《控制工程基础第3版 教学课件 ppt 作者 孔祥东 王益群课件 第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制工程基础第3版 教学课件 ppt 作者 孔祥东 王益群课件 第二章（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 控制系统的数学模型,第二章 控制系统的数学模型,控制工程是一门研究“控制论”在工程中应用的科学。,第二章 控制系统的数学模型,建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，这是控制工程的基本方法。,数学模型是描述物理系统的数学表达式。,建立数学模型的基本方法：,1.机理分析法 ：通过分析系统的内部运动规律，求解系统输入量与输出量之间的数学关系。,2.系统辨识法 ：利用实验数据建立系统输入量与输出量之间的数学关系。,第二章 控制系统的数学模型,第二章 控制系统的数学模型,第二章 控制系统的数学模型,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,微分方
2、程是根据系统的动力学特性列写出来的反映其动态特性的基本方程，这些方程通常需要用微分式表达，所以称为微分方程。,第二章 控制系统的数学模型,一、机械系统的微分方程,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,牛顿第二定律：一物体的加速度，与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向(作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系)。用公式可表示为,式中 作用在物体上的合外力； 物体的加速度； 物体的质量； 物体的惯性力。,(2-1),第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,如图2-1a所示的机械平移系统，可应用牛顿第二定律，得出微分方程式(2-2),
3、(2-2),图2-1b为回转运动的机械系统，相应的运动微分方程为,(2-3),图2-1 机械系统,a)平移系统,b)回转系统,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,例2-1,机械系统加速度计工作原理如图2-2所示，它用于测量某一运动物体(如车辆、飞机)的加速度。测量时，加速度计的框架固定在待测的运动体上，当运动体作加速运动时，该框架随之作同样的加速运动。,图2-2a 加速度计,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,例2-2,设有如图2-3a所示的齿轮传动链，由电动机M输入的扭矩为 ， 为输出端负载， 为负载扭矩。图中所示的为各齿轮齿数
4、， 、 、 及 、 、 分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。,图2-3 齿轮传动链 a)原始轮系 b)等效轮系,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,(2-4),根据式(2-3)可得如下动力学方程组,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,由齿轮传动的基本关系可知,于是由式(2-4)可得,令,称为等效转动惯量；,令,称为等效阻尼系数；,令,称为等效输出转矩。,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,将上式改为,则图2-3a所示的传动装置可简化为图2-3b所示的等效齿轮传动,第二章 控制系统的数学模型,二、电
5、气系统的微分方程,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律、电磁感应定律等基本物理规律列写。,根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,即,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,例2-4 有源电路网络,图2-5 有缘网络,如图2-5所示系统中， 为输入电压， 为输出电压， 为运算放大器开环放大倍数。,设运算放大器的反相输入端为A点。因为一般,(2-12),一般运算放大器的输入阻抗很高，所以,(2-13),据此，可列出,即,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系
6、统的微分方程及线性化方程,例2-5 电枢控制式直流电动机,如图2-6所示的系统，其中为电动机电枢输入电压；为电动机输出转角；为电枢绕组的电阻；为电枢绕组的电感；为流过电枢绕组的电流；为电动机感应电势；为电动机转矩；为电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量；为电动机及负载折合到电动机轴上的粘性阻尼系数。,图2-6 有缘网络,根据基尔霍夫定律，有,(2-14),根据磁场对载流线圈的作用定律，有,式中,电动机转矩常数。,(2-15),第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,将式(2-16)、式(2-18)代入式(2-14)，得,电枢电感La通常较小，若忽略 不计，系统微分
7、方程可简化为,当电枢电感La，电阻Ra均较小，都忽略时，系统微分方程可进一步简化为,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,三、液压系统的线性化微分方程,图中，x为阀芯位移输入；y为液压缸活塞位移输出；q L为负载流量；q1、q2分别为液压缸左、右腔的输入、输出流量；pL为负载压差；pS为供油压力；m为负载质量；A为活塞工作面积；d为阀芯直径。,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,又若阀口结构完全相同且对称，不考虑阀和缸的泄漏，则,，,。于是有,，因为,，,，于是式(2-19)变为,所以可以导出,(2-20),由液压流体力学可知,(2
8、-19),式中,阀口流量系数；,阀口过流面积，若为全周矩形开口，有,阀口压力降；,油液密度。,或,上式称为滑阀的静特性方程，是一个非线性函数，如图2-8所示。,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,(2-21),将式(2-20)在额定工作点附近展成泰勒(Taylor)级数，有,(2-22),设,，,式(2-22)减去式(2-21)，并舍去高阶项，得线性化流量方程,(2-23),不考虑泄漏时液压缸流量连续性方程为,(2-24),不考虑阻尼力等时液压缸力平衡方程为,(2-25),第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,将式(2-23)、式(
9、2-24)和式(2-25)联立，消去中间变量， 即得系统线性方程,线性化的过程中，有以下几点需要注意： 1) 线性化是相对某一额定工作点的，工作点不同，则所得的方程系数也往往不同； 2) 变量的偏差愈小，则线性化精度愈高； 3) 增量方程中可认为其初始条件为零，即广义坐标原点平移到额定工作点处； 4) 线性化只用于没有间断点、折断点的单值函数。,在机械工程中，常用到液压传动及其控制系统，由于典型的液压元件比电气元件更为非线性，在数学描述上更加复杂，为便于分析，往往在一定条件下，将非线性系统进行线性化处理。,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,由以上的一些例子，可
10、总结出列写系统微分方程的一般步骤： 1) 将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程；根据物理定律或通过实验等方法得出的物理规律列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化； 2) 将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。,第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的微分方程及线性化方程,四、相似系统,数学模型相同的物理系统称为相似系统。在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量。表2-1为质量-弹簧-阻尼机械平移系统、机械回转系统、电气系统和液压系统的相似变量。,相似系统的特点是一种物理系统研究的结论可以推
11、广到其它相似系统中去。利用相似系统的这一特点，可以进行模拟研究，即用一种比较容易实现的系统(如用电气系统)模拟其它较难实现的系统。,表2-1 相似系统的相似变量,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,一、拉氏变换及其特性,(一) 拉氏变换的定义,拉氏变换(Laplace Transform)是分析工程控制系统的基本数学方法之一。,时间函数f(t)，当t0时，f(t)=0，t0时，f(t)（称原函数）的拉氏变换记为,Lf(t)或F(s)（称象函数），且定义为,式中s= + j,若式(2-26)的积分收敛于一确定值，则函数 f(t) 的拉氏变换F(s)存在，这时f(t)必须满足,(
12、2-26),1)在任一有限区间内，f(t)分段连续，只有有限个间断点。 2)当时间t，f(t)不超过某一指数函数，即满足,式中M、a实常数。,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,例2-6 单位阶跃函数的拉氏变换。,由拉氏变换的定义式可求得：,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,例2-7 单位脉冲函数的拉氏变换。,由拉氏变换的定义式可求得：,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,例2-8 单位斜坡函数的拉氏变换,由拉氏变换的定义式可求得：,例2-9 指数函数eat的拉氏变换。,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,例2-10 正
13、弦函数sint和余弦函数cost的拉氏变换,根据欧拉公式，有,于是可以利用上面指数函数拉氏变换的结果，得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换。,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,拉氏变换对照表,表22,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,1.线性定理,(二）拉氏变换的运算法则,2.延迟定理,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,3.位移定理,4.相似定理,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,5.微分定理,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,6.积分定理,证明：,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变
14、换,7.初值定理,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,8.终值定理,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,9.象函数的微分性质,10.象函数的积分性质,证明：,(2-40),(2-41),第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,11.卷积定理,(2-42),第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,二、拉氏反变换及其计算方法,1. 拉氏反变换的定义,(1)查表法，表22 ； (2)部分分式法。,2. 拉氏反变换的计算方法,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,(1)
15、 A(s)=0无重根时,用(ss1)乘以上式两边，并以s=s1代入式中，得,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,2. A(s)=0的根中有共轭复根,通过下面的例子说明通过部分分式求拉氏反变换的方法。,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,令上式两边实部和虚部分别相等，得,，,即,，,解得,，,为确定系数,，用,乘方程(2-50)两边，并令,，得,的部分分式可求得,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,其中，,，则,的拉氏反变换为,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,3. A(s)=0有重根的情况,(2-51),第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,的部分分式为,第二章 控制系统的数学模型,2-2 拉氏变换及反变换,三、用拉氏变换解常系数线性微分方程,用拉氏变换解微分方程的步骤： 1) 对微分方程进行拉氏变换，将其转换为拉氏域内的代数方程； 2) 求出特征方程的解和解对应的留数，并对化简后的部分分式和进行拉氏反变换，从而求出微分方程的时间解。,例 解方程 其中，,解 将方程两边取拉氏变换
