） 图3-1-7 正弦序列的周期与包络周期， a）x(n)是周期正弦、周期包络，周期N=16， b）x(n)是非周期正弦、周期包络,总之，对于一个重复序列，必定存在一对N和M，使得N个采样间隔 正 好等于该模拟信号的m个周期T，也就是要满足：,3-1-2 序列的类型,或,（3-1-17）,式中N为序列重复需要的采样点数，m是当N个采样点结束时模拟信号所经过的周期数。可以看出，只要分数 2/ 是一个有理数，那么正弦序列的周期将是 2/ 的

12、整数倍；如果 2/ 是一个无理数，那么序列是非周期的，尽管它有一个正弦包络。例如， 就是一个非周期序列。,在实际工作中除了能用数学解析式描述的离散信号序列外（这些序列可以通过它们的频谱以某种确定的形式给予表征），我们还可能遇到许多不能或不方便用数学解析式描述的离散信号序列。这些离散信号序列一般称之为随机或统计序列，对它们的描述通常需要用到所谓的概率密度函数（pdf）。 随机或统计序列也能用它们的各阶矩进行描述，如一阶矩（均值 ）、二阶矩（方差 ）以及高阶矩的概念。一般而言，一个随机序列完全由它的概率密度函数所定义，而它又唯一地被映射到各阶矩上。针对工程信号，仅仅由均值 和方差 就可以给出该序列

13、的概率密度函数，比如高斯分布型随机变量x的概率密度函数如下：,3-1-2 序列的类型,5.随机序列,（3-1-18）,上式给出的概率密度函数如果随时间变化，则信号序列就是非平稳的。,如果序列,3-1-2 序列的类型,6.周期与非周期序列：,（3-1-19）,成立，且N为满足关系式的最小正整数，则定义x(n)为周期序列，N为基本周期。如果一个序列是以N为周期的，那么它对于2N，3N以及所有其他N的整数倍都是周期的。如果式（3-1-19）对于任何整数N都不满足，则x(n)称为非周期序列。,由于周期为N的周期序列必然对于所有的n和某些整数N满足式（3-1-19），因此若在式（3-1-15）中用n+N

14、代替n，得到,为满足式（3-1-19），必有,（单位弧度） （3-1-20）,或,3-1-2 序列的类型,（单位弧度/周期），m，N为整数 （3-1-21）,这里再一次强调，与连续时间正弦信号不同，离散时间正弦序列在角频率 取任意值时并不一定是周期的。尤其对于由式（3-1-15）描述的序列，如果是周期的，其 必须满足式（3-1-21）这是一个有理数的2倍。另外，由于 是一个角度，故其单位为弧度；而N是的一个周期（循环）所包含的样本数，故 的单位是是弧度/周期。,例3-1-1 一个正弦序列存在如下关系：,3-1-2 序列的类型,显然，只有当 或 时， 才为周期序列，其周期亦为N。,如果 不是整数

15、，而是有理数，则 仍为周期序列，但周期 不为 ，而是N的整倍数，其倍数为分数 的不可约分母。若 不为有理数，则 不是周期序列，这时，一般称它是非周期的或拟 周期的。虽然正弦序列并非总是周期的，但它却具有周期包络。,例3-1-1 讨论的是时间域的周期性。在频域，正弦序列及其谐波序列总 是频率上的周期序列。为了说明这一点，针对式（3-1-15），给F 加一 整数 ，则式（3-1-15）变为：,3-1-2 序列的类型,总之，正弦序列只有在其数字频率F是一个有理分数时，才有时间上的周期性。但它总是具有频率上的周期性且周期 。,上式表明，如果 是整数，则 亦为整数，因此正弦序列在数字频率 处是一样的。也就是说，正弦序列具有频率上（即频域）的周期性，它的周期是 。,如果设 是周期为N1的序列， 是周期为N2的序列，则两者之和,3-1-2 序列的类型