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1、第五章 控制系统的频域分析,第五章 控制系统的频域分析,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,频率响应：是指控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。若给线性控制系统输入某一频率的正弦波，系统稳定后，系统输出亦为同一频率的正弦波；但输出量的振幅和相位一般都与输入量不同。,频率特性：正弦信号输入时，系统输出与输入的幅值比 和相位差 随输入频率的变化规律。,一、频率特性基本概念,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,图5-1 频率响应图示,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,设控制系统的传递函数为,式中，nm。,当输入为一正弦波，即,则有,系
2、统的输出为,设系统的传递函数为,（5-1）,（5-2）,（5-3）,第五章 控制系统的频域分析,式中分母多项式中包含有互不相同的单极点 ，若系统 稳定，则其实部均为负值。将式(5-3)代入式(5-2)并化为部分分式得,（5-4）,51 频率特性的基本概念,待定共轭复数；,待定常数。,式中,对式5-4做拉氏变换，并略去趋近于零的项，得,（5-5）,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,由式5-2、5-4，用部分分式法求待定系数得,式中,表示,的幅值，,表示,的相位。即,（5-7）,第五章 控制系统的频域分析,（5-8）,将 代入式5-6得,式中，,从而证明了当线性系统输入一正弦信
3、号时，其输出量亦为正弦信号。 但输出量的幅值 和相位 一般都和输入信号的幅值 和 相位t不同，并且这种变化是输入频率的函数。,输出正弦信号的幅值。,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,若输入信号为,则控制系统的输出信号为,分别表示,的模和相位。,，,、,称为实频特性；,称为虚频特性；,稳态输出量与输入量的幅值比，称为幅频特性；,稳态输出量与输入量的相位差，称为相频特性。,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,这些频率特性间的关系如下,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,频率特性的求取,图5-2,的矢量图 图5-3 弹簧-阻尼系统,若以x为输入
4、，以y为输出，则系统的传递函数是,第五章 控制系统的频域分析,令sj，则得系统的频率特性为,(幅频特性),(相频特性),虚频特性,如若输入位移是正弦函数，即,根据式(5-7)，其稳态输出位移应为,式中,因此，实频特性,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,例5-1 某系统传递函数为,，,当输入为,时，试求其,稳态输出。,解 当给线性系统输入正弦函数信号时，系统将输出一个与输入同频率的,正弦函数信号，其输出的幅,值与相位取决于系统幅频特性与相频特性。,已知,则,第五章 控制系统的频域分析,51 频率特性的基本概念,所以,则,又有,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示
5、法,频率法是一种具有直观意义的图解法，通常采用以下三种形式表示：,1) 幅相频率特性图 是在极坐标系上表示的,与,也称奈魁斯特(Nyquist，耶鲁大学物理学博士)图。,的关系,2) 对数频率特性图 是由在半对数坐标系上表示的幅频特性图和相频,特性图组成。也称伯德(Bode，Bell实验室数学家)图，是目前应用最,多的一种表示法。,3) 对数幅相频率特性图 是在对数坐标系中表示的,与,间的关系，又称尼柯尔斯(Nichols)图。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,频率特性是个矢量，给出不同的频率值，就可算出相应的幅值,和相位,，故可在复平,面上画出值由零变到无穷大的频率特性
6、,矢量,。,，把各矢量端点连成曲线即是幅相特性曲线(奈魁斯特图),1比例环节 比例环节的传递函数是,令sj，,幅频特性,相频特性,K,，,比例环节的幅频特性是常数K，相频特性是,在奈魁斯特图上是实轴上的一个点,一、幅相频率特性图,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,2积分环节 根据积分环节的传递函数,，同理可得其频率特性为,幅频特性,相频特性,=0,因,是一常数，而,G(j)随增加逐渐减小，,故积分环节的幅相频率特性是一与虚轴负段重合的直线,。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,3微分环节 根据微分环节的传递函数得其频率特性为,幅频特性,相频特性,微分环节
7、的幅相频率特性为一与虚轴正段重合的直线,。,=0,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,4惯性环节 根据惯性环节的传递函数得其频率特性为,幅频特性,相频特性,=0,1,1/2,上式为一圆的方程，圆的半径为0.5，圆心在(0.5，j0)处。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,5一阶微分环节 同理可得一阶微分环节的频率特性,幅频特性,相频特性,当,一阶微分环节的频率特性在复平面上是通 过(1，j0)点且平行于虚轴上半部的直线,。,=0,1,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,6振荡环节 振荡环节的频率特性是,幅频特性,相频特性,当,=0,第五章
8、 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,幅相特性的振幅不仅与有关，而且与阻尼比有关。,当阻尼比小到一定程度时，振幅会有峰值出现，称之为谐振峰值,。,，,其所对应的频率为谐振频率,。,产生谐振峰值时的相位为,令,得,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,7二阶微分环节 根据二阶微分环节的传递函数，可得其频率特性为,幅频特性,相频特性,当,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,8延时环节 根据延时环节的传递函数，可得其频率特性为,幅频特性,相频特性,延时环节的幅相特性是一个单位圆。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,例5-2 设一个由延时
9、环节和惯性环节组成的系统，其传递函数为,，,试画出它的幅相特性图。,解 令,，得幅相特性为,幅值,相位,当,时，,随着增加，其幅值单调减小，而相位,，,滞后则单调增加。,当,。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,Bode图：系统的对数频率特性图，由对数幅频特性和对数相频特性成，,其定义为：,横坐标按频率的对数分度即lg()，纵坐标分别为：,对数幅频特性：,对数相频特性：,所得为半对数坐标图，而且对应两个图。,优点：,1. 绘图简单：可将幅值的乘法运算转变为加法运算 。,2. 图形直观：可直观地看出系统中每个环节的作用，,便于对系统进行分析、校正与测定。,3. 频率扩展：可将
10、系统的对数频率特性沿横轴扩展 。,二、对数频率特性图(伯德图),第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,三个基本概念：,2.十倍频程：即频率每变化10倍，在横坐标上线段长度为一个单位。即:,dB（分贝）：原意表示信号功率的衰减程度，后来推广用,1.,作表示两数,比值的大小；,20lgN2/N1=1，则N2，N1相差1dB。,3.半对数坐标系：指横坐标采用对数分度，标注时只标频率,值，实际上,表示lg；,而纵坐标表示幅值(单位是“分贝”),或相位（单位是“度”），采用线性分度 。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,比例环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性
11、,比例环节的对数幅频特性,都是常数而与频率,在伯德图上皆为直线,。,当K1时，幅值分贝数为正， K1时，幅值分贝数为负。,和对数相频特性,无关。,1比例环节,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,积分环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性,2积分环节,积分环节的对数幅频特性为一在,处和横轴相交，其斜率为,20dB/dec的直线。,积分环节的相频特性为,的直线。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,微分环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性,微分环节的对数幅频特性为一在,3微分环节,处和横轴相交，其斜率为,20dB/dec的直线，对数相频特性为,的一
12、条水平线,。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,4惯性环节,惯性环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性,当,，,，,，,即幅值的渐近线为横坐标轴。,当,高频渐近线的斜率是20dB/dec。,当,时，高频渐近线,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,惯性环节对数幅频特性的渐近线为一折线，,折点在,处。,称,为转折(或转角)频率。,相位曲线对,弯点是斜对称的。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,5一阶微分环节,一阶微分环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性,一阶微分环节对数幅频特性的渐近线由两条直线表示，,当,时是一条零分贝线，,
13、当,时是一条斜率为20dB/dec的斜线。,二线相交于,处。,其相频特性曲线对 弯点是斜对称的,。,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,图5-12 惯性环节伯德图 图5-13 一阶微分环节对数频率特性,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,6振荡环节,振荡环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性,振荡环节的对数频率特性不仅与有关，而且是的函数。,当,时，L()0，即低频渐近线为一零分贝线。,当,时，L(),高频渐近线是一斜率为40dB/dec的直线。,对数幅频特性渐近线,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,当1/T时，高频渐近线L()40
14、lg1=0，,高频渐近线与低频渐近线相交于1/T处。,振荡环节的对数相频特性,是和的,当0时，,0；,当,时，,；,当1/T时，,函数。,图5-14 振荡环节博德图,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,二阶微分环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性,二阶微分环节的伯德图和振荡环节的伯德图对称于横轴,7二阶微分环节,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,图5-15 二阶微分与振荡环节比较,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,延时环节的频率特性是,对数幅频特性,对数相频特性,延时环节的对数幅频特性恒为零分贝线,而对数相频特性与 成线性变化,
15、图5-16 延时环节相频特性,7延时环节,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,基本环节的对数频率特性及其渐近线的特点对照图,可归纳如下：,图5-18 基本环节对数频率特性 比例环节 积分环节 微分环节 惯性环 一阶微分环节 振荡环节 二阶微分环节,第五章 控制系统的频域分析,52 频率特性图形表示法,1) 比例环节的幅值为平行横轴的直线，其相位为0,o,线，与无关。,2) 积分环节和微分环节的幅值为过(1，j0)点，斜率分别为,，,对称于横轴的直线。相位分别为,90,o,，与无关。,3) 惯性环节和一阶微分环节的幅值低频渐近线为0分贝线，高频渐近线斜率,分别为：,转角频率为,，对称于横轴。相位在0,90,o,范围内变化。,o,o,o,曲线斜对称于弯点(,，,45,)。,)。,4) 振荡环节和二阶微分环节幅值的低频渐近线为0分贝线，高频渐近线的斜率,分别为,40dB/dec，转角
