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1、3.3.3 直梁的应力计算,梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力， 相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。,一 、 梁的弯曲正应力,1、变形几何关系,弯曲平面假设：,变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交。,2、物理关系,3、静力学关系,z轴必须通过截面的形心,横截面对y和z轴的惯性积为零， y和z轴为主轴,二 、最大弯曲正应力,圆形截面的抗弯截面系数,矩形截面的抗弯截面系数,空心圆截面的抗弯截面系数,例1 图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm， a=2m，F=1.5KN。 计算A截面上K 点的弯曲正应力。,解： 先计算截面上的弯矩,截
2、面对中性轴的惯性矩,A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边， 所以为拉应力。,二 、 平面图形的几何性质,反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量， 统称为截面的几何性质。,1 、形心和静矩,形心坐标公式：,静矩又称面积矩,组合图形是几个规则 而成的图形。,图形组合的静矩：,图形组合的形心坐标公式：,2 、惯性矩、惯性积和平行移轴定理,惯性矩定义为：,惯性积定义为：,极惯性矩定义为：,同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和 惯性积是不同的。,平行移轴公式,例3 计算图示T 形截面的形心和过它的形心 z轴的惯性矩。,选参考坐标系ozy,（2）计算截面惯性矩,三 、梁的弯曲剪应力,当梁的跨度很
3、小或在支座附近有很大的集中力作 用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大， 如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可 达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。,1、矩形截面梁的弯曲剪应力,Iz代表整个横截面对中性轴矩 z的惯性距；而Sz*则代表y处 横线一侧的部分截面对z轴的 静距。对于矩形截面，,矩形截面梁的弯曲 剪应力沿截面高度 呈抛物线分布； 在截面的上、下边缘,剪应力=0； 在中性轴(y=0), 剪应力最大，,剪应力最大公式：,2 、工字形截面梁的弯曲剪应力,腹板上的弯曲剪应力沿 腹板高度方向也是呈二 次抛物线分布， 在中性轴处(y=0)， 剪应力最大，,在腹板与翼缘的交接处(y=h/
4、2)，剪应力最小，,近似地得表示腹板 的剪应力,或,3、圆形截面梁的弯曲剪应力,在中性轴上， 剪应力为 最大值max,一般公式：,例4 梁截面如图 (a)所示，横截面上剪 力FQ=15KN。试计算该截面的最大弯曲剪应 力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。 截面的惯性矩Iz=8.84106m4。,最大弯曲剪应力发生 在中性轴上。中性轴 一侧的部分截面对中 性轴的静矩为：,解： 1.最大弯曲剪应力。,最大弯曲剪应力：,(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力,交接处的弯曲剪应力,3.3.4 梁的强度条件,为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一 定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度 条件和剪
5、应力强度条件。,一 、 弯曲正应力强度条件,弯曲正应力强度条件为：,要求梁内的最大弯曲正应力max不超过材料在 单向受力时的许用应力,利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算： 正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。,二、弯曲剪应力强度条件,最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态， 相应的强度条件为：,要求梁内的最大弯曲剪应力max不超过 材料在纯剪切时的许用剪应力,在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正 应力远大于最大弯曲剪应力。,但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较 大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座 附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件， 而且弯曲剪应力强度条件也可能
6、起控制作用。,例5 图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字 形，并承受均布荷载q作用。试校该梁的强度。已 知荷载集度q=25N/mm，截面形心离底边与顶边的 距离分别为y1=95mm和y2=95mm，惯性矩Iz =8.8410-6m4，许用拉应力t=35MPa， 许用压应力c=140Mpa。,解：（1）危险截面与危险点判断。,梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别 作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二 截面均为危险截面。,截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。 截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面 D的b点与截面B的c点处均受拉。,由于|MD|MB|，|ya|yd|,| 因此 |a|
7、d|,即梁内的最在弯曲压应力c,max发生在截面D 的a点处。至于最大弯曲拉应力t,max, 究竟发生 在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。,（2）强度校核。,梁的弯曲强度符合要求,例5 悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端 有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知 钢的许用应力=170Mpa，略去梁的自重， (1)试计算集中荷载F的最大许可值。 (2)若集中荷载为45 kN，确定工字钢的型号。,解：1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定 端处，其绝对值为：,Mmax=Fl=1.2F Nm,F的最大许可值为：,103N=26.2kN,由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为
8、,Wz=185103mm3,公式(8.16)得：1.2F(18510-6)(170106),(2)最大弯矩值 Mmax=Fl=1.245103=54103Nm,按强度条件计算所需抗弯截面系数为：,查附录可知，22b号工字钢的 抗弯截面模量为325cm3 ， 所以可选用22b号工字钢。,例6 例3.45中的18号工字钢悬臂梁，按正应力 的强度计算，在自由端可承受的集中荷载 F=26.2KN。已知钢材的抗剪许用应力 =100Mpa。试按剪应力校核梁的强度， 绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图， 并计算腹板所担负的剪力FQ1。,解：（1）按剪应力的强度校核。,截面上的剪力FQ =26.2kN。 由
9、附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸,Iz=1660104mm4,腹板上的最大剪应力,腹板上的最小剪应力为,（3）腹板所担负剪力的计算,可见，腹板所担岁的剪力占 整个截面剪力FQ的96.6%。,三、 提高梁强度的措施,在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是 梁的最大正应力，梁的正应力强度条件,1 、合理安排梁的受力情况,2 、选用合理的截面形状,矩形截面比圆形截面好， 工字形截面比矩形截面好得多,3、 采用变截面梁,思 考 题,1.推导梁平面弯曲正应力公式时作了哪些假设？ 在什么条件下才是正确的？为什么要作这些假设？,2在什么条件下梁只发生平面弯曲？,3. 什么是中性层和中性轴？ 直梁平面弯曲
10、时为什么中性轴通过截面形心？,4. 提高粱的弯曲强度有哪些措施？,习 题,3.41 一矩形截面梁，梁上作用均布荷载， 已知：l=4m，b=14cm，h=21cm，q=2kN/m，,试校核梁的强度。,弯曲时木材的容许应力,3.42 简支梁承受均布荷载如图所示。若分别采用 截面面积相等的实心和空心圆截面，且D1=40mm,试分别计算它们的最大正应力。 并问空心截面比实心截面的最 大正应力减小了百分之几？,3.43 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1 与F2作用，且F1=2F2=5kN。试计算梁内的最 大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的 弯曲正应力。,3.46 图示截面梁，横截面上剪力FQ
11、=300kN， 试计算：（a）图中截面上的最大剪应力 和A点的剪应力；（b）图中腹板上的最大剪应 力，以及腹板与翼缘交界处的剪应力。,3.47 图示矩形截面木梁，许用应力=10Mpa。 （1）试根据强度要求确定截面尺寸b。 （2）若在截面A处钻一直径为d=60mm的圆孔 (不考虑应力集中)，试问是否安全。,3.48 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载， 梁的截面如图所示。已知：,求梁截面中的的最大拉应力和最大压应力。,3.53 图示结构，承受集中荷载F作用，试校核 横梁的强度。已知荷载F=12kN，横梁用No.14 工字钢制成，许用应力=160MPa。,3.54矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m， b/h=2/3, q=10kN/m，=10MPa。 试确定梁横截面的尺寸。,3.55 图示简支梁由22b工字钢梁制成，上面作 用一集中力，材料的许用应力=170MPa， 试校核该梁的正应力强度。,3.57 如图所示悬臂梁，自右端作用一集中 力F=15kN,拭计算截面B-B 的最大弯曲拉应力 和最大弯曲压应力。,
