《数值计算方法 教学课件 ppt 作者 刘玲 第4章 函数逼近的插值法与曲线拟合法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法 教学课件 ppt 作者 刘玲 第4章 函数逼近的插值法与曲线拟合法（169页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 函数逼近的插值法 与曲线拟合法,目 录,4.1 Lagrange插值法 4.2 Newton插值法 4.2.1 差商及其性质 4.2.2 Newton插值公式 4.2.3 等距节点Newton插值公式 4.3 Hermite插值 4.4 三次样条插值 4.4.1 分段插值 4.4.2 三次样条插值 4.5 曲线拟合的最小二乘法 4.5.1 最佳平方逼近 4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法 4.6 MATLAB程序代码与算例,引言,许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然 在某个区间a，b上是存在的，有的还是连续的，但却只
2、能给出a,b上一系列点 这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。,引言,4.1 Lagrange插值法,Lagrange插值法,构造插值基函数,引理1 设在区间a,b上有n+1个互异节点 ，如果n次多项式 满足 则,构造插值函数Ln(x),计算机上算法实现,上式在计算机上实现容易：,Lagrange插值算法,误差估计,由Rolle定理知： 的相邻两个零点之间至少存在一个零点，即 在（a,b）内至少有n+1个互异零点。 同理对 应用Rolle定理知： 在（a,b）内至少有n个互异零点，如此反复应用
3、Rolle定理n+1次知： 在（a,b）内至少有一个零点 。,特例,例题,抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。 （3）相应的误差估计：,关于Langrange插值的几点说明,仅与已知数据 有关，与 的原来形式无关，但余式与 密切相关。 若 本身是一个不超过n次多项式，则,从 角度观察，内插误差要小些，即 。而外插有可能误差变大，因此要慎用。 Langrange插值也有其不足 为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的 全改变，也就是原来的数据不能利用，浪费资源；,差商的性质,差商的性质,重点插商,Newton插值计算,插商表1,插商表2,求Nn(x),插商表1计算简单，好实现，但数值不稳定。
4、 插商表2在计算机上稳定性好，但算法复杂。 计算Nn(x)常采用秦九韶程序（取n=4）,例题,在实际应用中 ，常是等距节点情况，即 这里h0为常数，称为步长，这时Newton插值公式就可以简化，为此我们引入差分概念。,等距节点Newton插值公式,插商与差分的关系 （1）用前插表示N(x) 在等距节点条件下有：,（2）用后插表示N(x),例题,Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性，但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高则光滑度越高。现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚
5、的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。,Hermite插值多项式,构造H(x),算法实现,算法4.3.1,Hermite插值余项,特例（n=1),例题,4.4 三次样条插值,前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。,4.4.1 分段插值,分段线性插值,分段线性插值,分段线性插值,缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在,分段三次Hermite插值,上述
6、分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。,分段三次Hermite插值,分段三次Hermite插值算法,例题,例题,4.4.2 三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,例题,例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件,解 做差商表(P111),由于是等距离节点,由第二类边界条件得,解方程得 将Mi代入式4.4.14)得,由于,故,45 曲线拟合的最小二乘法,插值
7、法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.,4.5.1 最佳平方逼近,定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:,容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.,内积的性质,函数的欧几里得范数,定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.,函数的欧几里得范数性质,线性相关的函数系,定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使,成立,则称函数系 是线
8、性相关的,否则称 是线性无关的.,线性相关的函数系的判定,定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式,不难证明 在R上线性无关. 定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .,最佳平方逼近,定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关. 记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足,则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且 其中 是法方程 唯一的一组解.,令 则误差为,特例,取 则法方程为 其中,例题,例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式. 解 设 由于,故法方程为 解得,平方误
9、差为,4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法,曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.,在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.,设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令,记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即,达到极小值,这里 是a,b上的权函数. 类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数 极值必要条件有,用向
10、量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为,其中,由于向量组 是线性无关, 故式(4.5.14)的系数行列式,故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解 其平方误差为,特例,例题,例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.,解 由式(4.5.16)可得 解方程组得 所以拟合二次函数为,平方误差为,例4.5.3 地球温室效应问题 下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高,解 为简化数据,从1880
11、年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1 (P119),从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系 为决定参数,将上式改写成,记 则有 这是已知数据相应地变为如下表所示,由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得 解方程组得:,相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为 就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求,以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年),
